Μηχανικό-μαθηματικό Μόσχας, 2004 (Μάρτιος) επιλογή 1

Al.Koutsouridis · #1

Πρόβλημα 1: Να βρείτε το άθροισμα των εφαπτομένων όλων των $x \in (-\pi, \pi)$ , που ικανοποιούν την

$\sin 2x + 5\cos 2x = 3$ .

Πρόβλημα 2: Να λύσετε την ανίσωση

$\displaystyle{ 3^{\log_{x} (3x^{2}+2x-1)} \leq (x^{2}+x)^{\log_{x} 9} }$

Πρόβλημα 3: Να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές του αθροίσματος της φθίνουσας αριθμητικής προόδου

$\displaystyle{ a_{1} = \frac{6m-m^{2}-9}{6m-m^{2}} ; a_{2} = \frac{6m-m^{2}-12}{6m-m^{2}} ; ... ; a_{n} = \frac{-10}{6m-m^{2}} }$

όπου

τυχαίος ακέραιος.

Πρόβλημα 4: Στο κυρτό τετράπλευρο KLMN

οι διαγώνιοι

και

είναι κάθετες στις πλευρές

και

αντίστοιχα και το μήκος της πλευράς

είναι ίσο με $4\sqrt{3}$ . Στην πλευρά

βρίσκεται σημείο

τέτοιο ώστε $\angle LAK = \angle MAN$ . Είναι γνωστό ότι $\angle MKN - \angle KNL = 15 ^{0}$ . Να βρείτε το μήκος της τεθλασμένης LAM

και το εμβαδόν του τετραπλεύρου KLMN

, αν $LA:AM = 1 : \sqrt{3}$ .

Πρόβλημα 5: Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου

, για τις οποίες η εξίσωση

$\displaystyle{ \tan^{-1} ( (3a-1)sin^{2} x -(3a^{3} -a^{2} +3a-1) \sin x+ \tan (ax-a\pi) ) -ax+a\pi = 0 }$

έχει ακριβώς τρεις λύσεις.

Πρόβλημα 6: Δίνεται σφαίρα ακτίνας 1 και κέντρου

. Από σημείο

εκτός σφαίρας φέρουμε τέσσερεις ευθείες. Η πρώτη ευθεία τέμνει την επιφάνεια της σφαίρα κατα σειρά στα σημεία $B_{1}$ και $C_{1}$ , η δεύτερη στα σημεία $B_{2}$ και $C_{2}$ , η τρίτη στα σημεία $B_{3}$ και $C_{3}$ , η τέταρτη στα σημεία $B_{4}$ και $C_{4}$ . Οι ευθείες $B_{1}B_{2}$ και $C_{1}C_{2}$ τέμνονται στο σημείο

και οι ευθείες $B_{3}B_{4}$ και $C_{3}C_{4}$ στο σημείο

. Να βρείτε τον όγκο της πυραμίδας OAEF

, αν

,

και η γωνία μεταξύ των εδρών AOE

και

είναι ίση με $30^{0}$ .

Christos.N · #2

Να κάνουμε την αρχή.

Al.Koutsouridis έγραψε:Πρόβλημα 1: Να βρείτε το άθροισμα των εφαπτομένων όλων των $x \in (-\pi, \pi)$ , που ικανοποιούν την

$\sin 2x + 5\cos 2x = 3$ ..

$\displaystyle{x = \pm \frac{\pi }{4} \Rightarrow \sin \left( { \pm \frac{\pi }{2}} \right) = 3\}$ απορρίπτεται λοιπόν.

$\displaystyle{\begin{array}{l} \sin 2x + 5\cos 2x = 3 \Leftrightarrow \tan 2x + 5 = \frac{3}{{\cos 2x}} \Leftrightarrow \frac{{2\tan x}}{{1 - {{\tan }^2}x}} + 5 = \frac{3}{{\frac{{1 - {{\tan }^2}x}}{{1 + {{\tan }^2}x}}}} \Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow 8{\tan ^2}x - 2\tan x - 5 = 0 \end{array}}$

μου θύμισε πολύ τα θέματα που λύναμε με τον Parmenides 51
$\displaystyle{\tan x = {A_{1,2}},{A_i} \in R\mathop \Leftrightarrow \limits^{x \in \left( { - \pi ,\pi )} \right)} \left\{ \begin{array}{l} \tan {x_{1,2}} = {A_1}\\ \tan {x_{2,3}} = {A_2} \end{array} \right. \Rightarrow \sum {\tan {x_i} = 2\left( {{A_1} + {A_2}} \right) = 2S = \frac{1}{2}} }$

Christos.N · #3

Al.Koutsouridis έγραψε:
Πρόβλημα 2: Να λύσετε την ανίσωση $\displaystyle{ 3^{\log_{x} (3x^{2}+2x-1)} \leq (x^{2}+x)^{\log_{x} 9} }$

(για ορεκτικό) Περιορισμοί:

$\displaystyle{\begin{array}{l} 3{x^2} + 2x - 1 > 0 \Rightarrow x \in \left( { - \infty , - 1} \right) \cup \left( {\frac{1}{3}, + \infty } \right)\\ {x^2} + x > 0 \Rightarrow x \in \left( { - \infty , - 1} \right) \cup \left( {0, + \infty } \right)\\ 0 < x \ne 1 \Rightarrow x \in \left( {0,1} \right) \cup \left( {1, + \infty } \right) \end{array}}$

Από τα παραπάνω προκύπτει $\displaystyle{x \in \left( {\frac{1}{3},1} \right) \cup \left( {1, + \infty } \right)}$

(για κυρίως γεύμα) Στην συνέχεια:

${3^{{{\log }_x}\left( {3{x^2} + 2x - 1} \right)}} \le {\left( {{x^2} + x} \right)^{{{\log }_x}9}} \Leftrightarrow {3^{{{\log }_x}\left( {3{x^2} + 2x - 1} \right)}} \le {3^{{{\log }_3}\left( {{x^2} + x} \right){{\log }_x}9}} \Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow {\log _x}\left( {3{x^2} + 2x - 1} \right) \le {\log _3}\left( {{x^2} + x} \right){\log _x}9\\ \\ \Leftrightarrow {\log _x}\left( {3{x^2} + 2x - 1} \right) \le 2{\log _3}\left( {{x^2} + x} \right){\log _x}3 \Leftrightarrow \frac{{{{\log }_x}\left( {3{x^2} + 2x - 1} \right)}}{{{{\log }_x}3}} \le {\log _3}{\left( {{x^2} + x} \right)^2} \Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {3{x^2} + 2x - 1} \right) \le {\log _3}{\left( {{x^2} + x} \right)^2} \Leftrightarrow 3{x^2} + 2x - 1 \le {x^4} + 2{x^3} + {x^2} \Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow {x^4} + 2{x^3} - 2{x^2} - 2x + 1 \ge 0}}}}$

$\displaystyle{(x-1)(x+1)(x-(-1-\sqrt{2}))(x -(\sqrt{2}-1)) \ge 0 \Rightarrow}$

(για επιδόρπιο) Όπου η τελευταία αληθεύει για κάθε $\displaystyle { x \in (\frac{1}{3}, \sqrt{2} -1] \cup (1 , + \infty) }$

Υ.Γ. Ευχαριστώ πολύ τον Αλέξανδρο για τις διορθώσεις του.

#4

Al.Koutsouridis έγραψε:
Πρόβλημα 3: Να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές του αθροίσματος της φθίνουσας αριθμητικής προόδου

$\displaystyle{ a_{1} = \frac{6m-m^{2}-9}{6m-m^{2}} ; a_{2} = \frac{6m-m^{2}-12}{6m-m^{2}} ; ... ; a_{n} = \frac{-10}{6m-m^{2}} }$

όπου τυχαίος ακέραιος.

Οι ασκήσεις είναι μάλλον απλές για το συγκεκριμένο Πανεπιστήμιο. Για την παραπάνω, η συνθήκη της αριθμητικής προοόδου δίνει

-10 = 6m-m^2-9+(n-1)(-3)

, οπότε

. Επίσης, αφού $n \ge 0$ έχουμε μόνο m=0,1,2,3,4,5,6

. Κρατάμε εκείνα τα

που δίνουν πολλαπλάσιο του

, δηλαδή τα m=1,2,4,5

με αντίστοιχα n=3,4,4,3

. Τώρα η άσκηση έγινε τετριμμένη (άμεσος έλεγχος τεσσάρων απλών περιπτώσεων).

#5

Christos.N έγραψε: $\displaystyle{\tan x = {A_{1,2}},{A_i} \in R\mathop \Leftrightarrow \limits^{x \in \left( { - \pi ,\pi )} \right)} \left\{ \begin{array}{l} \tan {x_{1,2}} = {A_1}\\ \tan {x_{2,3}} = {A_2} \end{array} \right. \Rightarrow \sum {\tan {x_i} = 2\left( {{A_1} + {A_2}} \right) = 2S = \frac{1}{2}} }$

Σωστά αλλά για χάρη πληρότητας δεν πρέπει να ξεχάσουμε να κάνουμε έλεγχο ότι τα x_1,x_2,x_3,x_4

είναι διαφορετικά μεταξύ τους. Είναι μεν απλό, αλλά απαραίτητο.

Christos.N · #6

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Σωστά αλλά για χάρη πληρότητας δεν πρέπει να ξεχάσουμε να κάνουμε έλεγχο ότι τα είναι διαφορετικά μεταξύ τους. Είναι μεν απλό, αλλά απαραίτητο.

Δηλαδή να κάνω έλεγχο αν για δύο διαφορετικούς πραγματικούς αριθμούς, υπάρχουν αντίστοιχα απο δύο λύσεις για τις εφαπτομένες σε διάστημα ενός πλήρη κύκλου.

#7

Christos.N έγραψε: Δηλαδή να κάνω έλεγχο αν για δύο διαφορετικούς πραγματικούς αριθμούς, υπάρχουν αντίστοιχα απο δύο λύσεις για τις εφαπτομένες σε διάστημα ενός πλήρη κύκλου.

Σωστά. Επειδή οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι περιοδικές, ενδέχεται μία λύση από την μία εξίσωση να είναι λύση και της άλλης.

Για παράδειγμα (απευθύνομαι σε μαθητές) αν η άσκηση έλεγε να βρεθεί το άθροισμα των ριζών στο $(-\pi, \pi)$ της $(\tan x -1)\tan 4x=0$ , τότε παρατηρούμε πως η $\pi / 4$ είναι ρίζα και της $\tan x =1$ και της $\tan 4x =0$ . Στο άθροισμα όμως πρέπει να την μετρήσουμε μία φορά.

Στην αρχική άσκηση είναι τετριμμένο ότι οι ρίζες των δύο εξισώσεων είναι διαφορετικές. Όμως αυτό το τεριμμένο πρέπει (για χάρη της πληρότητα πάντα) να αναφερθεί έστω και αν η διαπίστωσή του είναι άμεση. Αλλιώς πρόκειται για μικρό κενό σε επίπεδο ιδεών (σε αντιδαστολή σε κενό σε επίπεδο πράξεων).

Στην λύση που έγραψα δύο ποστ πιο πάνω (σε άλλη άσκηση), επίτηδες παρέλειψα μερικά βήματα. Για παράδειγμα έδιωξα του παρονομαστές της αριθμητικής προόδου. Κανονικά έπρεπε να το αναφέρω ρητά αλλά επειδή είναι θέμα απλών πράξεων (και όχι ιδεών), η αμαρτία αυτή συνηθίζεται να συγχωρείται. Αν κάποιος φέρει αντίρρηση στο ότι έφαγα το βήμα, θα απαντήσω ότι έχει δίκιο. Άλλο το ένα και άλλο το άλλο.

Μηχανικό-μαθηματικό Μόσχας, 2004 (Μάρτιος) επιλογή 1

Μηχανικό-μαθηματικό Μόσχας, 2004 (Μάρτιος) επιλογή 1

Re: Μηχανικό-μαθηματικό Μόσχας, 2004 (Μάρτιος) επιλογή 1

Re: Μηχανικό-μαθηματικό Μόσχας, 2004 (Μάρτιος) επιλογή 1

Re: Μηχανικό-μαθηματικό Μόσχας, 2004 (Μάρτιος) επιλογή 1

Re: Μηχανικό-μαθηματικό Μόσχας, 2004 (Μάρτιος) επιλογή 1

Re: Μηχανικό-μαθηματικό Μόσχας, 2004 (Μάρτιος) επιλογή 1

Re: Μηχανικό-μαθηματικό Μόσχας, 2004 (Μάρτιος) επιλογή 1

Μέλη σε σύνδεση