ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Άσκηση 5910
Δίνεται τρίγωνο με , εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο . Θεωρούμε το μέσο του κυρτογώνιου τόξου και το ύψος του τριγώνου .
Να αποδείξετε ότι:
α) είναι διχοτόμος της γωνίας . (Μονάδες 8)
β) (Μονάδες 9)
γ) (Μονάδες 8)
Λύση
Φέρνω το απόστημα . Τότε η ευθεία διέρχεται από το μέσο του τόξου
α) Αφού απόστημα και ύψος: .
Άρα, ως εντός εναλλάξ.
Είναι: ως προσκείμενες στη βάση γωνίες ισοσκελούς τριγώνου.
Συνεπώς δηλ. διχοτόμος .
β) ως εγγεγραμμένες γωνίες στα ίσα τόξα .
Άρα, . Αλλά , οπότε
γ) Στα ορθογώνια τρίγωνα και έχω: και . Έτσι,
Δίνεται τρίγωνο με , εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο . Θεωρούμε το μέσο του κυρτογώνιου τόξου και το ύψος του τριγώνου .
Να αποδείξετε ότι:
α) είναι διχοτόμος της γωνίας . (Μονάδες 8)
β) (Μονάδες 9)
γ) (Μονάδες 8)
Λύση
Φέρνω το απόστημα . Τότε η ευθεία διέρχεται από το μέσο του τόξου
α) Αφού απόστημα και ύψος: .
Άρα, ως εντός εναλλάξ.
Είναι: ως προσκείμενες στη βάση γωνίες ισοσκελούς τριγώνου.
Συνεπώς δηλ. διχοτόμος .
β) ως εγγεγραμμένες γωνίες στα ίσα τόξα .
Άρα, . Αλλά , οπότε
γ) Στα ορθογώνια τρίγωνα και έχω: και . Έτσι,
τελευταία επεξεργασία από VreAnt σε Τετ Μάιος 28, 2014 11:24 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Βρέντζος Αντώνης
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Άσκηση 3954
Δίνεται παραλληλόγραμμο και στην προέκταση της θεωρούμε σημείο τέτοιο ώστε
ενώ στην προέκταση της ΑΒ θεωρούμε σημείο τέτοιο ώστε .
α) Να αποδείξετε ότι:
i. .
ii. τα σημεία είναι συνευθειακά.
β) Ένας μαθητής για να αποδείξει ότι τα σημεία είναι συνευθειακά ανέπτυξε τον παρακάτω συλλογισμό. « Έχουμε:
(ως εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων και που τέμνονται από τη και
(ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων και που τέμνονται από την ).
Όμως (ως άθροισμα των γωνιών του τριγώνου ). Άρα
σύμφωνα με τα προηγούμενα: .
Οπότε τα σημεία είναι συνευθειακά.»
Όμως ο καθηγητής υπέδειξε ένα λάθος στο συλλογισμό αυτό. Να βρείτε το λάθος στο συγκεκριμένο συλλογισμό.
Λύση
α) i) Είναι ως παραπληρωματικές των ίσων γωνιών αντίστοιχα του παραλληλογράμμου.
Άρα τα ισοσκελή τρίγωνα και έχουν τις γωνίες των κορυφών τους ίσες, οπότε τα είναι και οι γωνίες των βάσεων ίσες, δηλαδή .
ii. ως εντός και εναλλάξ.
Άρα τα σημεία είναι συνευθειακά
β) Το λάθος του μαθητή είναι στο κομμάτι:
« Έχουμε: (ως εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων και που τέμνονται από τη )»
Θεώρησε την ευθεία, πράγμα το οποίο ζητείται να αποδειχθεί.
Edit: Έγινε διόρθωση σε ονομασία σημείου στην εκφώνηση το έγινε . Ευχαριστώ τον προσωπικό μου διορθωτή Γιάννη (παρακάτω) που το πρόσεξε
Δίνεται παραλληλόγραμμο και στην προέκταση της θεωρούμε σημείο τέτοιο ώστε
ενώ στην προέκταση της ΑΒ θεωρούμε σημείο τέτοιο ώστε .
α) Να αποδείξετε ότι:
i. .
ii. τα σημεία είναι συνευθειακά.
β) Ένας μαθητής για να αποδείξει ότι τα σημεία είναι συνευθειακά ανέπτυξε τον παρακάτω συλλογισμό. « Έχουμε:
(ως εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων και που τέμνονται από τη και
(ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων και που τέμνονται από την ).
Όμως (ως άθροισμα των γωνιών του τριγώνου ). Άρα
σύμφωνα με τα προηγούμενα: .
Οπότε τα σημεία είναι συνευθειακά.»
Όμως ο καθηγητής υπέδειξε ένα λάθος στο συλλογισμό αυτό. Να βρείτε το λάθος στο συγκεκριμένο συλλογισμό.
Λύση
α) i) Είναι ως παραπληρωματικές των ίσων γωνιών αντίστοιχα του παραλληλογράμμου.
