ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1970 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1970 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
1. Από το κοινό σημείο δυο εξωτερικά εφαπτόμενων κύκλων και κέντρων και κι ακτίνων και αντίστοιχα, όπου , φέρνουμε δυο κάθετες χορδές και , όπου σημείο του κύκλου και σημείο του κύκλου . Να ορισθεί η θέση των σημείων και ώστε να είναι , όπου δοθέν ευθύγραμμο τμήμα.
2. Θεωρούμε κύκλο διαμέτρου κι ακτίνας . Έστω η εφαπτομένη του στο σημείο . Εκατέρωθεν της φέρνουμε δυο ημιευθείες και τέτοιες ώστε και \widehat{BAy}=30^o }\displaystyle{Ax}\displaystyle{(\delta) }\displaystyle{\Gamma }\displaystyle{E}\displaystyle{Ay}\displaystyle{(\delta)}\displaystyle{\Delta}\displaystyle{H}\displaystyle{A\Gamma,B\Gamma,\Gamma\Delta, AE,AH}\displaystyle{EH}\displaystyle{R}\displaystyle{ \widehat{EZH}}\displaystyle{Z}\displaystyle{E}\displaystyle{\alpha}\displaystyle{15^o}$. Να υπολογισθεί ο όγκος και η ολική επιφάνειά της.
2. Θεωρούμε κύκλο διαμέτρου κι ακτίνας . Έστω η εφαπτομένη του στο σημείο . Εκατέρωθεν της φέρνουμε δυο ημιευθείες και τέτοιες ώστε και \widehat{BAy}=30^o }\displaystyle{Ax}\displaystyle{(\delta) }\displaystyle{\Gamma }\displaystyle{E}\displaystyle{Ay}\displaystyle{(\delta)}\displaystyle{\Delta}\displaystyle{H}\displaystyle{A\Gamma,B\Gamma,\Gamma\Delta, AE,AH}\displaystyle{EH}\displaystyle{R}\displaystyle{ \widehat{EZH}}\displaystyle{Z}\displaystyle{E}\displaystyle{\alpha}\displaystyle{15^o}$. Να υπολογισθεί ο όγκος και η ολική επιφάνειά της.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13276
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1970 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
parmenides51 έγραψε: 2. Θεωρούμε κύκλο διαμέτρου κι ακτίνας . Έστω η εφαπτομένη του στο σημείο . Εκατέρωθεν της φέρνουμε δυο ημιευθείες και τέτοιες ώστε και \widehat{BAy}=30^o }\displaystyle{Ax}\displaystyle{(\delta) }\displaystyle{\Gamma }\displaystyle{E}\displaystyle{Ay}\displaystyle{(\delta)}\displaystyle{\Delta}\displaystyle{H}\displaystyle{A\Gamma,B\Gamma,\Gamma\Delta, AE,AH}\displaystyle{EH}\displaystyle{R}\displaystyle{ \widehat{EZH}}\displaystyle{Z}\displaystyle{E}\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }\displaystyle{{\rm A}{\rm B} = {\rm B}\Gamma = 2R}\displaystyle{{\rm A}{\Gamma ^2} = A{B^2} + B{\Gamma ^2} = 8{R^2} \Leftrightarrow A\Gamma = 2R\sqrt 2 }B\Delta είναι και
. Οπότε .
Άρα,
(ως πλευρά τετραγώνου εγγεγραμμένου στον κύκλο).
Στο ορθογώνιο τρίγωνο είναι
. Από νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο είναι:
. Οπότε \displaystyle{R\sqrt {2 + \sqrt 3 } }\displaystyle{E\widehat ZH = E\widehat AH = {75^0}}$
- Συνημμένα
- Ευελπίδων 1970.png (13.31 KiB) Προβλήθηκε 2905 φορές
-
- Δημοσιεύσεις: 1291
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1970 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
To θέμα είναι πολύ απλό , θα το λύσω μόνο και μόνο για να δουν τα παιδιά που παρακολουθούν το forum κάτι από το ξεχασμένο κομμάτι των μαθηματικών που λέγεται Στερεομετρία.parmenides51 έγραψε:
3. Κανονική πυραμίδα έχει βάση τετράγωνο πλευράς και οι παράπλευρες της έδρες έχουν κλίση προς την βάση ίση με . Να υπολογισθεί ο όγκος και η ολική επιφάνειά της.
Η λύση που θα γράψω χρησιμοποιεί τριγωνομετρία , συνεπώς δε θα ήταν δεκτή το 1970 σε εξετάσεις γεωμετρίας, δεν πειράζει , υπάρχει και λύση χωρίς τριγωνομετρία...
Θεωρώ γνωστό ότι
Mε χρήση των τύπων
μπορώ εύκολα να βρω ότι
και ότι
και συνεπώς
O ζητούμενος όγκος είναι ίσος με
Το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας είναι ίσο με το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας συν το εμβαδόν της βάσης.
όπου το απόστημα της κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας , το οποίο και θα υπολογίσω.
Συνεπώς
Τελικά το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας είναι ίσο με
τελευταία επεξεργασία από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ σε Τετ Σεπ 16, 2015 3:58 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1970 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Τηλέμαχε καλημέρα.
Αναρτώ το σχήμα πουχυ αναφέρεται στην άσκηση αυτή της Στερεομετρίας καθώς μου το ζήτησες.
Ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια και θέλω να πω ότι επαλήθευσα με τις δυνατότητες του Cabri3D την
ορθότητα της απάντησής σου.
[attachment=0]Πυραμίδα 2.png[/attachment]
Το σχήμα κατασκευάστηκε με δοθείσα την πλευρά του τετραγώνου της βάσης και με γωνία
τη γωνία που σχηματίζουν οι παράπλευρες έδρες με τη βάση.
Να είσαι καλά.
Κώστας Δόρτσιος
Αναρτώ το σχήμα πουχυ αναφέρεται στην άσκηση αυτή της Στερεομετρίας καθώς μου το ζήτησες.
Ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια και θέλω να πω ότι επαλήθευσα με τις δυνατότητες του Cabri3D την
ορθότητα της απάντησής σου.
[attachment=0]Πυραμίδα 2.png[/attachment]
Το σχήμα κατασκευάστηκε με δοθείσα την πλευρά του τετραγώνου της βάσης και με γωνία
τη γωνία που σχηματίζουν οι παράπλευρες έδρες με τη βάση.
Να είσαι καλά.
Κώστας Δόρτσιος
- Συνημμένα
-
- Πυραμίδα 2.png (50.72 KiB) Προβλήθηκε 2690 φορές
-
- Δημοσιεύσεις: 1291
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1970 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Nα ευχαριστήσω θερμά τον Κώστα Δόρτσιο για το ό,τι ανταποκρίθηκε στο αίτημα για ένα ωραίο σχήμα , από αυτά που εκείνος ξέρει να φτιάχνει τόσο όμορφα...
Να δω εγώ πότε θα μάθω να κάνω παρόμοια...
Το θέμα , όπως έγραψα , είναι απλό. Τα παιδιά όμως πολλές φορές δεν έχουν ιδέα από την ξεχασμένη Στερεομετρία , έτσι έκρινα ότι αξίζει να γράψω τη λύση.
Υπάρχει και λύση δίχως τριγωνομετρία , αυτό το αφήνω για κάποιον άλλο...
Να δω εγώ πότε θα μάθω να κάνω παρόμοια...
Το θέμα , όπως έγραψα , είναι απλό. Τα παιδιά όμως πολλές φορές δεν έχουν ιδέα από την ξεχασμένη Στερεομετρία , έτσι έκρινα ότι αξίζει να γράψω τη λύση.
Υπάρχει και λύση δίχως τριγωνομετρία , αυτό το αφήνω για κάποιον άλλο...
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13276
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1970 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Τηλέμαχε και Κώστα, Καλό μεσημέρι.parmenides51 έγραψε: 3. Κανονική πυραμίδα έχει βάση τετράγωνο πλευράς και οι παράπλευρες της έδρες έχουν κλίση προς την βάση ίση με . Να υπολογισθεί ο όγκος και η ολική επιφάνειά της.
Χωρίς τριγωνομετρία ο υπολογισμός του ύψους της πυραμίδας. Στο σχήμα είναι η κορυφή της πυραμίδας τα μέσα δύο απέναντι πλευρών της βάσης και το ύψος της πυραμίδας.
Η μεσοκάθετος της τέμνει τη στο και έστω . Από το ορθογώνιο τρίγωνο με γωνίες είναι και από Πυθαγόρειο .
Αλλά,
Όσο για απόστημα τώρα είναι:
Τα υπόλοιπα είναι εφαρμογή των τύπων.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13276
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1970 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Θέτω για να αποφύγω το συμβολισμό Είναι . Αν οι είναι κάθετες στη , ο εντοπισμός των είναι απλός. Σε κάθε άλλη περίπτωση, αφού οι γωνίες είναι παραπληρωματικές, η μία είναι οξεία και η άλλη αμβλεία. Χωρίς βλάβη υποθέτω ότι . Έστω οι προβολές των αντίστοιχα πάνω στην . Σκοπός μας είναι να εντοπίσουμε τη θέση του σημείου , ώστε το να ορίζεται ως το σημείο τομής του κύκλου με την κάθετη από το στη διάκεντρο.parmenides51 έγραψε:1. Από το κοινό σημείο δυο εξωτερικά εφαπτόμενων κύκλων και κέντρων και κι ακτίνων και αντίστοιχα, όπου , φέρνουμε δυο κάθετες χορδές και , όπου σημείο του κύκλου και σημείο του κύκλου . Να ορισθεί η θέση των σημείων και ώστε να είναι , όπου δοθέν ευθύγραμμο τμήμα.
Εφαρμόζω τη Γενίκευση του Πυθαγορείου στα τρίγωνα :
Αλλά,
Από τα όμοια τρίγωνα είναι:
Από τις σχέσεις , βρίσκουμε: , που σημαίνει ότι το σημείο είναι σταθερό.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες