ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος
- exdx
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1733
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Τέλος
τελευταία επεξεργασία από exdx σε Κυρ Ιουν 08, 2014 7:51 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Kαλαθάκης Γιώργης
- Christos.N
- Δημοσιεύσεις: 2105
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
- Τοποθεσία: Ίλιον
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
3695
α) Αρκεί να δείξουμε ότι . Γνωρίζουμε ότι τα τρίγωνα και είναι ορθογώνια έχουν την πλευρά κοινή και τις γωνίες και ίσες (καθώς το είναι ισοσκελές με βάση ), συνεπώς ικανοποιείται το κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων (υποτείνουσα -οξεία γωνία) άρα τα τρίγωνα είναι ίσα. Θα έχουν λοιπόν όλα τα στοιχεία τους ίσα, άρα .
β) Πρόταση: Έστω ΑΒΓ τρίγωνο με βάση , αν τα ύψη του και είναι ίσα μεταξύ τους τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές.
Αρκεί να δείξουμε ότι οι γωνίες και ίσες. Γνωρίζουμε ότι τα τρίγωνα και είναι ορθογώνια έχουν την πλευρά κοινή και τις πλευρές και ίσες, συνεπώς ικανοποιείται το κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων (υποτείνουσα -κάθετη πλευρά) άρα τα τρίγωνα είναι ίσα. Θα έχουν λοιπόν όλα τα στοιχεία τους ίσα, άρα και τις γωνίες και ίσες μεταξύ τους.
γ) Μια διατύπωση: Από nik21 : "Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές αν και μόνο αν δύο από τα ύψη του είναι ίσα.".
Απαντήσεις:Έστω ΑΒΓ τρίγωνο και τα ύψη του και που αντιστοιχούν στις πλευρές και
αντίστοιχα. Δίνεται η ακόλουθη πρόταση:
Π: Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με, τότε τα ύψη που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές του είναι ίσα.
α) Να εξετάσετε αν ισχύει η πρόταση Π αιτιολογώντας την απάντησή σας
(Μονάδες 10)
β) Να διατυπώσετε την αντίστροφη πρόταση της Π και να αποδείξετε ότι ισχύει.
(Μονάδες 10)
γ) Να διατυπώσετε την πρόταση Π και την αντίστροφή της ως ενιαία πρόταση.
(Μονάδες 5)
α) Αρκεί να δείξουμε ότι . Γνωρίζουμε ότι τα τρίγωνα και είναι ορθογώνια έχουν την πλευρά κοινή και τις γωνίες και ίσες (καθώς το είναι ισοσκελές με βάση ), συνεπώς ικανοποιείται το κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων (υποτείνουσα -οξεία γωνία) άρα τα τρίγωνα είναι ίσα. Θα έχουν λοιπόν όλα τα στοιχεία τους ίσα, άρα .
β) Πρόταση: Έστω ΑΒΓ τρίγωνο με βάση , αν τα ύψη του και είναι ίσα μεταξύ τους τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές.
Αρκεί να δείξουμε ότι οι γωνίες και ίσες. Γνωρίζουμε ότι τα τρίγωνα και είναι ορθογώνια έχουν την πλευρά κοινή και τις πλευρές και ίσες, συνεπώς ικανοποιείται το κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων (υποτείνουσα -κάθετη πλευρά) άρα τα τρίγωνα είναι ίσα. Θα έχουν λοιπόν όλα τα στοιχεία τους ίσα, άρα και τις γωνίες και ίσες μεταξύ τους.
γ) Μια διατύπωση: Από nik21 : "Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές αν και μόνο αν δύο από τα ύψη του είναι ίσα.".
τελευταία επεξεργασία από Christos.N σε Σάβ Ιουν 07, 2014 5:19 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Άσκηση 4593
Δίνεται τρίγωνο και οι διάμεσοί του και . Προεκτείνουμε το τμήμα
(προς το ) κατά τμήμα .
Να αποδείξετε ότι:
α) Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 8)
β) Η περίμετρος του τριγώνου είναι ίση με το άθροισμα των διαμέσων του
τριγώνου . (Μονάδες 9)
γ) Οι ευθείες και τριχοτομούν το τμήμα . (Μονάδες 8)
Λύση α)Αφού διάμεσοι του τριγώνου τότε μέσα των πλευρών του και βαρύκεντρο. Άρα
Αφού μέσα αντίστοιχα, τότε από θεώρημα, .
Αλλά από υπόθεση . Έτσι και μέσο
Από το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. Συνεπώς
β) Λόγω (3) και μέσο τα διχοτομούνται. Άρα είναι παραλληλόγραμμο. Επομένως .
Από το β) είναι προφανές.
γ)Στο τρίγωνο , μέσο και (λόγω παραλληλογράμμου ).
Άρα μέσο . Τότε από .
Άρα, οι ευθείες και τριχοτομούν το τμήμα .
Δίνεται τρίγωνο και οι διάμεσοί του και . Προεκτείνουμε το τμήμα
(προς το ) κατά τμήμα .
