A' ΔΕΣΜΗ 2000
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
A' ΔΕΣΜΗ 2000
1. α) Αν και είναι η τριγωνομετρική μορφή των μιγαδικών αριθμών και
τότε να αποδείξετε ότι
β) ΄Εστω είναι ένας δειγματικός χώρος με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα.
Αν , θεωρούμε τη συνάρτηση , με .
Θεωρούμε τα ενδεχόμενα όπου :
Η μέγιστη τιμή της στο , είναι μεγαλύτερη ή ίση του .
Η ελάχιστη τιμή της στο , είναι μικρότερη ή ίση του .
Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων και
2. α) ΄Εστω ότι είναι πίνακες, με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς, τέτοιοι, ώστε και ,
όπου είναι ο μοναδιαίος πίνακας.
i) Να αποδείξετε ότι οι πίνακες και είναι αντιστρέψιμοι.
ii) ΄Εστω είναι νxν πίνακες τέτοιοι, ώστε και .
1. Να αποδείξετε ότι και .
2. Να αποδείξετε ότι η ορίζουσα του πίνακα είναι μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός.
β) Θεωρούμε τα σημεία του επιπέδου με .
i) 1. Να αποδείξετε ότι τα σημεία αυτά ανήκουν σε έλλειψη, της οποίας να βρείτε την εξίσωση.
2. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της παραπάνω έλλειψης στο σημείο με .
ii) ΄Εστω με είναι το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει η εφαπτομένη της παραπάνω έλλειψης στο σημείο
με τους άξονες και . Να αποδείξετε ότι .
3. α) Έστω συνάρτηση συνεχής στο .
Έστω η συνάρτηση με , για .
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο στο σημείο
β) Έστω η συνάρτηση , με .
Έστω πραγματικός μεγαλύτερος του .
Έστω ότι η ευθεία με εξίσωση και η γραφική παράσταση της τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία του επιπέδου, τα και .
Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της , στα και , είναι κάθετες μεταξύ τους.
4. Έστω , είναι συναρτήσεις συνεχείς στο τέτοιες, ώστε να ισχύει για .
Έστω ότι η ευθεία με εξίσωση είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της , καθώς .
α) Να βρείτε τα όρια :
i) και
ii)
β) Να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της , καθώς .
edit
διόρθωση αρίθμησης θεμάτων
τότε να αποδείξετε ότι
β) ΄Εστω είναι ένας δειγματικός χώρος με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα.
Αν , θεωρούμε τη συνάρτηση , με .
Θεωρούμε τα ενδεχόμενα όπου :
Η μέγιστη τιμή της στο , είναι μεγαλύτερη ή ίση του .
Η ελάχιστη τιμή της στο , είναι μικρότερη ή ίση του .
Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων και
2. α) ΄Εστω ότι είναι πίνακες, με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς, τέτοιοι, ώστε και ,
όπου είναι ο μοναδιαίος πίνακας.
i) Να αποδείξετε ότι οι πίνακες και είναι αντιστρέψιμοι.
ii) ΄Εστω είναι νxν πίνακες τέτοιοι, ώστε και .
1. Να αποδείξετε ότι και .
2. Να αποδείξετε ότι η ορίζουσα του πίνακα είναι μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός.
β) Θεωρούμε τα σημεία του επιπέδου με .
i) 1. Να αποδείξετε ότι τα σημεία αυτά ανήκουν σε έλλειψη, της οποίας να βρείτε την εξίσωση.
2. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της παραπάνω έλλειψης στο σημείο με .
ii) ΄Εστω με είναι το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει η εφαπτομένη της παραπάνω έλλειψης στο σημείο
με τους άξονες και . Να αποδείξετε ότι .
3. α) Έστω συνάρτηση συνεχής στο .
Έστω η συνάρτηση με , για .
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο στο σημείο
β) Έστω η συνάρτηση , με .
Έστω πραγματικός μεγαλύτερος του .
Έστω ότι η ευθεία με εξίσωση και η γραφική παράσταση της τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία του επιπέδου, τα και .
Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της , στα και , είναι κάθετες μεταξύ τους.
4. Έστω , είναι συναρτήσεις συνεχείς στο τέτοιες, ώστε να ισχύει για .
Έστω ότι η ευθεία με εξίσωση είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της , καθώς .
α) Να βρείτε τα όρια :
i) και
ii)
β) Να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της , καθώς .
edit
διόρθωση αρίθμησης θεμάτων
τελευταία επεξεργασία από parmenides51 σε Κυρ Ιούλ 07, 2013 11:17 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Δημοσιεύσεις: 1753
- Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm
Re: A' ΔΕΣΜΗ 2000
ΠΕΡΙΤΤΑ
τελευταία επεξεργασία από orestisgotsis σε Δευ Φεβ 26, 2024 1:32 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: A' ΔΕΣΜΗ 2000
α)Για κάθε είναι,parmenides51 έγραψε:
3. α) Έστω συνάρτηση συνεχής στο .
Έστω η συνάρτηση με , για .
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο στο σημείο
β) Έστω η συνάρτηση , με .
Έστω πραγματικός μεγαλύτερος του .
Έστω ότι η ευθεία με εξίσωση και η γραφική παράσταση της τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία του επιπέδου, τα και .
Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της , στα και , είναι κάθετες μεταξύ τους.
β)Η γράφεται ως
Για είναι,
Για είναι
Ας είναι
, άτοπο
, άτοπο.
Οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της στα σημεία της έχουν συντελεστές διεύθυνσης
αντίστοιχα.
Είναι,
απ' όπου έχουμε το ζητούμενο.
Την αφήνω και λόγω κόπου και λόγω διαφορετικής αντιμετώπισης του α)
Παπαπέτρος Ευάγγελος
Re: A' ΔΕΣΜΗ 2000
α)i.Ξέρουμε ότι και ότι .parmenides51 έγραψε:4. Έστω , είναι συναρτήσεις συνεχείς στο τέτοιες, ώστε να ισχύει για .
Έστω ότι η ευθεία με εξίσωση είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της , καθώς .
α) Να βρείτε τα όρια :
i) και
ii)
β) Να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της , καθώς .
Άρα ψάχνουμε το .
ii.Διαιρούμε τους όρους του κλάσματος με το .
Το όριο είναι τώρα το .
β)Ξέρουμε ότι .
Συνεπώς πρέπει ν.δ.ο. ή ισοδύναμα
Αφού το όριό μας είναι ίσο με .
Συνεπώς,αφού και η ευθεία είναι ασύμπτωτη της στο .
τελευταία επεξεργασία από gavrilos σε Σάβ Ιούλ 06, 2013 6:23 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Γιώργος Γαβριλόπουλος
Re: A' ΔΕΣΜΗ 2000
α) i) αφού ισχύει .parmenides51 έγραψε:2. α) ΄Εστω ότι είναι πίνακες, με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς, τέτοιοι, ώστε και ,
όπου είναι ο μοναδιαίος πίνακας.
i) Να αποδείξετε ότι οι πίνακες και είναι αντιστρέψιμοι.
ii) ΄Εστω είναι νxν πίνακες τέτοιοι, ώστε και .
1. Να αποδείξετε ότι και .
2. Να αποδείξετε ότι η ορίζουσα του πίνακα είναι μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός.
β) Θεωρούμε τα σημεία του επιπέδου με .
i) 1. Να αποδείξετε ότι τα σημεία αυτά ανήκουν σε έλλειψη, της οποίας να βρείτε την εξίσωση.
2. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της παραπάνω έλλειψης στο σημείο με .
ii) ΄Εστω με είναι το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει η εφαπτομένη της παραπάνω έλλειψης στο σημείο
με τους άξονες και . Να αποδείξετε ότι .
Από την παραπάνω σχέση συμπεραίνουμε ότι οι πίνακες και είναι αντιστρέψιμοι με:
και
ii. 1.
Από
2. Από το προηγούμενο ερώτημα είναι:
β) i. Αν και
Άρα τα σημεία ανήκουν στην έλλειψη με και εστίες τα σημεία για κάθε
2. i. Η εξίσωση της εφαπτομένης της έλλειψης στο σημείο έχει εξίσωση:
με
Με βρίσκουμε ότι τέμνει τον στο
Με βρίσκουμε ότι τέμνει τον στο
Είναι και αφού
με το “ίσον” να ισχύει όταν
- Συνημμένα
-
- Ελλειψη.png (26.33 KiB) Προβλήθηκε 2784 φορές
Ηλίας Καμπελής
- exdx
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1734
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: A' ΔΕΣΜΗ 2000
2. α) ΄Εστω ότι είναι πίνακες, με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς, τέτοιοι, ώστε και ,
όπου είναι ο μοναδιαίος πίνακας.
i) Να αποδείξετε ότι οι πίνακες και είναι αντιστρέψιμοι.
ii) ΄Εστω είναι νxν πίνακες τέτοιοι, ώστε και .
1. Να αποδείξετε ότι και .
2. Να αποδείξετε ότι η ορίζουσα του πίνακα είναι μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός.
β) Θεωρούμε τα σημεία του επιπέδου με .
i) 1. Να αποδείξετε ότι τα σημεία αυτά ανήκουν σε έλλειψη, της οποίας να βρείτε την εξίσωση.
2. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της παραπάνω έλλειψης στο σημείο με .
ii) ΄Εστω με είναι το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει η εφαπτομένη της παραπάνω έλλειψης στο σημείο
με τους άξονες και . Να αποδείξετε ότι .
α)
i) , αφού .
1. Είναι :
Πολλαπλασιάζοντας τις από αριστερά με , αντίστοιχα , παίρνουμε τις :
2.
όπου είναι ο μοναδιαίος πίνακας.
i) Να αποδείξετε ότι οι πίνακες και είναι αντιστρέψιμοι.
ii) ΄Εστω είναι νxν πίνακες τέτοιοι, ώστε και .
1. Να αποδείξετε ότι και .
2. Να αποδείξετε ότι η ορίζουσα του πίνακα είναι μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός.
β) Θεωρούμε τα σημεία του επιπέδου με .
i) 1. Να αποδείξετε ότι τα σημεία αυτά ανήκουν σε έλλειψη, της οποίας να βρείτε την εξίσωση.
2. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της παραπάνω έλλειψης στο σημείο με .
ii) ΄Εστω με είναι το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει η εφαπτομένη της παραπάνω έλλειψης στο σημείο
με τους άξονες και . Να αποδείξετε ότι .
α)
i) , αφού .
1. Είναι :
Πολλαπλασιάζοντας τις από αριστερά με , αντίστοιχα , παίρνουμε τις :
2.
Kαλαθάκης Γιώργης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης