Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (3)
Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (3)
Έστω θετικοί πραγματικοί αριθμοί με . Να βρεθεί αναγκαία και ικανή συνθήκη επί των για να υπάρχει ακολουθία σημείων του Ευκλείδειου επιπέδου έτσι ώστε:
1) Για κάθε η απόσταση μεταξύ των και να είναι και
2)
Ένα παράδειγμα τέτοιας ακολουθίας για :
1) Για κάθε η απόσταση μεταξύ των και να είναι και
2)
Ένα παράδειγμα τέτοιας ακολουθίας για :
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (3)
Επαναφορά.
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (3)
Πρέπει .
Αναγκαίο: Έστω χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι . Από την τριγωνική ανισότητα είναι
Ικανό: Θα το δείξω αρχικά με την επιπλέον προϋπόθεση ότι . Θα προχωρήσω με επαγωγή στο . Η περίπτωση είναι άμεση αφού η συνθήκη δίνει .
Θέτω . Υπάρχει (πιθανώς εκφυλισμένο) τρίγωνο με μήκη πλευρών αφού:
Μπορώ λοιπόν να πάρω σημεία ώστε και .
Ισχύει όμως ότι (άμεσο) και αφού
Από την επαγωγική υπόθεση λοιπόν μπορώ να κλείσω το πολύγωνο.
Μένει τώρα να απαλλαχθώ από την επιπλέον προϋπόθεση ότι . Έχω όμως διανύσματα με μήκη τα οποία όταν τα τοποθετήσω διαδοχικά δημιουργούν ένα πολύγωνο. Δηλαδή έχουν άθροισμα . Όμως με οποιαδήποτε σειρά και να τα τοποθετήσω πάλι θα δημιουργούν πολύγωνο. Οπότε ο ισχυρισμός αποδείχθηκε.
Η πρώτη λύση που έδωσα ήταν όπως παρατήρησε ο Δημήτρης σε π.μ. λανθασμένη. Ελπίζω τώρα να είμαι σωστός.
Αναγκαίο: Έστω χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι . Από την τριγωνική ανισότητα είναι
Ικανό: Θα το δείξω αρχικά με την επιπλέον προϋπόθεση ότι . Θα προχωρήσω με επαγωγή στο . Η περίπτωση είναι άμεση αφού η συνθήκη δίνει .
Θέτω . Υπάρχει (πιθανώς εκφυλισμένο) τρίγωνο με μήκη πλευρών αφού:
Μπορώ λοιπόν να πάρω σημεία ώστε και .
Ισχύει όμως ότι (άμεσο) και αφού
Από την επαγωγική υπόθεση λοιπόν μπορώ να κλείσω το πολύγωνο.
Μένει τώρα να απαλλαχθώ από την επιπλέον προϋπόθεση ότι . Έχω όμως διανύσματα με μήκη τα οποία όταν τα τοποθετήσω διαδοχικά δημιουργούν ένα πολύγωνο. Δηλαδή έχουν άθροισμα . Όμως με οποιαδήποτε σειρά και να τα τοποθετήσω πάλι θα δημιουργούν πολύγωνο. Οπότε ο ισχυρισμός αποδείχθηκε.
Η πρώτη λύση που έδωσα ήταν όπως παρατήρησε ο Δημήτρης σε π.μ. λανθασμένη. Ελπίζω τώρα να είμαι σωστός.
Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (3)
Πολύ ωραία λύση. Εγώ χρησιμοποίησα επίσης επαγωγή, καλύπτοντας τις περιπτώσεις , και στη συνέχεια "ένωσα" τα σε . Αν η επαγωγική υπόθεση χρησιμοποιείται επί τόπου. Αλλιώς παρατηρούμε ότι (ισχύει ) και χρησιμοποιούμε την επαγωγική υπόθεση με το ως μέγιστο.
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης