ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ 2015

Christos75 · #1

Σήμερα είναι η εξέταση των Μαθηματικών Γενικής Παιδείας στη σειρά των επαναληπτικών εξετάσεων.
Εδώ θα αναρτήσουμε και θα συζητήσουμε τα θέματα μόλις ανακοινωθούν επίσημα από το υπουργείο παιδείας.
Καλή τύχη στα παιδιά!

erxmer · #2

them_mat_gen_hmer_esp_epan_150610.pdf: (231.03 KiB) Μεταφορτώθηκε 259 φορές

Γιώργος Απόκης · #3

ΘΕΜΑ Β

Β1. H συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{\mathbb R}$ με $\displaystyle{f'(x)=3ax^2+2\beta x}$ . Αφού η γραφική παράσταση εφάπτεται του $\displaystyle{x'x}$

στο $\displaystyle{(-2,0)}$ θα ισχύουν : $\displaystyle{\begin{cases} f(-2)=0\\f'(-2)=0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} -8a+4\beta-4=0\\12a-4\beta=0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} -2a+\beta=1\\3a-\beta=0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} a=1\\\beta=3 \end{cases} }$

B2. Έχουμε $\displaystyle{f(x)=x^3+3x^2-4,~f'(x)=3x^2+6x}$

$\displaystyle{f'(x)=0\Leftrightarrow 3x^2+6x=0\Leftrightarrow 3x(x+2)=0\Leftrightarrow x=0~\acute{\eta}~x=-2}$

$\displaystyle{f'(x)>0\Leftrightarrow 3x^2+6x>0\Leftrightarrow 3x(x+2)>0\Leftrightarrow x<-2~\acute{\eta}~x>0}$

$\displaystyle{f'(x)<0\Leftrightarrow 3x^2+6x<0\Leftrightarrow 3x(x+2)<0 \Leftrightarrow -2<x<0}$

$\displaystyle{\bullet}$ H συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα $\displaystyle{(-\infty,-2],~[0,+\infty)}$ και γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{[-2,0]}$

$\displaystyle{\bullet}$ Η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό μέγιστο το $\displaystyle{f(-2)=0}$ και τοπικό ελάχιστο το $\displaystyle{f(0)=-4}$ .

B3. O συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης στο τυχαίο σημείο M $\displaystyle{(x,f(x))}$ δίνεται από την

$\displaystyle{f'(x)=3x^2+6x}$ η οποία είναι παραγωγίσιμη με $\displaystyle{f''(x)=6x+6}$ .

$\displaystyle{f''(x)=0\Leftrightarrow 6x+6=0\Leftrightarrow x=-1}$

$\displaystyle{f'(x)>0\Leftrightarrow 6x+6>0\Leftrightarrow x>-1}$

$\displaystyle{f''(x)<0\Leftrightarrow 6x+6<0\Leftrightarrow x<-1}$

Eπομένως, ο συντελεστής διεύθυνσης γίνεται ελάχιστος στο $\displaystyle{M(-1,f(-1))~\acute{\eta}~M(-1,-2)}$

B4. Έχουμε $\displaystyle{\lim_{x\to -2}\frac{3x^2+6x}{\sqrt{x^2+1}-\sqrt{5}}=\lim_{x\to -2}\frac{3x(x+2)(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{5})}{(\sqrt{x^2+1}-\sqrt{5})(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{5})}=}$

$\displaystyle{\lim_{x\to -2}\frac{3x(x+2)(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{5})}{(x+2)(x-2)}=\lim_{x\to -2}\frac{3x(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{5})}{x-2}=\frac{-6\cdot 2\sqrt{5}}{-4}=3\sqrt{5}}$

Christos75 · #4

ΘΕΜΑ Β

Β1. Πρέπει να ισχύoυν :
1) $f(-2)=0\Rightarrow \alpha (-2)^3+\beta (-2)^2-4=0\Rightarrow -2\alpha +\beta =1$
2) $f'(-2)=0\Rightarrow 3\alpha (-2)^2+2\beta (-2)=0\Rightarrow 3\alpha =\beta$
Από όπου έχουμε με την επίλυση του συστήματος ότι $\alpha =1,\beta =3$

Β2. Αναζητούμε την μονοτονία της δοθείσας συνάρτησης και έχουμε:
$f'(x)=0\Leftrightarrow 3x^2+6x=0\Leftrightarrow x=0\vee x=-2$ από όπου κάνοντας πίνακα τιμών και επικαλούμενοι το πρόσημο τριωνύμου προκύπτουν τα εξής διαστήματα μονοτονίας της f. Η συνάρτηση f είναι: γνησίως αύξουσα στο διάστημα $(-\infty ,-2]$ γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [-2,0]

και γνησίως αύξουσα στο $[0,+\infty )$ . Συνεπώς η συνάρτηση έχει ένα ελάχιστο και ένα μέγιστο, μέγιστο στο σημείο A(-2,0)

και ελάχιστο στο B(0-4)

B3. Το ζητούμενο σημείο το βρίσκουμε ως εξής: Θεωρώ συνάρτηση g(x)=f'(x)=3x^2+6x

την οποία και παραγωγίζω για να βρω τη μονοτονία και το ακρότατό της.
Πράγματι μετά από την παραγώγιση έχω: $g'(x)=6x+6=6(x+1)=0\Rightarrow x=-1$ Οπότε $g'(x)>0\Leftrightarrow x>-1$ και $g'(x)<0\Leftrightarrow x<-1$ Άρα στο σημείο με τετμημένη

η

ελαχιστοποιείται. Συνεπώς το ζητούμενο σημείο του γραφήματος της f είναι το Κ(-1,-2)

Β4. Εύκολα παρατηρούμε ότι εάν θέσουμε όπου x=-2

θα λάβουμε απροσδιοριστία $\frac{0}{0}$ Παίρνοντας τη συζυγή παράσταση του παρονομαστή θα έχουμε: $\lim_{x->-2}\frac{(3x^2+6x)(\sqrt(x^2+1)+\sqrt5)}{x^2-4}=\lim_{x->-2}\frac{3x(x+2)(\sqrt(x^2+1)+\sqrt(5))}{(x-2)(x+2)}=...=3\sqrt(5)$

Με πρόλαβε ο αγαπητός Γιώργος...λέω να το αφήσω για τον κόπο. Οι συντονιστές θα κρίνουν αν πρέπει να σβηστεί τελικά ή όχι...

Christos75 · #5

ΘΕΜΑ Α

Α1. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελίδα 150.
Α2. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελίδα 16.
Α3. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελίδα 96.
Α4.
α) Λάθος
β) Σωστό
γ) Σωστό
δ) Λάθος
ε) Λάθος

Θεοδωρος Παγωνης · #6

Έστω

το πλάτος των κλάσεων. Επειδή η μικρότερη διάρκεια είναι 0 και η κεντρική τιμή της 5ης κλάσης είναι 18
θα έχουμε
$\displaystyle{\frac{4c+5c}{2}=18\Leftrightarrow 9c=36\Leftrightarrow c=4}$

Γ2. Η γωνία του κυκλικού τομέα που αντιστοιχεί στην 5η κλάση είναι 36ο , επομένως θα έχουμε :
$\displaystyle{{{\alpha }_{5}}={{f}_{5}}\cdot 360\Leftrightarrow 36={{f}_{5}}\cdot 360\Leftrightarrow {{f}_{5}}=0,1}$
Οπότε
$\displaystyle{{{f}_{5}}%=10}$
Είναι
$\displaystyle{\frac{{{N}_{1}}}{4}=\frac{{{N}_{2}}}{9}=\frac{{{N}_{3}}}{15}=\frac{{{N}_{4}}}{18}=\lambda }$
Οπότε

$\displaystyle{{{N}_{1}}=4\lambda }$ , $\displaystyle{{{N}_{2}}=9\lambda }$ , $\displaystyle{{{N}_{3}}=15\lambda }$ , $\displaystyle{{{N}_{4}}=18\lambda }$

Επομένως θα έχουμε :
$\displaystyle{{{v}_{1}}={{N}_{1}}=4\lambda }$
$\displaystyle{{{v}_{2}}={{N}_{2}}-{{N}_{1}}=5\lambda }$
$\displaystyle{{{v}_{3}}={{N}_{3}}-{{N}_{2}}=6\lambda }$
$\displaystyle{{{v}_{4}}={{N}_{4}}-{{N}_{3}}=3\lambda }$
Επίσης
$\displaystyle{{{f}_{5}}=0,1\Leftrightarrow \frac{{{v}_{1}}}{v}=0,1\Leftrightarrow {{v}_{1}}=0,1v}$

Όμως :
$\displaystyle{{{v}_{1}}+{{v}_{2}}+{{v}_{3}}+{{v}_{4}}+{{v}_{5}}=v\Leftrightarrow 4\lambda +5\lambda +6\lambda +3\lambda +0,1v=v\Leftrightarrow v=20\lambda }$

Άρα :
$\displaystyle{{{f}_{1}}=\frac{{{v}_{1}}}{v}\Leftrightarrow {{f}_{1}}=\frac{4\lambda }{20\lambda }=0,2}$
$\displaystyle{{{f}_{2}}=\frac{{{v}_{2}}}{v}\Leftrightarrow {{f}_{2}}=\frac{5\lambda }{20\lambda }=0,25}$
$\displaystyle{{{f}_{3}}=\frac{{{v}_{3}}}{v}\Leftrightarrow {{f}_{1}}=\frac{6\lambda }{20\lambda }=0,3}$
$\displaystyle{{{f}_{4}}=\frac{{{v}_{4}}}{v}\Leftrightarrow {{f}_{4}}=\frac{3\lambda }{20\lambda }=0,15}$
Γ3. Το ποσοστό των συνδρομητών του δείγματος που έχουν χρεωθεί τουλάχιστον 3 ώρες και λιγότερο από 10 ώρες ομιλίας είναι: $\frac{1}{4}{{f}_{1}}+{{f}_{2}}+\frac{1}{2}{{f}_{3}}=\frac{1}{4}\cdot 0,2+0,25+\frac{1}{2}\cdot 0,3=0,05+0,25+0,15=0,45\text{ }\text{ }45%$

Γ4. Έχουμε
$\bar{x}=\frac{\left( 6-4 \right)\cdot {{v}_{2}}+\left( 10-4 \right)\cdot {{v}_{3}}+\left( 14-4 \right)\cdot {{v}_{4}}+\left( 18-4 \right)\cdot {{v}_{5}}}{{{v}_{2}}+{{v}_{3}}+{{v}_{4}}+{{v}_{5}}}$
$=\frac{\frac{2\cdot {{v}_{2}}+6\cdot {{v}_{3}}+10\cdot {{v}_{4}}+14\cdot {{v}_{5}}}{\nu }}{\frac{{{v}_{2}}+{{v}_{3}}+{{v}_{4}}+{{v}_{5}}}{\nu }}$
$=\frac{2\cdot {{f}_{2}}+6\cdot {{f}_{3}}+10\cdot {{f}_{4}}+14\cdot {{f}_{5}}}{{{f}_{2}}+{{f}_{3}}+{{f}_{4}}+{{f}_{5}}}$
$=\frac{2\cdot 0,25+6\cdot 0,3+10\cdot 0,15+14\cdot 0,1}{0,25+0,3+0,15+0,1}$
$=\frac{0,5+1,8+1,5+1,4}{0,8}$
$=\frac{5,2}{0,8}=6,5$

Υ.Γ. Δεν μπόρεσα να κατασκευάσω (σε latex) τους πίνακες.

#7

Ξεκινώ το Θέμα Δ.

Δ1. Τα ορθογώνια τρίγωνα AKN, NDM, MCL, BLK

είναι ίσα μεταξύ τους, γιατί έχουν κάθετες πλευρές ίσες με

και

αντίστοιχα κι έχουν εμβαδόν $\displaystyle \frac{{x \cdot \left( {4 - x} \right)}}{2}$ .

(ΣΧΟΛΙΟ: Προτιμήσαμε τον υπολογισμό του εμβαδού ως διαφορά άλλων, γιατί αν υπολογίζαμε τη πλευρά του $K \Lambda MN$ , από Πυθαγόρειο θεώρημα, θα έπρεπε να αποδείξουμε (εύκολα) και ότι είναι ορθές οι γωνίες του)

Οπότε $\displaystyle \left( {{\rm K}\Lambda {\rm M}{\rm N}} \right) = \left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta } \right) - 4\left( {AKN} \right) = {4^2} - 4 \cdot \frac{{x \cdot \left( {4 - x} \right)}}{2} = 2\left( {{x^2} - 4x + 8} \right),x \in \left( {0,\;4} \right)$

Η συνάρτηση $\displaystyle E\left( x \right) = 2\left( {{x^2} - 4x + 8} \right),\;x \in \left( {0,\;4} \right)$ είναι παραγωγίσιμη με $\displaystyle E'\left( x \right) = 4x - 8$ .

Δ2. Είναι $\displaystyle E'\left( x \right) < 0$ για $\displaystyle x \in \left( {0,2} \right)$ , $\displaystyle E'\left( 2 \right) = 0$ και $\displaystyle E'\left( x \right) > 0$ για $\displaystyle x \in \left( {2,4} \right)$ , οπότε η συνάρτηση έχει ελάχιστο για x = 2

.

Δ3.
α) Είναι
$\displaystyle \bar y = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^{19} {{y_i}} }}{{19}} \Leftrightarrow 8,02 = \frac{{2\sum\limits_{i = 1}^{19} {\left( {x_i^2 - 4{x_i} + 8} \right)} }}{{19}} \Leftrightarrow \frac{{\sum\limits_{i = 1}^{19} {x_i^2} }}{{19}} - 4\frac{{\sum\limits_{i = 1}^{19} {{x_i}} }}{{19}} + 8 = 4,01$

$\displaystyle\Leftrightarrow {\bar x^2} - 4\bar x + 8 = 4,01 \Leftrightarrow {\bar x^2} = 4,01$

β) $\displaystyle s_x^2 = \frac{1}{{19}}\left\{ {\sum\limits_{i = 1}^{19} {x_i^2} - \frac{{{{\left( {\sum\limits_{i = 1}^{19} {{x_i}} } \right)}^2}}}{{19}}} \right\} = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^{19} {x_i^2} }}{{19}} - {\left( {\bar x} \right)^2} = 4,01 - 4 = 0,01$

$\displaystyle \Rightarrow {s_x} = \sqrt {0,01} = 0,1$

$\displaystyle CV = \frac{{{s_x}}}{{\bar x}} = \frac{{0,1}}{2} = 5\%$ , οπότε είναι ομογενές το δείγμα.

γ)
Αφού είναι $\displaystyle \delta = {x_{10}} = 2$ , και τα x_i

είναι θετικά και ανά δύο διαφορετικά μεταξύ τους, τότε $\displaystyle {x_i} < 2,\;\;i = 1,\;2,\;\;...,9$ και $\displaystyle {x_i} > 2,\;\;i = 10,\;11,\;\;...,19$

Οπότε $\displaystyle x_i^2 \ge 4 \Leftrightarrow {x_i} \ge 2$ , άρα $\displaystyle N\left( A \right) = 10 \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{10}}{{19}}$

Είναι $\displaystyle E\left( {{x_i}} \right) \le 8 \Leftrightarrow x_i^2 - 4{x_i} + 4 \le 0 \Leftrightarrow {\left( {{x_i} - 2} \right)^2} \le 0 \Leftrightarrow {x_i} = 2$ άρα $\displaystyle N\left( B \right) = 1 \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{1}{{19}}$

Δεν πραγματοποιείται κανένα από τα

και

όταν $\displaystyle {x_i} < 2$ , οπότε $\displaystyle N\left( \Gamma \right) = 9 \Rightarrow P\left( \Gamma \right) = \frac{9}{{19}}$

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ 2015

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ 2015

Re: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ 2015

Re: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ 2015

Re: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ 2015

Re: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ 2015

Re: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ 2015

Re: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ 2015

Μέλη σε σύνδεση