Να αποδείξετε ότι:
α) Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 8)
β) Η περίμετρος του τριγώνου είναι ίση με το άθροισμα των διαμέσων του
τριγώνου . (Μονάδες 9)
γ) Οι ευθείες και τριχοτομούν το τμήμα . (Μονάδες 8)
Λύση α)Αφού διάμεσοι του τριγώνου τότε μέσα των πλευρών του και βαρύκεντρο. Άρα
Αφού μέσα αντίστοιχα, τότε από θεώρημα, .
Αλλά από υπόθεση . Έτσι και μέσο
Από το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. Συνεπώς
β) Λόγω (3) και μέσο τα διχοτομούνται. Άρα είναι παραλληλόγραμμο. Επομένως .
Από το β) είναι προφανές.
γ)Στο τρίγωνο , μέσο και (λόγω παραλληλογράμμου ).
Άρα μέσο . Τότε από .
Άρα, οι ευθείες και τριχοτομούν το τμήμα .
τελευταία επεξεργασία από VreAnt σε Σάβ Ιουν 07, 2014 5:26 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Βρέντζος Αντώνης
- Christos.N
- Δημοσιεύσεις: 2105
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
- Τοποθεσία: Ίλιον
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
3697
α) Υποθέτουμε ότι Δ,Ε,Ζ είναι τα μέσα του ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) τότε:
,άρα το ΔΖΕ είναι ισοσκελές.
β)
i. Υποθέτουμε ότι Δ,Ε,Ζ είναι τα μέσα του ισόπλευρου τριγώνου ΑΒΓ τότε: , άρα το ΔΖΕ είναι ισόπλευρο.
Σχόλιο: μπορεί βέβαια να πει ο λύτης προφανές καθώς κάθε ισόπλευρο θεωρείται ισοσκελές ανά δύο πλευρές και να αναχθεί στο α) ερώτημα.
ii. Υποθέτουμε ότι Δ,Ε,Ζ είναι τα μέσα του ορθογωνίου και ισοσκελές τριγώνου ΑΒΓ
τότε: Γνωρίζουμε ότι σχηματιζόμενο τρίγωνο είναι ισοσκελές από το ερώτημα α), μένει να δείξουμε ότι είναι ορθογώνιο.
Πράγματι:
Απαντήσεις:α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο με κορυφές τα μέσα πλευρών ισοσκελούς τριγώνου είναι ισοσκελές. (Μονάδες 8)
β) Να διατυπώσετε και να αποδείξετε ανάλογη πρόταση για
i. ισόπλευρο τρίγωνο. (Μονάδες 8)
ii. ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο. (Μονάδες 9)
α) Υποθέτουμε ότι Δ,Ε,Ζ είναι τα μέσα του ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) τότε:
,άρα το ΔΖΕ είναι ισοσκελές.
β)
i. Υποθέτουμε ότι Δ,Ε,Ζ είναι τα μέσα του ισόπλευρου τριγώνου ΑΒΓ τότε: , άρα το ΔΖΕ είναι ισόπλευρο.
Σχόλιο: μπορεί βέβαια να πει ο λύτης προφανές καθώς κάθε ισόπλευρο θεωρείται ισοσκελές ανά δύο πλευρές και να αναχθεί στο α) ερώτημα.
ii. Υποθέτουμε ότι Δ,Ε,Ζ είναι τα μέσα του ορθογωνίου και ισοσκελές τριγώνου ΑΒΓ
τότε: Γνωρίζουμε ότι σχηματιζόμενο τρίγωνο είναι ισοσκελές από το ερώτημα α), μένει να δείξουμε ότι είναι ορθογώνιο.
Πράγματι:
τελευταία επεξεργασία από Christos.N σε Σάβ Ιουν 07, 2014 4:55 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13234
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Άσκηση 3699
Έστω παραλληλόγραμμο . Αν τα σημεία και είναι τα μέσα των και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:
α) Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 8)
β) (Μονάδες 8)
γ) Οι και τριχοτομούν τη διαγώνιο του παραλληλογράμμου . (Μονάδες 7)
Λύση:
α) , οπότε το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.
β) Θα δείξω ότι .
Πράγματι, (ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων που τέμνονται από την ) και (ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων που τέμνονται από τη )
Άρα, , δηλαδή
γ) Έστω τα σημεία τομής της με τις αντίστοιχα. Θα δείξω ότι .
Στο τρίγωνο , είναι το μέσο της και . Άρα, είναι το μέσο της . Οπότε:
Στο τρίγωνο , είναι το μέσο της και . Άρα, είναι το μέσο της . Οπότε: .
Επομένως, .
Έστω παραλληλόγραμμο . Αν τα σημεία και είναι τα μέσα των και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:
α) Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 8)
β) (Μονάδες 8)
γ) Οι και τριχοτομούν τη διαγώνιο του παραλληλογράμμου . (Μονάδες 7)
Λύση:
α) , οπότε το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.
β) Θα δείξω ότι .
Πράγματι, (ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων που τέμνονται από την ) και (ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων που τέμνονται από τη )
Άρα, , δηλαδή
γ) Έστω τα σημεία τομής της με τις αντίστοιχα. Θα δείξω ότι .
Στο τρίγωνο , είναι το μέσο της και . Άρα, είναι το μέσο της . Οπότε:
Στο τρίγωνο , είναι το μέσο της και . Άρα, είναι το μέσο της . Οπότε: .
Επομένως, .
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Σάβ Ιουν 07, 2014 5:26 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4768
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
ΑΣΚΗΣΗ 3704
Έστω δυο κάθετες ευθείες που τέμνονται στο Ο και τυχαίο σημείο Μ του επιπέδου που δεν ανήκει στις ευθείες.
α) Αν είναι το συμμετρικό του Μ ως προς την και το συμμετρικό του ως προς την , να αποδείξετε ότι:
I.
II. Τα σημεία Μ, Ο και είναι συνευθειακά.
III. Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.
β) Αν είναι το συμμετρικό σημείο του ως προς την , τι είδους παραλληλόγραμμο είναι το ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
ΛΥΣΗ
(α) (i) Aφού η είναι μεσοκάθετος του , (λόγω της συμμετρίας) , θα έχουμε .
(ii) Αφού και η είναι μεσοκάθετος της άρα και το τρίγωνο είναι ισοσκελες. Αφού λοιπόν τα τρίγωνα
και είναι ισοσκελή, άρα τα ύψη τους θα είναι και διχοτόμοι των γωνιών των κορυφών τους. Άρα
και . Όμως
.
Άρα τα σημεία είναι συνευθειακά.
(iii) Επίσης λόγω των ισοσκελών τριγώνων που αναφέραμε πιο πάνω , είναι . Άρα στο τρίγωνο η διάμεσος ισούται
με το μισό της αντίστοιχης πλευράς. Άρα το τρίγωνο αυτό είναι ορθογώνιο με
(β) Με όμοιο τρόπο όπως και στο (ιι) δείχνουμε ότι τα σημεία είναι επίσης συνευθειακά και ότι τo τρίγωνo είναι και αυτό
ισοσκελές.
Άρα λόγων και των άλλων ισοσκελών τριγώνων που αναφέραμε στα προηγούμενα, θα έχουμε: . Συνεπώς στο τετράπλευρο
οι διαγώνιοί του διχοτομούνται και είναι ίσες και άρα το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.
Έστω δυο κάθετες ευθείες που τέμνονται στο Ο και τυχαίο σημείο Μ του επιπέδου που δεν ανήκει στις ευθείες.
α) Αν είναι το συμμετρικό του Μ ως προς την και το συμμετρικό του ως προς την , να αποδείξετε ότι:
I.
II. Τα σημεία Μ, Ο και είναι συνευθειακά.
III. Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.
β) Αν είναι το συμμετρικό σημείο του ως προς την , τι είδους παραλληλόγραμμο είναι το ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
ΛΥΣΗ
(α) (i) Aφού η είναι μεσοκάθετος του , (λόγω της συμμετρίας) , θα έχουμε .
(ii) Αφού και η είναι μεσοκάθετος της άρα και το τρίγωνο είναι ισοσκελες. Αφού λοιπόν τα τρίγωνα
και είναι ισοσκελή, άρα τα ύψη τους θα είναι και διχοτόμοι των γωνιών των κορυφών τους. Άρα
και . Όμως
.
Άρα τα σημεία είναι συνευθειακά.
(iii) Επίσης λόγω των ισοσκελών τριγώνων που αναφέραμε πιο πάνω , είναι . Άρα στο τρίγωνο η διάμεσος ισούται
με το μισό της αντίστοιχης πλευράς. Άρα το τρίγωνο αυτό είναι ορθογώνιο με
(β) Με όμοιο τρόπο όπως και στο (ιι) δείχνουμε ότι τα σημεία είναι επίσης συνευθειακά και ότι τo τρίγωνo είναι και αυτό
ισοσκελές.
Άρα λόγων και των άλλων ισοσκελών τριγώνων που αναφέραμε στα προηγούμενα, θα έχουμε: . Συνεπώς στο τετράπλευρο
οι διαγώνιοί του διχοτομούνται και είναι ίσες και άρα το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.
τελευταία επεξεργασία από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ σε Σάβ Ιουν 07, 2014 7:11 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
ΑΣΚΗΣΗ 3699
Βλέπω την ετοιμάζει Ο Γιώργος αλλά αφού την έγραψα την αφήνω
Λύση Ας πούμε το μήκος της πλευράς τότε προφανώς θα είναι : .
α) το τετράπλευρο έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες γιατί από την υπόθεση το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. Επίσης . Δηλαδή που μας
εξασφαλίζει ότι και το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο και άρα :
β) , οι δε απέναντι γωνίες του είναι ίσες , συνεπώς .
Επειδή τα παραπληρώματα ίσων γωνιών είναι ίσα από:
γ) Φέρνουμε από το παράλληλη στην και θα κόψει την ευθεία στο .
Άμεση συνέπεια: και το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο γιατί έχει ανά δύο τις απέναντι πλευρές του παράλληλες . Θα είναι επομένως ίσες, οπότε :
Ας είναι τώρα τα σημεία τομής της με τις αντίστοιχα.
Οι ευθείες είναι παράλληλες και τα τμήματα θα είναι λοιπόν και . Αφού ως γνωστόν:
Αν τμήματα ευθείας περιεχόμενα μεταξύ παραλλήλων ευθειών είναι ίσα και κάθε άλλης ευθείας τα τμήματα τα περιεχόμενα μεταξύ των αυτών παραλλήλων ευθειών είναι ίσα.
Νίκος
Βλέπω την ετοιμάζει Ο Γιώργος αλλά αφού την έγραψα την αφήνω
Λύση Ας πούμε το μήκος της πλευράς τότε προφανώς θα είναι : .
α) το τετράπλευρο έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες γιατί από την υπόθεση το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. Επίσης . Δηλαδή που μας
εξασφαλίζει ότι και το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο και άρα :
β) , οι δε απέναντι γωνίες του είναι ίσες , συνεπώς .
Επειδή τα παραπληρώματα ίσων γωνιών είναι ίσα από:
γ) Φέρνουμε από το παράλληλη στην και θα κόψει την ευθεία στο .
Άμεση συνέπεια: και το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο γιατί έχει ανά δύο τις απέναντι πλευρές του παράλληλες . Θα είναι επομένως ίσες, οπότε :
Ας είναι τώρα τα σημεία τομής της με τις αντίστοιχα.
Οι ευθείες είναι παράλληλες και τα τμήματα θα είναι λοιπόν και . Αφού ως γνωστόν:
Αν τμήματα ευθείας περιεχόμενα μεταξύ παραλλήλων ευθειών είναι ίσα και κάθε άλλης ευθείας τα τμήματα τα περιεχόμενα μεταξύ των αυτών παραλλήλων ευθειών είναι ίσα.
Νίκος
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Κυρ Ιουν 08, 2014 11:05 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Μάλλον λέγοντας "ως ενιαία πρόταση" εννοεί "ενα τρίγωνο είναι ισοσκελές αν και μόνο αν δύο από τα ύψη του είναι ίσα."Christos.N έγραψε: γ) Να διατυπώσετε την πρόταση Π και την αντίστροφή της ως ενιαία πρόταση.
(Μονάδες 5)
γ) Μια διατύπωση: Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο τα ύψη που φέρονται από την βάση είναι ίσα και αντίστροφα.
- Christos.N
- Δημοσιεύσεις: 2105
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
- Τοποθεσία: Ίλιον
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Δεν διαφωνώ καθόλου, νομίζω ότι το εκφράζεις άψογα. Υπάρχει ένσταση εννοιολογική στην δική μου διατύπωση; Αν ναι να την διορθώσω άμεσα.nik21 έγραψε:
Μάλλον λέγοντας "ως ενιαία πρόταση" εννοεί "ενα τρίγωνο είναι ισοσκελές αν και μόνο αν δύο από τα ύψη του είναι ίσα."
Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Καμία ένσταση ως προς την ορθότητα. Επειδή όμως ζητάει μία ενιαία πρόταση θεωρώ ότι δεν εννοεί το "και αντίστροφα", αφού αυτό εννοεί ουσιαστικά μία άλλη πρόταση (αυτή του προηγούμενου ερωτήματος, δηλ. αν δυό ύψη είναι ίσα, τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές.)Christos.N έγραψε: Δεν διαφωνώ καθόλου, νομίζω ότι το εκφράζεις άψογα. Υπάρχει ένσταση εννοιολογική στην δική μου διατύπωση; Αν ναι να την διορθώσω άμεσα.
- Christos.N
- Δημοσιεύσεις: 2105
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
- Τοποθεσία: Ίλιον
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Συμφωνώ μαζί σου αποτυπώνω στην παραπάνω απάντηση την δική σου πρόταση.
Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13234
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Άσκηση 3705
Δίνεται ορθογώνιο και έξω από αυτό, κατασκευάζουμε τα ισόπλευρα τρίγωνα .
α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι ρόμβος. (Μονάδες 15)
β) Αν το αρχικό τετράπλευρο είναι τετράγωνο, τότε τι είδους παραλληλόγραμμο είναι το ; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. (Μονάδες 10)
Λύση:
α)
Ομοίως αποδεικνύεται ότι:
Έχουμε ακόμα: και
Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα (Π-Γ-Π).
Οπότε, . Δηλαδή το το τετράπλευρο είναι ρόμβος.
β) Αν το αρχικό τετράπλευρο είναι τετράγωνο, τότε τα ίσα τρίγωνα του προηγούμενου ερωτήματος θα είναι ισοσκελή, οπότε
Άρα το είναι τετράγωνο, αφού είναι ρόμβος με μία γωνία ορθή.
Δίνεται ορθογώνιο και έξω από αυτό, κατασκευάζουμε τα ισόπλευρα τρίγωνα .
α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι ρόμβος. (Μονάδες 15)
β) Αν το αρχικό τετράπλευρο είναι τετράγωνο, τότε τι είδους παραλληλόγραμμο είναι το ; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. (Μονάδες 10)
Λύση:
α)
Ομοίως αποδεικνύεται ότι:
Έχουμε ακόμα: και
Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα (Π-Γ-Π).
Οπότε, . Δηλαδή το το τετράπλευρο είναι ρόμβος.
β) Αν το αρχικό τετράπλευρο είναι τετράγωνο, τότε τα ίσα τρίγωνα του προηγούμενου ερωτήματος θα είναι ισοσκελή, οπότε
Άρα το είναι τετράγωνο, αφού είναι ρόμβος με μία γωνία ορθή.
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Σάβ Ιουν 07, 2014 6:51 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Άσκηση 3706
Θεωρούμε ευθεία και δυο σημεία και εκτός αυτής, τα οποία βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο σε σχέση με την έτσι ώστε, η ευθεία να μην είναι κάθετη στην . Έστω και τα συμμετρικά σημεία των και αντίστοιχα ως προς την ευθεία .
α) Αν η μεσοκάθετος του τέμνει την ευθεία στο σημείο , να αποδείξετε ότι το ανήκει και στη μεσοκάθετο του . (Μονάδες 10)
β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι τραπέζιο. (Μονάδες 8)
γ) Να βρείτε τη σχέση των ευθειών και της ευθείας ώστε το τετράπλευρο
να είναι ορθογώνιο. Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. (Μονάδες 7)
Λύση α)Τα συμμετρικά των ως προς είναι τα . Άρα .
Αλλά μεσοκάθετος . Άρα . Επομένως . Συνεπώς ανήκει στη μεσοκάθετο του .
β)Από ορισμό συμμετρίας, έχω: και . Άρα .
1η περίπτωση: Αν τότε εξ ορισμού είναι τραπέζιο. (και μάλιστα ισοσκελές αφού )
2η περίπτωση: Αν τότε εξ ορισμού είναι παραλληλόγραμμο.
Άρα .Έτσι . Συνεπώς ορθογώνιο γιατί έχουμε ακόμη ότι . Τότε, . Επομένως είναι ορθογώνιο.
γ) Όπως προκύπτει από το β), πρέπει .
(*) όπως προκύπτει από την παραπάνω διερεύνηση το ερώτημα β), γ) δεν είναι σωστά διατυπωμένα. (Ένα τραπέζιο στο β) ερώτημα γίνεται ορθογώνιο στο γ) )
=======
edit
Φ.
Θεωρούμε ευθεία και δυο σημεία και εκτός αυτής, τα οποία βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο σε σχέση με την έτσι ώστε, η ευθεία να μην είναι κάθετη στην . Έστω και τα συμμετρικά σημεία των και αντίστοιχα ως προς την ευθεία .
α) Αν η μεσοκάθετος του τέμνει την ευθεία στο σημείο , να αποδείξετε ότι το ανήκει και στη μεσοκάθετο του . (Μονάδες 10)
β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι τραπέζιο. (Μονάδες 8)
γ) Να βρείτε τη σχέση των ευθειών και της ευθείας ώστε το τετράπλευρο
να είναι ορθογώνιο. Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. (Μονάδες 7)
Λύση α)Τα συμμετρικά των ως προς είναι τα . Άρα .
Αλλά μεσοκάθετος . Άρα . Επομένως . Συνεπώς ανήκει στη μεσοκάθετο του .
β)Από ορισμό συμμετρίας, έχω: και . Άρα .
1η περίπτωση: Αν τότε εξ ορισμού είναι τραπέζιο. (και μάλιστα ισοσκελές αφού )
2η περίπτωση: Αν τότε εξ ορισμού είναι παραλληλόγραμμο.
Άρα .Έτσι . Συνεπώς ορθογώνιο γιατί έχουμε ακόμη ότι . Τότε, . Επομένως είναι ορθογώνιο.
γ) Όπως προκύπτει από το β), πρέπει .
(*) όπως προκύπτει από την παραπάνω διερεύνηση το ερώτημα β), γ) δεν είναι σωστά διατυπωμένα. (Ένα τραπέζιο στο β) ερώτημα γίνεται ορθογώνιο στο γ) )
=======
edit
Φ.
τελευταία επεξεργασία από VreAnt σε Σάβ Ιουν 07, 2014 7:50 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Βρέντζος Αντώνης
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Καλησπέρα σε όλους και συγχαρητήρια για την προσπάθειά σας.
Συμμετέχοντας και εγώ λύνω την άσκηση 3713.
Γράφω για πρώτη φορά και για αυτό ζητώ επιείκεια.
ΑΣΚΗΣΗ 3713
Δίνεται τρίγωνο με , και η διχοτόμος της γωνίας . Από το μέσο της φέρνουμε παράλληλη στη διχοτόμο που τέμνει την πλευρά στο .
Να αποδείξετε ότι:
α) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. (Μονάδες 5)
β) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. (Μονάδες 10)
γ) . (Μονάδες 10)
Λύση
α) , οπότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές με .
β) , γιατί οι γωνίες είναι εντός εκτός και επί τα αυτά των παραλλήλων , . Άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές με = .
γ) Στο ισοσκελές τρίγωνο έχουμε .
Δηλαδή η διάμεσος του τριγώνου ισούται με το μισό της πλευράς που αντιστοιχεί. Άρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με
Συμμετέχοντας και εγώ λύνω την άσκηση 3713.
Γράφω για πρώτη φορά και για αυτό ζητώ επιείκεια.
ΑΣΚΗΣΗ 3713
Δίνεται τρίγωνο με , και η διχοτόμος της γωνίας . Από το μέσο της φέρνουμε παράλληλη στη διχοτόμο που τέμνει την πλευρά στο .
Να αποδείξετε ότι:
α) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. (Μονάδες 5)
β) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. (Μονάδες 10)
γ) . (Μονάδες 10)
Λύση
α) , οπότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές με .
β) , γιατί οι γωνίες είναι εντός εκτός και επί τα αυτά των παραλλήλων , . Άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές με = .
γ) Στο ισοσκελές τρίγωνο έχουμε .
Δηλαδή η διάμεσος του τριγώνου ισούται με το μισό της πλευράς που αντιστοιχεί. Άρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με
- Συνημμένα
-
- 3713.png (4.91 KiB) Προβλήθηκε 4186 φορές
τελευταία επεξεργασία από asemarak σε Σάβ Ιουν 07, 2014 6:41 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Θοδωρής Καραμεσάλης
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Άσκηση 3714
Σε κύκλο κέντρου θεωρούμε τα ίσα τόξα και , το καθένα ίσο με .
Έστω και τα μέσα των τόξων και αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι:
α) Το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.
β) Τα τρίγωνα και είναι ίσα και να υπολογίσετε τις γωνίες τους.
γ) Η χορδή τριχοτομείται από τις χορδές και .
Λύση
α) Είναι ως εγγεγραμμένες σε τόξα .
Άρα το τρίγωνο είναι ισόπλευρο αφού δύο γωνίες .
β) Τα τρίγωνα και είναι ίσα από διότι έχουν:
ως χορδές με ίσα αντίστοιχα τόξα
και ως εγγεγραμμένες σε τόξα
Επειδή τα δύο τρίγωνα έχουν από δύο γωνίες ίσες με τότε οι τρίτες γωνίες τους είναι:
γ) Τα τρίγωνα και είναι ισοσκελή αφού έχουν από δύο γωνίες ίσες (β’ ερώτημα) έτσι είναι:
και
Από την ισότητα των παραπάνω τριγώνων είναι και
Το τρίγωνο έχει και από το ισόπλευρο τρίγωνο , οπότε
Έτσι από τις σχέσεις
δηλαδή η χορδή τριχοτομείται από τις χορδές και .
Σε κύκλο κέντρου θεωρούμε τα ίσα τόξα και , το καθένα ίσο με .
Έστω και τα μέσα των τόξων και αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι:
α) Το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.
β) Τα τρίγωνα και είναι ίσα και να υπολογίσετε τις γωνίες τους.
γ) Η χορδή τριχοτομείται από τις χορδές και .
Λύση
α) Είναι ως εγγεγραμμένες σε τόξα .
Άρα το τρίγωνο είναι ισόπλευρο αφού δύο γωνίες .
β) Τα τρίγωνα και είναι ίσα από διότι έχουν:
ως χορδές με ίσα αντίστοιχα τόξα
και ως εγγεγραμμένες σε τόξα
Επειδή τα δύο τρίγωνα έχουν από δύο γωνίες ίσες με τότε οι τρίτες γωνίες τους είναι:
γ) Τα τρίγωνα και είναι ισοσκελή αφού έχουν από δύο γωνίες ίσες (β’ ερώτημα) έτσι είναι:
και
Από την ισότητα των παραπάνω τριγώνων είναι και
Το τρίγωνο έχει και από το ισόπλευρο τρίγωνο , οπότε
Έτσι από τις σχέσεις
δηλαδή η χορδή τριχοτομείται από τις χορδές και .
- Συνημμένα
-
- 3714.png (24.75 KiB) Προβλήθηκε 4168 φορές
τελευταία επεξεργασία από hlkampel σε Σάβ Ιουν 07, 2014 7:06 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Ηλίας Καμπελής
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13234
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
asemarak έγραψε:Καλησπέρα σε όλους και συγχαρητήρια για την προσπάθειά σας.
Συμμετέχοντας και εγώ λύνω την άσκηση 3713.
Γράφω για πρώτη φορά και για αυτό ζητώ επιείκεια.
Καλησπέρα και Καλωσόρισες.
Δεν χρειάζεται καμία επιείκεια. Η λύση σου είναι άψογη.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13234
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Άσκηση 3715
Δίνονται οι ακόλουθες προτάσεις και :
: Αν ένα παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος, τότε οι αποστάσεις των απέναντι πλευρών του είναι ίσες.
: Αν οι αποστάσεις των απέναντι πλευρών ενός παραλληλογράμμου είναι ίσες, τότε το παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος.
α) Να εξετάσετε αν ισχύουν οι προτάσεις και αιτιολογώντας πλήρως την απάντησή σας. (Μονάδες 20)
β ) Στην περίπτωση που και οι δύο προτάσεις ισχύουν, να τις διατυπώσετε ως μια ενιαία πρόταση. (Μονάδες 5)
Λύση:
α) Έστω παραλληλόγραμμο και οι αποστάσεις των απέναντι πλευρών του.
: Το παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος.
Τα τρίγωνα είναι ίσα επειδή είναι ορθογώνια, (διαδοχικές πλευρές ρόμβου) και (απέναντι γωνίες παραλληλογράμμου). Άρα , οπότε η πρόταση ισχύει.
: Οι αποστάσεις των απέναντι πλευρών του παραλληλογράμμου είναι ίσες.
Τα τρίγωνα είναι ίσα επειδή είναι ορθογώνια, (από υπόθεση) και (απέναντι γωνίες παραλληλογράμμου). Άρα . Δηλαδή το παραλληλόγραμμο έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες, άρα είναι ρόμβος και η πρόταση ισχύει.
β) Ένα παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος αν και μόνο αν οι αποστάσεις των απέναντι πλευρών του είναι ίσες.
Δίνονται οι ακόλουθες προτάσεις και :
: Αν ένα παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος, τότε οι αποστάσεις των απέναντι πλευρών του είναι ίσες.
: Αν οι αποστάσεις των απέναντι πλευρών ενός παραλληλογράμμου είναι ίσες, τότε το παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος.
α) Να εξετάσετε αν ισχύουν οι προτάσεις και αιτιολογώντας πλήρως την απάντησή σας. (Μονάδες 20)
β ) Στην περίπτωση που και οι δύο προτάσεις ισχύουν, να τις διατυπώσετε ως μια ενιαία πρόταση. (Μονάδες 5)
Λύση:
α) Έστω παραλληλόγραμμο και οι αποστάσεις των απέναντι πλευρών του.
: Το παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος.
Τα τρίγωνα είναι ίσα επειδή είναι ορθογώνια, (διαδοχικές πλευρές ρόμβου) και (απέναντι γωνίες παραλληλογράμμου). Άρα , οπότε η πρόταση ισχύει.
: Οι αποστάσεις των απέναντι πλευρών του παραλληλογράμμου είναι ίσες.
Τα τρίγωνα είναι ίσα επειδή είναι ορθογώνια, (από υπόθεση) και (απέναντι γωνίες παραλληλογράμμου). Άρα . Δηλαδή το παραλληλόγραμμο έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες, άρα είναι ρόμβος και η πρόταση ισχύει.
β) Ένα παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος αν και μόνο αν οι αποστάσεις των απέναντι πλευρών του είναι ίσες.
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Σάβ Ιουν 07, 2014 7:37 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Άσκηση 3717
Δίνεται τρίγωνο και Έστω τα μέσα των πλευρών του και αντίστοιχα.
α) Θεωρούμε τυχαίο σημείο στο εσωτερικό του τριγώνου και τα συμμετρικά του ως προς και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι .
β) Στην περίπτωση που το σημείο είναι το μέσο της πλευράς , και τα συμμετρικά του ως προς και αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι τα σημεία και είναι συνευθειακά.
Λύση
α) (Σχήμα 1) Αφού τα είναι τα μέσα των πλευρών και του τριγώνου θα ισχύει και
Τα είναι και τα μέσα των πλευρών και του τριγώνου έτσι και
Από
β) (Σχήμα 2) Αν το είναι το μέσο της πλευράς τότε:
Το είναι παραλληλόγραμμο αφού
Το είναι παραλληλόγραμμο αφού επειδή το ενώνει τα μέσα δύο πλευρών του τριγώνου
Άρα
Από
Ομοίως
Άρα τα σημεία και είναι συνευθειακά αφού από το μόνο μια παράλληλη διέρχεται προς το .
Δίνεται τρίγωνο και Έστω τα μέσα των πλευρών του και αντίστοιχα.
α) Θεωρούμε τυχαίο σημείο στο εσωτερικό του τριγώνου και τα συμμετρικά του ως προς και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι .
β) Στην περίπτωση που το σημείο είναι το μέσο της πλευράς , και τα συμμετρικά του ως προς και αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι τα σημεία και είναι συνευθειακά.
Λύση
α) (Σχήμα 1) Αφού τα είναι τα μέσα των πλευρών και του τριγώνου θα ισχύει και
Τα είναι και τα μέσα των πλευρών και του τριγώνου έτσι και
Από
β) (Σχήμα 2) Αν το είναι το μέσο της πλευράς τότε:
Το είναι παραλληλόγραμμο αφού
Το είναι παραλληλόγραμμο αφού επειδή το ενώνει τα μέσα δύο πλευρών του τριγώνου
Άρα
Από
Ομοίως
Άρα τα σημεία και είναι συνευθειακά αφού από το μόνο μια παράλληλη διέρχεται προς το .
- Συνημμένα
-
- 3717.png (29.13 KiB) Προβλήθηκε 4128 φορές
τελευταία επεξεργασία από hlkampel σε Σάβ Ιουν 07, 2014 8:00 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Ηλίας Καμπελής
- Christos.N
- Δημοσιεύσεις: 2105
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
- Τοποθεσία: Ίλιον
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
3718
α)
Θα συγκρίνουμε τα τρίγωνα και :
Είναι ορθογώνια καθώς έχουν ίσες υποτείνουσες (πλευρές ρόμβου) και έχουν ίσες οξείες γωνίες (απέναντι παραλληλογράμμου) ,άρα είναι ίσα συνεπώς όλα τα στοιχεία τους θα είναι ίσα, άρα και το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
β)
Θα δείξουμε ότι τα σημεία ανήκουν στην μεσοκάθετο ευθεία του τμήματος .
Πράγματι, από το ερώτημα α) προκύπτει , άρα το σημείο ισαπέχει από τα άκρα του τμήματος . Ομοίως το σημείο ισαπέχει από τα άκρα του τμήματος , άρα τα σημεία ανήκουν στην μεσοκάθετο ευθεία του τμήματος
.
γ)
Τα σημεία είναι μέσα υποτεινουσών των ίσων τριγώνων και , άρα οι διάμεσοι θα είναι ίσες μεταξύ τους. Μένει να δείξουμε ότι .
Στο τρίγωνο :
Τα είναι μέσα των πλευρών και αντίστοιχα, συνεπώς:
Από το ερώτημα β)
Από τις παραπάνω λαμβάνουμε ότι
.
Τέλος αν επιχειρήσουμε να δείξουμε ότι οι πλευρές δεν είναι παράλληλες θα συλλάβουμε ότι υπάρχει περίπτωση να είναι παράλληλες , είναι η περίπτωση που ο ρόμβος έχει μια γωνία εξήντα μοιρών.
Τι κάνουμε τώρα γιατρέ μου;
Απαντήσεις:Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ του παρακάτω σχήματος είναι ρόμβος. Θεωρούμε και
.
Να αποδείξετε ότι:
α) Το τρίγωνο ΖΑΕ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 6)
β) Η ευθεία ΑΓ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΖΕ. (Μονάδες 9)
γ) Αν Μ και Ν τα μέσα των πλευρών ΑΔ και ΑΒ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΖΜΝΕ είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 10)
α)
Θα συγκρίνουμε τα τρίγωνα και :
Είναι ορθογώνια καθώς έχουν ίσες υποτείνουσες (πλευρές ρόμβου) και έχουν ίσες οξείες γωνίες (απέναντι παραλληλογράμμου) ,άρα είναι ίσα συνεπώς όλα τα στοιχεία τους θα είναι ίσα, άρα και το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
β)
Θα δείξουμε ότι τα σημεία ανήκουν στην μεσοκάθετο ευθεία του τμήματος .
Πράγματι, από το ερώτημα α) προκύπτει , άρα το σημείο ισαπέχει από τα άκρα του τμήματος . Ομοίως το σημείο ισαπέχει από τα άκρα του τμήματος , άρα τα σημεία ανήκουν στην μεσοκάθετο ευθεία του τμήματος
.
γ)
Τα σημεία είναι μέσα υποτεινουσών των ίσων τριγώνων και , άρα οι διάμεσοι θα είναι ίσες μεταξύ τους. Μένει να δείξουμε ότι .
Στο τρίγωνο :
Τα είναι μέσα των πλευρών και αντίστοιχα, συνεπώς:
Από το ερώτημα β)
Από τις παραπάνω λαμβάνουμε ότι
.
Τέλος αν επιχειρήσουμε να δείξουμε ότι οι πλευρές δεν είναι παράλληλες θα συλλάβουμε ότι υπάρχει περίπτωση να είναι παράλληλες , είναι η περίπτωση που ο ρόμβος έχει μια γωνία εξήντα μοιρών.
Τι κάνουμε τώρα γιατρέ μου;
τελευταία επεξεργασία από Christos.N σε Σάβ Ιουν 07, 2014 8:25 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13234
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Άσκηση 3720
Δίνεται ρόμβος με . Έστω ότι και είναι οι αποστάσεις του σημείου στις πλευρές και αντίστοιχα.
α) Να αποδείξετε ότι:
i) Τα σημεία και είναι τα μέσα των και αντίστοιχα. (Μονάδες 8)
ii) (Μονάδες 8)
β) Αν και τα μέσα των και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 9)
Λύση:
α. i) Οι διαγώνιοι του ρόμβου διχοτομούν τις γωνίες του. Άρα . Τα τρίγωνα λοιπόν , ως ισοσκελή με μία γωνία , θα είναι ισόπλευρα. Άρα τα ύψη θα είναι και διάμεσοι. Οπότε, τα σημεία και είναι τα μέσα των και αντίστοιχα.
α. ii) (λόγω του προηγούμενου ερωτήματος). Επειδή όμως οι διαγώνιοι του ρόμβου είναι κάθετες, θα είναι .
β) ( και τα μέσα των και αντίστοιχα)
Αλλά και . Οπότε , δηλαδή το είναι παραλληλόγραμμο και έχει πλευρές παράλληλες με τις διαγώνιες του ρόμβου. Επειδή όμως , θα είναι και .
Άρα, το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.
Δίνεται ρόμβος με . Έστω ότι και είναι οι αποστάσεις του σημείου στις πλευρές και αντίστοιχα.
α) Να αποδείξετε ότι:
i) Τα σημεία και είναι τα μέσα των και αντίστοιχα. (Μονάδες 8)
ii) (Μονάδες 8)
β) Αν και τα μέσα των και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 9)
Λύση:
α. i) Οι διαγώνιοι του ρόμβου διχοτομούν τις γωνίες του. Άρα . Τα τρίγωνα λοιπόν , ως ισοσκελή με μία γωνία , θα είναι ισόπλευρα. Άρα τα ύψη θα είναι και διάμεσοι. Οπότε, τα σημεία και είναι τα μέσα των και αντίστοιχα.
α. ii) (λόγω του προηγούμενου ερωτήματος). Επειδή όμως οι διαγώνιοι του ρόμβου είναι κάθετες, θα είναι .
β) ( και τα μέσα των και αντίστοιχα)
Αλλά και . Οπότε , δηλαδή το είναι παραλληλόγραμμο και έχει πλευρές παράλληλες με τις διαγώνιες του ρόμβου. Επειδή όμως , θα είναι και .
Άρα, το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Σάβ Ιουν 07, 2014 8:24 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες