Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2014-15 (2)

dement · #1

Από όλα τα τρίγωνα που περιέχουν τετράγωνο μοναδιαίας πλευράς να προσδιοριστούν αυτά με το ελάχιστο εμβαδόν.

Al.Koutsouridis · #2

dement έγραψε:Από όλα τα τρίγωνα που περιέχουν τετράγωνο μοναδιαίας πλευράς να προσδιοριστούν αυτά με το ελάχιστο εμβαδόν.

Καλησπέρα,

: scuola_normale_superiore_2014_15_2.png (73.16 KiB) Προβλήθηκε 1718 φορές

Ας είναι

το μοναδιαίο τετράγωνο που περιέχεται σε ένα τρίγωνο A{'}B{'}C{'}

. Παρατηρούμε ότι αν φέρουμε από μια κορυφή του τριγώνου (έστω την B{'}

) ευθεία που διέρχεται από μια κορυφή του τετραγώνου (έστω την

) τότε το καινούργιο τρίγωνο που σχηματίζεται ( AB{'}C{'}

) και περιέχει το τετράγωνο έχει μικρότερο εμβαδό από το αρχικό. Αφού θα έχει ίδιο ύψος και μικρότερη βάση.

Ομοίως εργαζόμαστε και για τις άλλες κορυφές. Επομένως το τρίγωνο ελάχιστου εμβαδού (έστω AB{'}C{'}

) θα περιέχει σε κάθε πλευρά του μια κορυφή του τετραγώνου. Θα δείξουμε ότι και η "ελεύθερη" κορυφή που απομένει (έστω η

) θα πρέπει να βρίσκεται και αυτή επί των πλευρών του τριγώνου.

Πράγματι, επειδή $\angle PTC{'} +\angle RTA = 90^0$ , μια εξ αυτών θα είναι το πολύ ίση με 45^0

. Έστω, χωρίς βλάβη της γενικότητας, η PTC

. Φερουμε την ευθεία

η οποία τέμνει τις πλευρές AB{'} , AC{'}

στα σημεία B,C

αντίστοιχα.

Στο ορθογώνιο τρίγωνο TPC

επειδή $\angle PTC \leq 45^0$ θα είναι $PC{'} < PC \leq PT =1$ (1)

Αν η

τέμνει την B{'}C{'}

στο σημείο Q{'}

. Τότε από το ορθογώνιο τρίγωνο QPQ{'}

και από το γεγονός ότι Q{'}

εσωτερικό σημείο του

έχουμε

(2) . Επίσης είναι PQ < PB

(3).

Από τις (1),(2),(3) συνεπάγεται ότι $S_{PCC{'}} < S_{PBB{'}}$ . Άρα και $S_{ABC} < S_{AB{'}C{'}$ . Δηλαδή στο τρίγωνο ελάχιστου εμβαδού θα πρέπει μια πλευρά να περιέχει δυο κορυφές του τετραγώνου.

Τώρα από τα τρίγωνα με τις παραπάνω ιδιότητες θα προσπαθήσουμε να βρούμε αυτό με το ελάχιστο εμβαδόν

. Ας είναι BC=a

και

σημείο της

ώστε

. Τότε έχουμε

$S = S_{ART} +S_{RBQ} + S_{TPC} +S_{PQRT}= S_{ART}+S_{STC} +1$ (4)

Τα τρίγωνα ART, TSC

είναι όμοια με το ABC

με λόγο ομοιότητας $\dfrac{1}{a} , \dfrac{a-1}{a}$ αντίστοιχα. Επομένως η (4) γίνεται

$S = \dfrac{1}{a^2}S + \dfrac{(a-1)^2}{a^2}S +1 \Rightarrow S = \dfrac{a^2}{2(a-1)}$ και επειδή

$\dfrac{a^2}{2(a-1)} \geq 2 \Leftrightarrow (a-2)^2 \geq 0$ θα είναι

$S \geq 2$ με την ισότητα όταν a = 2

Δείξαμε δηλαδή ότι $S_{min} = 2$ για BC = a=2

άρα και το ύψος

από την κορυφή

στο ελάχιστο τρίγωνο θα ισούται με 2.

Για την κατασκευή των τριγώνων ελαχίστου εμβαδού φέρουμε ένα ύψος DA =2

με

εσωτερικό σημείο του

. Ύστερα φέρουμε τις AR , AT

, τότε τα σημεία τομής τους με την

θα ορίσουν ένα τρίγωνο ABC

που λόγο των αναλογιών 1:2 θα έχει μήκος βάσης BC = 2

. Δηλαδή της ζητούμενης μορφής.

Edit: 26/02/17 η τελευταία παράγραφος. Λόγο εσφαλμένου αρχικού συμπεράσματος.

dement · #3

Όλα καλά εκτός από την τελευταία παράγραφο που με...μπερδεύει. Γιατί υποχρεωτικά ισοσκελές ή ορθογώνιο;

Al.Koutsouridis · #4

dement έγραψε:Όλα καλά εκτός από την τελευταία παράγραφο που με...μπερδεύει. Γιατί υποχρεωτικά ισοσκελές ή ορθογώνιο;

Σωστά! 'Ολα τα τρίγωνα τις παραπάνω κατασκευής με βάση και ύψος ίσα με 2. Φέρουμε ένα ύψος DA =2

με

εσωτερικό σημείο του

. Ύστερα φέρουμε τις AR , AT

, τότε τα σημεία τομής τους με την

θα ορίσουν ένα τρίγωνο ABC

που λόγο των αναλογιών 1:2 θα έχει μήκος βάσης BC = 2

. Δηλαδή της ζητούμενης μορφής.

Θα διορθώσω και την αρχική ανάρτηση.

#5

Ιδού και μία γεωμετρική απόδειξη ('χωρίς λέξεις') για την περίπτωση που η μία πλευρά του τετραγώνου κείται επί μίας πλευράς του τριγώνου.

: sns-15-2'.png (20.38 KiB) Προβλήθηκε 1626 φορές

Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2014-15 (2)

Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2014-15 (2)

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2014-15 (2)

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2014-15 (2)

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2014-15 (2)

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2014-15 (2)

Μέλη σε σύνδεση