Άρα τα ισοσκελή τρίγωνα και έχουν τις γωνίες των κορυφών τους ίσες, οπότε τα είναι και οι γωνίες των βάσεων ίσες, δηλαδή .
ii. ως εντός και εναλλάξ.
Άρα τα σημεία είναι συνευθειακά
β) Το λάθος του μαθητή είναι στο κομμάτι:
« Έχουμε: (ως εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων και που τέμνονται από τη )»
Θεώρησε την ευθεία, πράγμα το οποίο ζητείται να αποδειχθεί.
Edit: Έγινε διόρθωση σε ονομασία σημείου στην εκφώνηση το έγινε . Ευχαριστώ τον προσωπικό μου διορθωτή Γιάννη (παρακάτω) που το πρόσεξε
- Συνημμένα
-
- 3954.png (10.32 KiB) Προβλήθηκε 4125 φορές
τελευταία επεξεργασία από hlkampel σε Τρί Μάιος 27, 2014 2:28 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Ηλίας Καμπελής
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Ηλία πάλι σου βρήκα λάθος......τα γράμματα της εκφώνησης και της απόδειξης δεν συμφωνούν ....για κοίταξε τα πάλι
Καλό απογευμα
φιλικά
Γιάννης
ΥΓ. Σημερα στο σχολείο ρώταγα τους συναδέλφους για τις περιπτώσεις λαθών , ασαφειών κ.λ.π τι κάνουμε ; θα ρωτήσουμε την Τράπεζα ;
θα κάνουμε εμείς τις συμπληρώσεις η κάτι άλλο ;
Καλό απογευμα
φιλικά
Γιάννης
ΥΓ. Σημερα στο σχολείο ρώταγα τους συναδέλφους για τις περιπτώσεις λαθών , ασαφειών κ.λ.π τι κάνουμε ; θα ρωτήσουμε την Τράπεζα ;
θα κάνουμε εμείς τις συμπληρώσεις η κάτι άλλο ;
α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
- Μιχάλης Νάννος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3536
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
- Τοποθεσία: Σαλαμίνα
- Επικοινωνία:
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Στο β) σκέλος του θέματος υπάρχει σφάλμα. Ευχαριστώ το συνάδελφο Σταμάτη Παπανικολάου για την υπόδειξη.
«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Άσκηση 3961
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο με γωνία ορθή. Φέρνουμε τη διάμεσο και σε τυχαίο σημείο την κάθετη στην η οποία τέμνει τις και στα σημεία και αντίστοιχα. Αν είναι το μέσο του να αποδείξετε ότι:
α) (Μονάδες )
α) (Μονάδες )
γ) Η ευθεία τέμνει κάθετα τη (Μονάδες )
Λύση:
α) Επειδή η είναι η διάμεσος του ορθογωνίου τριγώνου , θα είναι και κατά συνέπεια
β) Ομοίως η είναι διάμεσος του ορθογωνίου τριγώνου , οπότε
γ) Έστω ότι η τέμνει τη στο . Είναι:
\displaystyle{\displaystyle{ \Leftrightarrow {\rm M}\widehat {\rm A}{\rm B} = \frac{{{\rm A}\widehat {\rm M}\Gamma }}{2}}(1)AMB\displaystyle{{\rm K}\widehat {\rm H}{\rm Z} = \Delta \widehat {\rm H}{\rm A} = {180^0} - 2{\rm A}\widehat \Delta {\rm H}}} (από το ισοσκελές τρίγωνο .
Αλλά από το ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε:
Άρα: , οπότε το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο (μία γωνία του είναι ίση με την
απέναντι εξωτερική). Επειδή όμως
, θα είναι και
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο με γωνία ορθή. Φέρνουμε τη διάμεσο και σε τυχαίο σημείο την κάθετη στην η οποία τέμνει τις και στα σημεία και αντίστοιχα. Αν είναι το μέσο του να αποδείξετε ότι:
α) (Μονάδες )
α) (Μονάδες )
γ) Η ευθεία τέμνει κάθετα τη (Μονάδες )
Λύση:
α) Επειδή η είναι η διάμεσος του ορθογωνίου τριγώνου , θα είναι και κατά συνέπεια
β) Ομοίως η είναι διάμεσος του ορθογωνίου τριγώνου , οπότε
γ) Έστω ότι η τέμνει τη στο . Είναι:
\displaystyle{\displaystyle{ \Leftrightarrow {\rm M}\widehat {\rm A}{\rm B} = \frac{{{\rm A}\widehat {\rm M}\Gamma }}{2}}(1)AMB\displaystyle{{\rm K}\widehat {\rm H}{\rm Z} = \Delta \widehat {\rm H}{\rm A} = {180^0} - 2{\rm A}\widehat \Delta {\rm H}}} (από το ισοσκελές τρίγωνο .
Αλλά από το ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε:
Άρα: , οπότε το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο (μία γωνία του είναι ίση με την
απέναντι εξωτερική). Επειδή όμως
, θα είναι και
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Τρί Μάιος 27, 2014 4:26 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- exdx
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
3966
Δίνονται ορθογώνια τρίγωνα και με , και , τα μέσα των και αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι:
α) . (Μονάδες 10)
β) Η είναι κάθετη στην . (Μονάδες 10)
γ) (Μονάδες 5)
Λύση
α) Το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αφού η πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές κάτω από ίσες γωνίες .
Επίσης , επειδή , το κέντρο του κύκλου είναι το μέσον της . Κατά συνέπεια ως ακτίνες του κύκλου .
β) Εφόσον το είναι πλέον μέσο χορδής , το είναι απόστημα και επομένως είναι κάθετο στην .
γ) διότι είναι εγγεγραμμένες και βαίνουν στο ίδιο τόξο .
Δίνονται ορθογώνια τρίγωνα και με , και , τα μέσα των και αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι:
α) . (Μονάδες 10)
β) Η είναι κάθετη στην . (Μονάδες 10)
γ) (Μονάδες 5)
Λύση
α) Το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αφού η πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές κάτω από ίσες γωνίες .
Επίσης , επειδή , το κέντρο του κύκλου είναι το μέσον της . Κατά συνέπεια ως ακτίνες του κύκλου .
β) Εφόσον το είναι πλέον μέσο χορδής , το είναι απόστημα και επομένως είναι κάθετο στην .
γ) διότι είναι εγγεγραμμένες και βαίνουν στο ίδιο τόξο .
- Συνημμένα
-
- 3966.png (10.88 KiB) Προβλήθηκε 3807 φορές
τελευταία επεξεργασία από exdx σε Τρί Μάιος 27, 2014 4:18 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Kαλαθάκης Γιώργης
- exdx
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
4307
Θεωρούμε κύκλο κέντρου , με διάμετρο . Από σημείο του κύκλου φέρουμε την εφαπτομένη του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου .
Από τα σημεία φέρουμε τα τμήματα κάθετα στην ευθεία .
α) Να αποδείξετε ότι και είναι διχοτόμοι των γωνιών και αντίστοιχα. (Μονάδες 8)
β) Αν είναι ύψος του τριγώνου , να αποδείξετε ότι . (Μονάδες 8)
γ) Να αποδείξετε ότι . (Μονάδες 9)
Λύση
α) Είναι ως γωνία χορδής – εφαπτομένης και :
Επομένως ,οπότε η είναι διχοτόμος .
Ομοίως για την .
β) Το τετράπλευρο είναι τραπέζιο αφού ως κάθετες στην ίδια ευθεία .
Ακόμα ,οπότε κι αφού το είναι μέσον της , η είναι διάμεσος του τραπεζίου . Επομένως
Τότε :
Ακόμα από την ισότητα των τριγώνων , έχουμε και τελικά
γ) Η είναι η διάμεσος του τραπεζίου και ισχύει :
Θεωρούμε κύκλο κέντρου , με διάμετρο . Από σημείο του κύκλου φέρουμε την εφαπτομένη του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου .
Από τα σημεία φέρουμε τα τμήματα κάθετα στην ευθεία .
α) Να αποδείξετε ότι και είναι διχοτόμοι των γωνιών και αντίστοιχα. (Μονάδες 8)
β) Αν είναι ύψος του τριγώνου , να αποδείξετε ότι . (Μονάδες 8)
γ) Να αποδείξετε ότι . (Μονάδες 9)
Λύση
α) Είναι ως γωνία χορδής – εφαπτομένης και :
Επομένως ,οπότε η είναι διχοτόμος .
Ομοίως για την .
β) Το τετράπλευρο είναι τραπέζιο αφού ως κάθετες στην ίδια ευθεία .
Ακόμα ,οπότε κι αφού το είναι μέσον της , η είναι διάμεσος του τραπεζίου . Επομένως
Τότε :
Ακόμα από την ισότητα των τριγώνων , έχουμε και τελικά
γ) Η είναι η διάμεσος του τραπεζίου και ισχύει :
- Συνημμένα
-
- 4307.png (19.04 KiB) Προβλήθηκε 3642 φορές
τελευταία επεξεργασία από exdx σε Τρί Μάιος 27, 2014 6:10 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Kαλαθάκης Γιώργης
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Άσκηση 5902
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο με . Από το φέρουμε κάθετη στην διχοτόμο
της γωνίας , η οποία τέμνει την στο και την στο . Στην προέκταση της
θεωρούμε σημείο τέτοιο ώστε και έστω το μέσο της πλευράς .
Να αποδείξετε ότι:
α) το τετράπλευρο είναι ρόμβος. (Μονάδες 9)
β) το τετράπλευρο είναι τραπέζιο. (Μονάδες 9)
γ) η διάμεσος του τραπεζίου είναι ίση με . (Μονάδες 7) Λύση
α) Στο τρίγωνο το είναι διχοτόμος και ύψος (υπόθεση). Επομένως τρίγωνο ισοσκελές, με .
Επειδή ύψος προς τη βάση του , είναι και διάμεσος. Έτσι μέσο , δηλ. .
Από υπόθεση . Άρα , διχοτομούνται και είναι και κάθετα. Συνεπώς ρόμβος.
Έτσι και (1).
β) Στο τρίγωνο , τα , είναι μέσα των , αντίστοιχα. Άρα από θεώρημα,(2). Λόγω των (1) και (2), .
Αν η τέμνει την τότε είναι τραπέζιο.
γ) Aπό θεώρημα η διάμεσος του,
Αν η τότε είναι παραλλήλόγραμμο και δεν έχει νόημα το γ) ερώτημα. Δες Σχήμα 2 που ακολουθεί
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο με . Από το φέρουμε κάθετη στην διχοτόμο
της γωνίας , η οποία τέμνει την στο και την στο . Στην προέκταση της
θεωρούμε σημείο τέτοιο ώστε και έστω το μέσο της πλευράς .
Να αποδείξετε ότι:
α) το τετράπλευρο είναι ρόμβος. (Μονάδες 9)
β) το τετράπλευρο είναι τραπέζιο. (Μονάδες 9)
γ) η διάμεσος του τραπεζίου είναι ίση με . (Μονάδες 7) Λύση
α) Στο τρίγωνο το είναι διχοτόμος και ύψος (υπόθεση). Επομένως τρίγωνο ισοσκελές, με .
Επειδή ύψος προς τη βάση του , είναι και διάμεσος. Έτσι μέσο , δηλ. .
Από υπόθεση . Άρα , διχοτομούνται και είναι και κάθετα. Συνεπώς ρόμβος.
Έτσι και (1).
β) Στο τρίγωνο , τα , είναι μέσα των , αντίστοιχα. Άρα από θεώρημα,(2). Λόγω των (1) και (2), .
Αν η τέμνει την τότε είναι τραπέζιο.
γ) Aπό θεώρημα η διάμεσος του,
Αν η τότε είναι παραλλήλόγραμμο και δεν έχει νόημα το γ) ερώτημα. Δες Σχήμα 2 που ακολουθεί
τελευταία επεξεργασία από VreAnt σε Σάβ Μάιος 31, 2014 7:40 am, έχει επεξεργασθεί 4 φορές συνολικά.
Βρέντζος Αντώνης
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Θέμα 3709
Δίνεται τραπέζιο με και .Αν τα μέσα των διαγωνίων αντίστοιχα και αν οι πλευρές προεκτεινόμενες τέμνονται κάθετα στο να αποδειχθεί ότι:
i)AB=2AE
ii)KL=AD
iii)Σε ποια περίπτωση το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο;Αιτιολογήστε την απάντησή σας.
i) ως εντός εναλλάξ.Επομένως στο ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά βρίσκεται απέναντι από γωνία κι έτσι είναι ίση με το μισό
της υποτείνουσας που είναι η .
Τελικά .
ii)Στο ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά βρίσκεται απέναντι από γωνία άρα .
Ως γνωστόν το τμήμα που συνδέει τα μέσα των διαγωνίων τραπεζίου ισούται με την ημιδιαφορά των βάσεων δηλαδή
όπως θέλαμε.
iii)Η γνωρίζουμε ότι είναι παράλληλη στην θα πρέπει όμως να είναι και ίση με αυτήν δηλαδή .
Αυτό δηλαδή συμβαίνει όταν .
Διορθώσεις ευπρόσδεκτες.
Το "πάνω" σημείο είναι το σημείο .Ευχαριστώ τον κύριο Καλαθάκη (exdx) που το πρόσεξε.
Δίνεται τραπέζιο με και .Αν τα μέσα των διαγωνίων αντίστοιχα και αν οι πλευρές προεκτεινόμενες τέμνονται κάθετα στο να αποδειχθεί ότι:
i)AB=2AE
ii)KL=AD
iii)Σε ποια περίπτωση το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο;Αιτιολογήστε την απάντησή σας.
i) ως εντός εναλλάξ.Επομένως στο ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά βρίσκεται απέναντι από γωνία κι έτσι είναι ίση με το μισό
της υποτείνουσας που είναι η .
Τελικά .
ii)Στο ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά βρίσκεται απέναντι από γωνία άρα .
Ως γνωστόν το τμήμα που συνδέει τα μέσα των διαγωνίων τραπεζίου ισούται με την ημιδιαφορά των βάσεων δηλαδή
όπως θέλαμε.
iii)Η γνωρίζουμε ότι είναι παράλληλη στην θα πρέπει όμως να είναι και ίση με αυτήν δηλαδή .
Αυτό δηλαδή συμβαίνει όταν .
Διορθώσεις ευπρόσδεκτες.
Το "πάνω" σημείο είναι το σημείο .Ευχαριστώ τον κύριο Καλαθάκη (exdx) που το πρόσεξε.
τελευταία επεξεργασία από gavrilos σε Πέμ Μάιος 29, 2014 3:46 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Γιώργος Γαβριλόπουλος
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Θέμα 4555
Δίνεται τρίγωνο και από το μέσο της της φέρνουμε τμήματα ίσο και παράλληλο με το και ίσο και παράλληλο με το
(τα βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο της με το ).
Να αποδειχθεί ότι:
i)Τα σημεία είναι συνευθειακά.
ii)Η περίμετρος του τριγώνου ισούται με την περίμετρο του τριγώνου .
Στο τρίτο ερώτημα λείπουν πολλά δεδομένα.Θα προσπαθήσω να βγάλω άκρη αλλά δείτε το κι εσείς.
i) Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο αφού επομένως .
Ομοίως το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο κι έτσι .
Άρα από το σημείο άγονται δύο ημιευθείες παράλληλες στην κι έτσι οι ημιευθείες ανήκουν στην ίδια ευθεία όπως και τα σημεία .
ii)Από υπόθεση .Ακόμη λόγω των παραλληλογράμμων .
Έτσι τα τρίγωνα είναι ίσα άρα έχουν και ίσες περιμέτρους.
Δίνεται τρίγωνο και από το μέσο της της φέρνουμε τμήματα ίσο και παράλληλο με το και ίσο και παράλληλο με το
(τα βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο της με το ).
Να αποδειχθεί ότι:
i)Τα σημεία είναι συνευθειακά.
ii)Η περίμετρος του τριγώνου ισούται με την περίμετρο του τριγώνου .
Στο τρίτο ερώτημα λείπουν πολλά δεδομένα.Θα προσπαθήσω να βγάλω άκρη αλλά δείτε το κι εσείς.
i) Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο αφού επομένως .
Ομοίως το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο κι έτσι .
Άρα από το σημείο άγονται δύο ημιευθείες παράλληλες στην κι έτσι οι ημιευθείες ανήκουν στην ίδια ευθεία όπως και τα σημεία .
ii)Από υπόθεση .Ακόμη λόγω των παραλληλογράμμων .
Έτσι τα τρίγωνα είναι ίσα άρα έχουν και ίσες περιμέτρους.
Γιώργος Γαβριλόπουλος
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Άσκηση 4562
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο με τη γωνία ορθή και τυχαίο σημείο της πλευράς . Φέρουμε τις διχοτόμους των γωνιών και οι οποίες τέμνουν τις και στα σημείακαιαντίστοιχα.
α) Να αποδείξετε ότι, η γωνίαείναι ορθή.
β) Αντο μέσο του, να αποδείξετε ότι . Λύση
α) 'Εστω και
Τότε άρα
β) Το είναι διάμεσος του ορθογωνίου τριγώνου που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα άρα
Όμοια το είναι διάμεσος του ορθογωνίου τριγώνου που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα άρα
Οπότε
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο με τη γωνία ορθή και τυχαίο σημείο της πλευράς . Φέρουμε τις διχοτόμους των γωνιών και οι οποίες τέμνουν τις και στα σημείακαιαντίστοιχα.
α) Να αποδείξετε ότι, η γωνίαείναι ορθή.
β) Αντο μέσο του, να αποδείξετε ότι . Λύση
α) 'Εστω και
Τότε άρα
β) Το είναι διάμεσος του ορθογωνίου τριγώνου που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα άρα
Όμοια το είναι διάμεσος του ορθογωνίου τριγώνου που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα άρα
Οπότε
Γκριμπαβιώτης Παναγιώτης
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Gavrilo καλησπέρα. Πράγματι λείπουν δεδομένα (τυπογραφικά). Το ερώτημα είναι το ίδιο με την 3954 που λύνει πιο πάνω ο Ηλίας!
Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
Μαθηματικός
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Θα τη φανερώσω όταν δοθούν οι 2 προηγούμενες!
Άσκηση 4569
α) Είναι ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων με τέμνουσα την . Επίσης αφού διχοτόμος. Επομένως είναι και . Συνεπώς το τρίγωνο είναι ισοσκελές και άρα (1)
β) Είναι άρα το τρίγωνο ισοσκελές και άρα (2)
γ) Είναι (3) ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων με τέμνουσα την . Από (2),(3) είναι άρα διχοτόμος της γωνίας
Άσκηση 4569
α) Είναι ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων με τέμνουσα την . Επίσης αφού διχοτόμος. Επομένως είναι και . Συνεπώς το τρίγωνο είναι ισοσκελές και άρα (1)
β) Είναι άρα το τρίγωνο ισοσκελές και άρα (2)
γ) Είναι (3) ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων με τέμνουσα την . Από (2),(3) είναι άρα διχοτόμος της γωνίας
τελευταία επεξεργασία από pana1333 σε Τετ Μάιος 28, 2014 2:50 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
Μαθηματικός
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Άσκηση: 4762
Στο παρακάτω σχήμα το ορθογώνιο παριστάνει ένα τραπέζι μπιλιάρδου.
Ένας παίχτης τοποθετεί μια μπάλα στο σημείο το οποίο ανήκει στη μεσοκάθετη
της που απέχει από αυτή απόσταση ίση με . Όταν ο παίχτης χτυπήσει τη
μπάλα αυτή ακολουθεί τη διαδρομή χτυπώντας στους τοίχους
του μπιλιάρδου διαδοχικά . Για τη διαδρομή αυτή ισχύει ότι κάθε γωνία
πρόσπτωσης σε τοίχο ( π.χ. η γωνία ) είναι ίση με κάθε γωνία ανάκλασης σε τοίχο (π.χ. η γωνία ) και κάθε μια απ’ αυτές είναι .
α) Να αποδείξετε ότι :
1. Η διαδρομή της μπάλας είναι τετράγωνο ( μ 9)
2. Το σημείο ισαπέχει από τις κορυφές του μπιλιάρδου. (μ 8)
β) Αν η είναι διπλάσια από την απόσταση του από τον τοίχο να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου . (μ 8) Σχόλιο:
Στην πιο πάνω άσκηση έχω την εξής άποψη :
Είτε δίδουμε ότι η διαδρομή είναι και εξ ανάγκης μετά η απόσταση του , που βρίσκεται στη μεσοκάθετο του , είναι ίση με .
Είτε δίδουμε ότι η απόσταση του από τη είναι ίση με και εξ ανάγκης μετά η διαδρομή είναι .
Και τα δύο σαν δεδομένα μόνο σύγχυση μπορούν να προκαλέσουν .
Και στις δύο περιπτώσεις η διαδρομή ορίζει τετράγωνο. Αλλά η άσκηση δεν είναι απλή για τους μαθητές. Εικάζω ότι ο θεματοδότης θέλει να βοηθήσει τα παιδιά
αλλά αυτό έχει αντίθετο αποτέλεσμα ιδίως για του διαβασμένους μαθητές .
Στο παρακάτω σχήμα το ορθογώνιο παριστάνει ένα τραπέζι μπιλιάρδου.
Ένας παίχτης τοποθετεί μια μπάλα στο σημείο το οποίο ανήκει στη μεσοκάθετη
της που απέχει από αυτή απόσταση ίση με . Όταν ο παίχτης χτυπήσει τη
μπάλα αυτή ακολουθεί τη διαδρομή χτυπώντας στους τοίχους
του μπιλιάρδου διαδοχικά . Για τη διαδρομή αυτή ισχύει ότι κάθε γωνία
πρόσπτωσης σε τοίχο ( π.χ. η γωνία ) είναι ίση με κάθε γωνία ανάκλασης σε τοίχο (π.χ. η γωνία ) και κάθε μια απ’ αυτές είναι .
α) Να αποδείξετε ότι :
1. Η διαδρομή της μπάλας είναι τετράγωνο ( μ 9)
2. Το σημείο ισαπέχει από τις κορυφές του μπιλιάρδου. (μ 8)
β) Αν η είναι διπλάσια από την απόσταση του από τον τοίχο να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου . (μ 8) Σχόλιο:
Στην πιο πάνω άσκηση έχω την εξής άποψη :
Είτε δίδουμε ότι η διαδρομή είναι και εξ ανάγκης μετά η απόσταση του , που βρίσκεται στη μεσοκάθετο του , είναι ίση με .
Είτε δίδουμε ότι η απόσταση του από τη είναι ίση με και εξ ανάγκης μετά η διαδρομή είναι .
Και τα δύο σαν δεδομένα μόνο σύγχυση μπορούν να προκαλέσουν .
Και στις δύο περιπτώσεις η διαδρομή ορίζει τετράγωνο. Αλλά η άσκηση δεν είναι απλή για τους μαθητές. Εικάζω ότι ο θεματοδότης θέλει να βοηθήσει τα παιδιά
αλλά αυτό έχει αντίθετο αποτέλεσμα ιδίως για του διαβασμένους μαθητές .
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Άσκηση 4565
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο με τη γωνία ορθή και η διάμεσός του.
Από το φέρουμε κάθετη στην και κάθετη στην .
Αν είναι τα μέσα των και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:
α)
β) Η είναι διχοτόμος της γωνίας .
γ)
Λύση
α) Είναι ως διάμεσος στην υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου .
Έτσι το τρίγωνο είναι ισοσκελές δηλαδή
β) Είναι ως διάμεσος στην υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου .
Έτσι στο ισοσκελές τρίγωνο το είναι ύψος στη βάση του άρα είναι και διχοτόμος της γωνίας .
γ) Είναι ως διάμεσος στην υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου
Ωδή στη διάμεσο
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο με τη γωνία ορθή και η διάμεσός του.
Από το φέρουμε κάθετη στην και κάθετη στην .
Αν είναι τα μέσα των και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:
α)
β) Η είναι διχοτόμος της γωνίας .
γ)
Λύση
α) Είναι ως διάμεσος στην υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου .
Έτσι το τρίγωνο είναι ισοσκελές δηλαδή
β) Είναι ως διάμεσος στην υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου .
Έτσι στο ισοσκελές τρίγωνο το είναι ύψος στη βάση του άρα είναι και διχοτόμος της γωνίας .
γ) Είναι ως διάμεσος στην υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου
Ωδή στη διάμεσο
- Συνημμένα
-
- 4565.png (13.15 KiB) Προβλήθηκε 3393 φορές
Ηλίας Καμπελής
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Στην εκφώνηση του γ) ερωτήματος λείπουν:gavrilos έγραψε:Θέμα 4555
Δίνεται τρίγωνο και από το μέσο της της φέρνουμε τμήματα ίσο και παράλληλο με το και ίσο και παράλληλο με το
(τα βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο της με το ).
Να αποδειχθεί ότι:
i)Τα σημεία είναι συνευθειακά.
ii)Η περίμετρος του τριγώνου ισούται με την περίμετρο του τριγώνου .
Στο τρίτο ερώτημα λείπουν πολλά δεδομένα.Θα προσπαθήσω να βγάλω άκρη αλλά δείτε το κι εσείς.
1) Στην σειρά πριν από την παρένθεση, η σχέση: (εντός εναλλάξ...)
2) Στην σειρά πρέπει να γραφεί:
Όμως, (άθροισμα γωνιών...)
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Άσκηση 4567
Δίνεται τετράγωνο και εντός αυτού ισόπλευρο τρίγωνο . Αν η προέκταση της τέμνει τη στο σημείο , να αποδείξετε ότι:
α) (Μονάδες )
β) Τα τρίγωνα και είναι ίσα. (Μονάδες )
γ) Η είναι διχοτόμος της γωνίας (Μονάδες )
Λύση:
α) Επειδή το τρίγωνο είναι ισόπλευρο θα είναι και .
Άρα: .
Οπότε:
β) Τα τρίγωνα και είναι ίσα, επειδή έχουν:
κοινή πλευρά, (πλευρές τετραγώνου) και (η διαγώνιος τετραγώνου διχοτομεί τις γωνίες του).
γ) Από την ισότητα των τριγώνων του προηγούμενου ερωτήματος προκύπτει ότι
κι επειδή , θα είναι και , δηλαδή η είναι διχοτόμος της γωνίας
Δίνεται τετράγωνο και εντός αυτού ισόπλευρο τρίγωνο . Αν η προέκταση της τέμνει τη στο σημείο , να αποδείξετε ότι:
α) (Μονάδες )
β) Τα τρίγωνα και είναι ίσα. (Μονάδες )
γ) Η είναι διχοτόμος της γωνίας (Μονάδες )
Λύση:
α) Επειδή το τρίγωνο είναι ισόπλευρο θα είναι και .
Άρα: .
Οπότε:
β) Τα τρίγωνα και είναι ίσα, επειδή έχουν:
κοινή πλευρά, (πλευρές τετραγώνου) και (η διαγώνιος τετραγώνου διχοτομεί τις γωνίες του).
γ) Από την ισότητα των τριγώνων του προηγούμενου ερωτήματος προκύπτει ότι
κι επειδή , θα είναι και , δηλαδή η είναι διχοτόμος της γωνίας
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Τρί Μάιος 27, 2014 10:35 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Θέμα 4571
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο με και σημείο στην προέκταση της . Από το φέρουμε κάθετη στην και κάθετη στην προέκταση της .
Από το σημείο φέρουμε κάθετη στην και κάθετη στην .
Να αποδείξετε ότι:
α) H γωνία είναι ίση με τη γωνία . (Μονάδες 4)
β) Η είναι διχοτόμος της γωνίας. (Μονάδες 4)
γ) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. (Μονάδες 9)
δ) (Μονάδες 8)
Λύση
α) Έχουμε άρα το είναι ορθογώνιο αφού έχει 3 ορθές γωνίες. Άρα άρα ως εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των που τέμνονται από την .
β) ως κατά κορυφήν
αφού το τρίγωνο ισοσκελές
και από ερώτημα (α).
Άρα \displaystyle{\Rightarrow} άρα και έχουμε ότι η διχοτόμος της
γ)Συγκρίνουμε τα ορθογώνια τρίγωνα αυτά έχουν:
1) κοινή πλευρά
2) από ερώτημα (β)
Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα άρα έχουν άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
(Εναλλακτικά για το (γ)
Συγκρίνουμε τα τρίγωνα αυτά έχουν:
1) από ερώτημα (β)
2) κοινή πλευρά
3) από ερώτημα (β)
Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα γιατί έχουν μια πλευρά και τις προσκείμενες γωνίες μία προς μία ίσες (Γ-Π-Γ) άρα έχουν άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές.)
δ)Από ερώτημα (α) ορθογώνιο. Άρα (1) (απέναντι πλευρές ορθογωνίου)
Από ερώτημα (γ) (2)
Έχουμε \displaystyle{\Delta K=\Delta E+H\Gamma}
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο με και σημείο στην προέκταση της . Από το φέρουμε κάθετη στην και κάθετη στην προέκταση της .
Από το σημείο φέρουμε κάθετη στην και κάθετη στην .
Να αποδείξετε ότι:
α) H γωνία είναι ίση με τη γωνία . (Μονάδες 4)
β) Η είναι διχοτόμος της γωνίας. (Μονάδες 4)
γ) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. (Μονάδες 9)
δ) (Μονάδες 8)
Λύση
α) Έχουμε άρα το είναι ορθογώνιο αφού έχει 3 ορθές γωνίες. Άρα άρα ως εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των που τέμνονται από την .
β) ως κατά κορυφήν
αφού το τρίγωνο ισοσκελές
και από ερώτημα (α).
Άρα \displaystyle{\Rightarrow} άρα και έχουμε ότι η διχοτόμος της
γ)Συγκρίνουμε τα ορθογώνια τρίγωνα αυτά έχουν:
1) κοινή πλευρά
2) από ερώτημα (β)
Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα άρα έχουν άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
(Εναλλακτικά για το (γ)
Συγκρίνουμε τα τρίγωνα αυτά έχουν:
1) από ερώτημα (β)
2) κοινή πλευρά
3) από ερώτημα (β)
Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα γιατί έχουν μια πλευρά και τις προσκείμενες γωνίες μία προς μία ίσες (Γ-Π-Γ) άρα έχουν άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές.)
δ)Από ερώτημα (α) ορθογώνιο. Άρα (1) (απέναντι πλευρές ορθογωνίου)
Από ερώτημα (γ) (2)
Έχουμε \displaystyle{\Delta K=\Delta E+H\Gamma}
- Συνημμένα
-
- Άσκηση 4571.docx
- (53.34 KiB) Μεταφορτώθηκε 211 φορές
τελευταία επεξεργασία από lafkasd σε Κυρ Ιουν 01, 2014 10:56 am, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Ασκήσεις 4574-4579 (είναι ίδιες)
Δίνεται τρίγωνο με και αντίστοιχα η εσωτερική και η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας ( σημεία της ευθείας ).
Φέρουμε κάθετη στην και κάθετη στην και θεωρούμε το μέσο του .
Να αποδείξετε ότι:
α) Το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο.
β) Η γωνία είναι ίση με τη γωνία .
γ) Η ευθεία διέρχεται από το .
δ)
Λύση
(Υπάρχει τυπογραφικό λάθος, μάλλον στην άσκηση, το είναι μέσο της και όχι της , φαίνεται και από το σχήμα που δίνουν)
α) Το τρίγωνο δεν μπορεί να είναι ισοσκελές.
Είναι ως διχοτόμοι εφεξής και παραπληρωματικών γωνιών.
Έτσι το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο αφού έχει τρείς ορθές γωνίες.
β) Αν είναι το κέντρο του τότε ως μισά των ίσων διαγωνίων
οπότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές δηλαδή .
γ) Το είναι μέσο της και το της , έτσι από το τρίγωνο είναι
Από το (β) ερώτημα είναι δηλαδή η είναι παράλληλη στην αφού σχηματίζονται εντός εναλλάξ γωνίες ίσες.
Άρα η διέρχεται από το αφού από το μία μόνο παράλληλη διέρχεται προς την .
δ) Είναι:
Δίνεται τρίγωνο με και αντίστοιχα η εσωτερική και η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας ( σημεία της ευθείας ).
Φέρουμε κάθετη στην και κάθετη στην και θεωρούμε το μέσο του .
Να αποδείξετε ότι:
α) Το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο.
β) Η γωνία είναι ίση με τη γωνία .
γ) Η ευθεία διέρχεται από το .
δ)
Λύση
(Υπάρχει τυπογραφικό λάθος, μάλλον στην άσκηση, το είναι μέσο της και όχι της , φαίνεται και από το σχήμα που δίνουν)
α) Το τρίγωνο δεν μπορεί να είναι ισοσκελές.
Είναι ως διχοτόμοι εφεξής και παραπληρωματικών γωνιών.
Έτσι το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο αφού έχει τρείς ορθές γωνίες.
β) Αν είναι το κέντρο του τότε ως μισά των ίσων διαγωνίων
οπότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές δηλαδή .
γ) Το είναι μέσο της και το της , έτσι από το τρίγωνο είναι
Από το (β) ερώτημα είναι δηλαδή η είναι παράλληλη στην αφού σχηματίζονται εντός εναλλάξ γωνίες ίσες.
Άρα η διέρχεται από το αφού από το μία μόνο παράλληλη διέρχεται προς την .
δ) Είναι:
- Συνημμένα
-
- 4574.png (26.17 KiB) Προβλήθηκε 3636 φορές
Ηλίας Καμπελής
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες