Προαπαιτούμενα: Πρώτοι αριθμοί, Αριθμητική υπολοίπων (modular arithmetic)
Άλλες επιθυμητές γνώσεις: Μικρό θεώρημα Fermat, Θεώρημα Wilson
Επίπεδο: Απολύτως απαραίτητο σε όσους λαμβάνουν μέρους σε διεθνείς διαγωνισμούς. Επιθυμητό σε όσους λαμβάνουν μέρος στον Αρχιμήδη των μεγάλων και πάνω. Επιθυμητό για όσους juniors θα λάβουν μέρος σε διεθνείς διαγωνισμούς.
Εδώ θα μας απασχολήσει αν υπάρχουν λύσεις ή όχι σε εξισώσεις της μορφής όπου ο είναι πρώτος. Για η εξίσωση έχει πάντα λύση οπότε στα περισσότερα που θα ακολουθήσουν ο θα είναι περιττός πρώτος.
Ορισμός: Έστω ένας πρώτος και έστω ακέραιος ο οποίος δεν είναι πολλαπλάσιο του . Αν η εξίσωση έχει λύση, τότε ονομάζουμε τον τετραγωνικό υπόλοιπο ή τετραγωνικό κατάλοιπο . Αλλιώς ονομάζεται μη τετραγωνικό υπόλοιπο .
Παραδείγματα:
(α) Αν , τότε . Αν , τότε . Αν , τότε . Οπότε
- Τα τετραγωνικά υπόλοιπα είναι όλοι οι αριθμοί της μορφής .
- Τα μη τετραγωνικά υπόλοιπα είναι όλοι οι αριθμοί της μορφής .
(β) Δουλεύοντας με παρόμοιο τρόπο, τα τετραγωνικά υπόλοιπα είναι όλοι οι αριθμοί της μορφής . Τα μη τετραγωνικά υπόλοιπα είναι όλοι οι αριθμοί της μορφής .
(γ) Τα τετραγωνικά υπόλοιπα είναι όλοι οι αριθμοί της μορφής . Τα μη τετραγωνικά υπόλοιπα είναι όλοι οι αριθμοί της μορφής .
Ορισμός: Έστω περιττός πρώτος. Ορίζουμε το σύμβολο Legendre ως εξής:
Παραδείγματα:
(α) αφού .
(β) αφού και επιπλέον . Αλλιώς: Είναι και γνωρίζουμε από προηγούμενο παράδειγμα ότι το είναι τετραγωνικό υπόλοιπο .
(γ) αφού και γνωρίζουμε ότι το είναι μη τετραγωνικό υπόλοιπο .
Άμεσα από τον ορισμό προκύπτουν οι εξής προφανείς ιδιότητες:
Ιδιότητα 1: Έστω περιττός πρώτος και με . Τότε
Ιδιότητα 2: Έστω περιττός πρώτος. Τότε
Λόγω της Ιδιότητας 1 συνηθίζουμε να λέμε π.χ. ότι τα τετραγωνικά υπόλοιπα είναι τα αντί να λέμε ότι είναι όλοι οι αριθμοί της μορφής .
Πρόταση: Αν περιττός πρώτος, τότε υπάρχουν ακριβώς τετραγωνικά υπόλοιπα και ακριβώς μη τετραγωνικά υπόλοιπα .
Παραδείγματα: Έχουμε ήδη δει ότι η πρόταση ισχύει για και .
Απόδειξη:
Ένας τρόπος για να υπολογίσουμε το σύμβολο Legendre είναι ο εξής:
Κριτήριο Euler: Έστω περιττός πρώτος και σχετικά πρώτος ως προς τον . Τότε
Παραδείγματα:
(α)
(β)
Απόδειξη:
Η χρήση του κριτηρίου του Euler είναι εν γένει δύσκολη. Θα δούμε αργότερα ένα πολύ πιο εύκολο τρόπο υπολογισμού του συμβόλου Legendre. Αυτός ο τρόπος βασίζεται σε κάποιες επιπλέον ιδιότητες του συμβόλου. Πριν να τις αποδείξουμε ας δούμε ακόμη ένα θεωρητικό κυρίως αποτέλεσμα.
Λήμμα Gauss: Έστω περιττός πρώτος και σχετικά πρώτος ως προς τον . Κοιτάμε τα υπόλοιπα που αφήνουν οι όταν διαιρεθούν με τον . Έστω ότι ακριβώς από αυτά είναι μεγαλύτερα του . Τότε
Παράδειγμα:
Για και , κοιτάμε τα τα οποία αφήνουν υπόλοιπα . Ακριβώς είναι μεγαλύτερα του οπότε
Απόδειξη:
Οι βασικές επιπλέον ιδιότητες είναι οι εξής:
Ιδιότητα 3:
Ιδιότητα 4:
Απόδειξη:
Ιδιότητα 5:
Απόδειξη:
Ιδιότητα 6: (Νόμος τετραγωνικής αντιστροφής) Αν περιττοί πρώτοι τότε:
Απόδειξη:
Παραδείγματα:
(α)
(β)
(γ)
Άλλα παραδείγματα
viewtopic.php?p=215199#p215199
viewtopic.php?f=63&t=44673
viewtopic.php?f=182&t=56905
viewtopic.php?f=111&t=23041
viewtopic.php?f=186&t=56881
viewtopic.php?f=182&t=56905
viewtopic.php?p=218662#p218662
viewtopic.php?p=213943#p213943
viewtopic.php?p=217809#p217809
viewtopic.php?f=111&t=38101
viewtopic.php?f=111&t=40522
Αρχιμήδης 2013-14/3
BMO 2015/4
Πρόσθεσα ήδη αρκετές λεπτομέρειες. Λείπουν ακόμη κάποια πράγματα τα οποία θα προστεθούν αργότερα. Μετά τα Χριστούγεννα αλλά ελπίζω εντός 2016.
- Αρχική σελίδα Αρχική Σελίδα Ευρετήριο Δ. Συζήτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΟΛΥΜΠΙΑΔΕΣ Βασικά Θεωρήματα, Τεχνικές και Προτάσεις Θεωρία Αριθμών
- Αναζήτηση
-
- Τώρα είναι Παρ Απρ 19, 2024 5:59 am
- Όλοι οι χρόνοι είναι UTC+03:00
Νόμος της τετραγωνικής αντιστροφής
Συντονιστής: polysot
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Νόμος της τετραγωνικής αντιστροφής
Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Δεκ 24, 2016 4:21 pm
Λέξεις Κλειδιά:
Μετάβαση σε
- Γενικά Μηνύματα
- ΟΜΑΔΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΜΕΛΩΝ ΤΟΥ MATHEMATICA.GR
- ΓΥΜΝΑΣΙΟ
- ↳ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
- ↳ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
- ↳ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
- ΛΥΚΕΙΟ
- ↳ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ
- ↳ ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
- ↳ Τράπεζα Θεμάτων, Άλγεβρα A
- ↳ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
- ↳ Τράπεζα Θεμάτων, Γεωμετρία A
- ↳ Β' ΛΥΚΕΙΟΥ
- ↳ ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
- ↳ Τράπεζα Θεμάτων, Άλγεβρα Β
- ↳ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
- ↳ Τράπεζα Θεμάτων, Γεωμετρία Β
- ↳ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'
- ↳ Τράπεζα Θεμάτων, Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού Β
- ↳ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ
- ↳ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ'
- ↳ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ'
- ↳ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ
- ↳ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
- ↳ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
- ↳ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
- ↳ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'
- ↳ ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
- ΕΠΑ.Λ.
- ΔΗΜΟΤΙΚΟ
- Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
- ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
- ↳ Πανελλήνιες Εξετάσεις
- ↳ Εξετάσεις Σχολών
- ↳ Εξετάσεις Προτύπων και Πειραματικών Σχολείων
- ↳ Διάφορα άλλα θέματα εξετάσεων
- ↳ Εξετάσεις Δεσμών
- ↳ Α' Δέσμη
- ↳ Δ' Δέσμη
- Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΗ
- ↳ Άλγεβρα
- ↳ Ανάλυση
- ↳ Γεωμετρία
- ↳ Στατιστική-Πιθανότητες
- ↳ Γενικά
- ↳ Μαθηματική απόδειξη & Λογική
- ↳ Σχολικά Βιβλία, Οδηγίες κ.α.
- ↳ Σχολικά Βιβλία του ΟΕΔΒ και Βιβλία Καθηγητή
- ↳ Βιβλία του Κέντρου Εκπαιδευτικής 'Ερευνας
- ↳ Οδηγίες Διδασκαλίας του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου κ.α.
- ↳ Οδηγίες Διδασκαλίας από Σχολικούς Συμβούλους κ.α.
- ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ Α.Σ.Ε.Π.
- ↳ Γενική Συζήτηση - Σχόλια
- ↳ Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
- Α.Ε.Ι.
- ↳ ΑΝΑΛΥΣΗ
- ↳ ΑΛΓΕΒΡΑ
- ↳ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
- ↳ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
- ↳ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
- ↳ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ
- ↳ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
- ↳ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
- ↳ Μαθηματική Λογική & Θεμέλια Μαθηματικών
- ↳ Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές
- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΟΛΥΜΠΙΑΔΕΣ
- ↳ Βασικά Θεωρήματα, Τεχνικές και Προτάσεις
- ↳ Άλγεβρα
- ↳ Γεωμετρία
- ↳ Θεωρία Αριθμών
- ↳ Συνδυαστική
- ↳ Θέματα για Γυμνάσιο - Juniors
- ↳ Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
- ↳ Γεωμετρία (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
- ↳ Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
- ↳ Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
- ↳ Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
- ↳ Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
- ↳ Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
- ↳ Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
- ↳ Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
- ↳ Θέματα για Λύκειο - Seniors
- ↳ Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
- ↳ Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
- ↳ Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- ↳ Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- ↳ Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- ↳ Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- ↳ Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- ↳ Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- ↳ Συνδυαστική - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- ↳ Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
- ↳ Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
- ↳ Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
- ↳ Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
- ↳ Διαγωνισμοί για φοιτητές
- ↳ Βασικά Θεωρήματα, Τεχνικές και Προτάσεις (Φοιτητές)
- ↳ Άλγεβρα (Φοιτητές)
- ↳ Ανάλυση (Φοιτητές)
- ↳ Γεωμετρία (Φοιτητές)
- ↳ Θεωρία Αριθμών (Φοιτητές)
- ↳ Συνδυαστική-Πιθανότητες (Φοιτητές)
- ↳ Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
- Ιστορία των Μαθηματικών
- Διδακτική των Μαθηματικών
- ↳ Διαδραστικοί & σχέδια μαθημάτων με λογισμικό
- ↳ Ερευνητικές εργασίες (project)
- Μαθηματικά Κείμενα-Μελέτες
- Εκπαιδευτικά Θέματα
- Παιδαγωγικά Θέματα
- Διασκεδαστικά Μαθηματικά
- Άρθρα αρχικής σελίδας
- Ευρετήρια θεμάτων mathematica.gr
- ΟΔΗΓΙΕΣ LaTeX - ΛΟΓΙΣΜΙΚΑ - ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΕΣ - EBOOKS - ΝΕΕΣ ΠΡΟΣΘΗΚΕΣ
- ↳ Οδηγίες για γραφή με TeX
- ↳ Πακέτα και γραφή σε TeX-κειμενογράφο
- ↳ Δοκιμές γραφής με TeX
- ↳ Χρήσιμες Μαθηματικές Ιστοσελίδες
- ↳ Χρήσιμες Ιστοσελίδες (μη μαθηματικού περιεχομένου)
- ↳ Ελεύθερα ηλεκτρονικά Βιβλία (free e-books)
- ↳ Μαθηματικό Λογισμικό
- ↳ Μαθηματικά & Τεχνολογία
- ↳ Νέες Προσθήκες
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες