Μαθηματικά κατεύθυνσης 2015

Τσιαλας Νικολαος · #61

Κύριε Στεργίου μιας και αύριο θα ξεκινήσετε τις διορθώσεις θα μπορούσατε μήπως να μας αναφέρετε μερικά στοιχεία το βράδυ; π.χ "διόρθωσα 20 γραπτά...τα 10 ήταν κάτω από τη βάση 7 μέχρι 15 και 3 20αρια???προς φιλοσοφικής συζήτησης και μόνο...

Τονισμός κειμένου

S.E.Louridas · #62

Και μόνο για λόγους πλουραλισμού (σε αυτό το πνεύμα θα πρέπει να δίνουμε τρόπους διαφορετικής νοοτροπίας, ώστε να εξυπηρετούμε και την υποκειμενικότητα των διαγωνιζομένων δηλαδή τι τους ταιριάζει) ας δούμε και έναν άλλο τρόπο για την εύρεση του Πεδίου τιμών της $y = \frac{{{e^x}}}{{{x^2} + 1}}.$

Καταρχάς παρατηρούμε ότι $\frac{{{e^x}}}{{{x^2} + 1}} > 0,\;\,\forall x \in {\Cal R}.$ Θα πρέπει τώρα για τον τυχόντα θετικό

να υπάρχει πραγματικός

ώστε $\frac{{{e^x}}}{{{x^2} + 1}} = c \Leftrightarrow {e^x} - c{x^2} - c = 0\;.$ Για την $g:{\Cal R} \to {\Cal R},\,\;g\left( x \right) = {e^x} - c{x^2} - c,$ έστω ότι ${e^x} - c{x^2} - c \leqslant 0,\quad \forall x \in {\Cal R}.$ Τότε κατά μείζονα λόγο θα είχαμε και $x - c{x^2} - c \leqslant 0,\quad \forall x \in {\Cal R},$ άρα θα είχαμε $c - {c^3} - c \leqslant 0 \Rightarrow - {c^3} \leqslant 0,$ που είναι άτοπο. Θα υπάρχει λοιπόν πραγματικός ${x_0},$ τέτοιος που $g\left( {{x_0}} \right) > 0\;\;\left( 1 \right).$ Αν τώρα ίσχυε $g\left( x \right) \geqslant 0,\;\forall x \in {\Cal R}\;{\text{\dot \eta }}\;{{\text{e}}^x} \geqslant c\left( {{x^2} + 1} \right),\;\forall x \in {\Cal R},$ τότε για ${x_1} < 0,$ $\;{{\mu \varepsilon }}\;x_1^2 \geqslant \frac{1}{c} - 1,$ θα είχαμε $\;x_1^2 \geqslant \frac{1}{c} - 1 \Rightarrow x_1^2 + 1 \geqslant \frac{1}{c} \Rightarrow c\left( {x_1^2 + 1} \right) \geqslant 1 \Rightarrow {e^{{x_1}}} \geqslant 1 ,$ που είναι άτοπο. Άρα θα υπάρχει πραγματικός $x',\;{{\mu \varepsilon }}\;g\left( {x'} \right) < 0\;\;\left( 2 \right).$ Από τις $\left( 1 \right),\;\left( 2 \right)$ παίρνουμε το ζητούμενο.

#63

nikoszan έγραψε:Μια άσκηση(ιδέα για μελλοντικης μορφής θέμα?) αφιερωμένη στους φίλους θεματοδότες ,που τόσο πολύ έχουν κατακριθεί.(ΧΡΟΝΟΣ ΛΥΣΗΣ 15min με σχολικά μαθηματικά και με πλήρη διατύπωση)
Έστω η τρεις φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{f:\left( {0, + \infty } \right) \to R}$ ,για την οποία ισχύει : $\displaystyle{xf''\left( x \right)f'''\left( x \right) > 1,\forall x > 0}$
και το σημείο $\displaystyle{P\left( {2,f\left( 2 \right)} \right)}$ βρίσκεται κάτω απο το μέσο του ευθ. τμήματος $\displaystyle{MN}$ ,όπου $\displaystyle{M\left( {1,f\left( 1 \right)} \right)}$ και $\displaystyle{N\left( {3,f\left( 3 \right)} \right)}$ .
Να βρεθεί το όριο : $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {f\left( {x + 1} \right) + f\left( {x - 1} \right) - 2f\left( x \right)} \right)}$ .
Ερώτηση 1 : Είναι επαρκής ο χρόνος ?
Ερώτηση 2 :Έχουν διδαχθεί οι μαθητές και όχι μόνο τέτοιας μορφής θέμα.
Ερώτηση 3:Μήπως είμαι αρκετά κακός θεματοδότης(ισχυρίζομαι οτι δεν έχω τέτοια πρόθεση)
ΣΧΟΛΙΟ1:Για να μην παρεξηγηθώ , τα θέματα απο μαθηματικη άποψη είναι άψογα και ειναι σχεδόν ταυτόσημα της νοοτροπίας με την οποία προπονώ τους μαθητές.
Θα σχολιάσω όμως μόνο ένα(υπάρχουν και άλλα ) : ότι ο χρόνος των τριών ωρών δεν έφτανε να απαντηθούν με πλήρη διατύπωση τα θέματα αυτά απο τους
περισσότερους μαθητές και οχι μόνο (ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ:(ΧΡΟΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΛΥΤΗ ΜΕ ΠΛΗΡΗ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ )Χ3)
ΣΧΟΛΙΟ2Αν ο χρονος των 15min δεν φτάνει ,για να απαντηθεί το προτεινόμενο θέμα, δινεται επι πλεον χρόνος 5 min.
ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ: ΟΤΑΝ ΠΕΦΤΟΥΜΕ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΒΡΟΥΜΕ ΤΗΝ ΔΥΝΑΜΗ ΝΑ ΣΗΚΩΘΟΥΜΕ! ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!!
Ν.Ζ.

Επειδή έχω καταλάβει καλά πως ο Νίκος ποτέ δε μιλάει τυχαία θέλω να πω πως το τελευταίο ερώτημα του θέματος Δ μου έφερε
κατευθείαν στο μυαλό τα ερωτήματα που θέτει στο φόρουμ "Ολοκλήρωμα και διάταξη".
Πηγαίνοντας πίσω, στα παλιά του φόρουμ, βρήκα --->αυτό.
Αξίζει να διαβάσετε τους προβληματισμούς του αείμνηστου Κώστα Ζερβού. Το ίδιο περίπου ισχυρίζεται και ο Νίκος.

Λάμπρος Μπαλός · #64

Δεν ανέφερα κάτι μέχρι στιγμής, περιμένοντας βεβαίως να μιλήσουν οι παλαιότεροι αυτής της παρέας.
Θα αναφέρω μόνο τα σχόλια δύο ανθρώπων.
Ο πρώτος είναι ο τολάσο που μόλις είδε τα θέματα μου έγραψε.. "μου θυμίζουν Ζανταρίδη"
Ο δεύτερος είναι ένας μαθητής μου που κουράστηκε πολύ μεσα στη χρονιά και μόλις έφτασε στο φροντιστήριο, πριν καν μου πει πώς τα πήγε (τα έγραψε όλα στο μεταξύ το θηρίο) , τον ρώτησα : "έλα πες,σου θυμίζουν κάτι;". Η απάντηση ήρθε χωρίς δεύτερη σκέψη.

Μόνο να πω, σε δομή και σε ομορφιά οι θεματοδότες δεν τον φτάνουν τον κύριο Νίκο.

Υγ.. Το μεγάλο μας καμάρι , το μεγάλο μας στήριγμα , είναι η Γλώσσα μας. Αν το χάσουμε, χαθήκαμε. Να διαβάζουμε όσο μπορούμε.
...μνημονεύετε Διονύσιο Σολωμό και μνημονεύετε Αλέξανδρο Παπαδιαμάντη. Πράγματι είναι η λαλιά που δεν ξέρει από ψέμα. Σαν τα Μαθηματικά ένα πράμα..

MarKo · #65

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:Δεν ανέφερα κάτι μέχρι στιγμής, περιμένοντας βεβαίως να μιλήσουν οι παλαιότεροι αυτής της παρέας.
Θα αναφέρω μόνο τα σχόλια δύο ανθρώπων.
Ο πρώτος είναι ο τολάσο που μόλις είδε τα θέματα μου έγραψε.. "μου θυμίζουν Ζανταρίδη"
Ο δεύτερος είναι ένας μαθητής μου που κουράστηκε πολύ μεσα στη χρονιά και μόλις έφτασε στο φροντιστήριο, πριν καν μου πει πώς τα πήγε (τα έγραψε όλα στο μεταξύ το θηρίο) , τον ρώτησα : "έλα πες,σου θυμίζουν κάτι;". Η απάντηση ήρθε χωρίς δεύτερη σκέψη.

Μόνο να πω, σε δομή και σε ομορφιά οι θεματοδότες δεν τον φτάνουν τον κύριο Νίκο.

Υγ.. Το μεγάλο μας καμάρι , το μεγάλο μας στήριγμα , είναι η Γλώσσα μας. Αν το χάσουμε, χαθήκαμε. Να διαβάζουμε όσο μπορούμε.
...μνημονεύετε Διονύσιο Σολωμό και μνημονεύετε Αλέξανδρο Παπαδιαμάντη. Πράγματι είναι η λαλιά που δεν ξέρει από ψέμα. Σαν τα Μαθηματικά ένα πράμα..

Ακριβώς και εγώ την ίδια ερώτηση έκανα σε έναν μαθητή μου που είχαμε δουλέψει ασκήσεις του κυρίου Ζανταριδη από το γνωστό βιβλίο 4 θέμα.
Και πήρα την ίδια απάντηση. Έχασε την αιτιολογηση στο Δ4 γιατι προσπαθούσε με άλλον τρόπο να βγάλει τα πρόσημα με τα ολοκληρώματα και έχασε την ψυχραιμία του.

S.E.Louridas · #66

Επιτρέψτε μου να πω ότι θα ήταν ευχής έργο να ήταν θεματοδότης ... ο Νίκος Ζανταρίδης...
Προσωπικά πιστεύω ότι τα θέματα δεν είχαν Μαθηματικά λάθη. Αλλά αλλοίμονο αν συζητούσαμε σε αυτό το περιβάλλον για εισαγωγικές εξετάσεις. Όμως τι και αν είναι πιο δύσκολα ή πιο εύκολα από προηγούμενες φορές; Σημασία έχει ότι είναι της ίδιας νοοτροπίας με όλα σχεδόν τα θέματα των τελευταίων ετών και επομένως τουλάχιστον από τους profetionals είναι προβλέψιμης νοοτροπίας. Για παράδειγμα γιατί το τελευταίο θέμα πρέπει ντε και καλά να είναι με συνάρτηση με τύπο ολοκλήρωμα; Όμως υπάρχει και το εξής επίσης ερώτημα: Γιατί το σημείο συσσώρευσης της βαθμολογίας για επιτυχία να είναι το 100; Τι να σημαίνει άραγε σωστό θέμα; Κατά την άποψη μου σωστό θέμα σημαίνει 1ο να έχει διακυμαινόμενη στόχευση, να έχει στόχο, 2ο να έχει σημεία που να μπορεί ο λύτης να βάλει την προσωπική του σφραγίδα, 3ο να λειτουργούν οι ειδικές μορφές των εννοιών που εμπλέκονται για να οδηγηθούμε στην λύση και όχι να μην παίζει ρόλο για την λύση η μορφή ας πούμε του τύπου μίας συνάρτησης και 4ο καλό θα είναι να μην κατασκευάζουμε θέματα με την μέθοδο, κατασκευάζω ένα θέμα με την άνεση της άλγεβρας αλλά το ζητώ προς λύση σε επίπεδο πρακτικής αριθμητικής.
Τώρα για το ηθικό δηλαδή το πιο σημαντικό μέρος της υπόθεσης είναι χρέος της πολιτείας μέσω της σωστής παιδείας να διαπλάσει νέους απαλλαγμένους από έναν ιδιότυπο ρατσισμό που οδηγεί στο αποκλειστικό δίπολο επιτυχία ή αποτυχία με όλες της συνέπειες της αποτυχίας αλλά και χωρίς την ικανοποίηση της διαδρομής προς τον στόχο έστω και αν αυτός δεν επιτυγχάνεται εύκολα. Αυτή την διαχρονική διαπαιδαγώγηση θέλουν οι νέοι και όχι το στιγμιαίο πατ-πατ στην πλάτη όταν το παιδί συνδέει την αποτυχία στις εξετάσεις με την προσωπική του αποτυχία ολοκληρωτικά προσφέροντας του ταυτόχρονα επίσης στιγμιαία και κάποιες...αφ' υψηλού λέξεις του πεπειραμένου. Προσωπικά δεν θεωρώ πέσιμο στην ζωή αν δεν πετύχω σε κάποιες εξετάσεις. Αρκεί να διαχειριστώ την αποτυχία σωστά με το να την αγαπήσω ώστε η ίδια να μου πει το μυστικό της για να την ξεπεράσω πετυχαίνοντας. Όμως αυτό θέλει πλάσιμο από την πολιτεία και την παιδεία της από τους γονείς και τους παράγοντες και όλα αυτά με την δύναμη του παραδείγματος από ημάς ή και υμάς. Τέλος θα πρέπει να αποδεχθούμε ως κοινωνία την αριστεία και την αξιοκρατία παντού (στα γράμματα, στη τέχνη, στο εμπόριο κ.τ.λ.) σαν αποτέλεσμα του αντίστοιχου χαρίσματος που ο καθένας από εμάς έχει.

Θεοδωρος Παγωνης · #67

Μια ακόμη λύση για το Δ3 , από μαθητή , όχι δικό μου , που έτυχε να δω :

Επειδή f(x)>0

, από την σχέση $\ln x<x$ , που ισχύει για κάθε x>0

, θα ισχύουν

$\ln \left| f(x) \right|=\ln f(x)$ και $\ln f(x)<f(x)$ .

Οπότε για

κοντά στο

με

έχω :

$\left| \left( {{e}^{\int\limits_{0}^{x}{{{f}^{2}}(t)dt}}}-1 \right)\ln f(x) \right|<\left| \left( {{e}^{\int\limits_{0}^{x}{{{f}^{2}}(t)dt}}}-1 \right)f(x) \right|\Leftrightarrow$ (σημείωση δική μου : εδώ «μπάζει» λίγο)

$-\left| \left( {{e}^{\int\limits_{0}^{x}{{{f}^{2}}(t)dt}}}-1 \right)f(x) \right|<\left( {{e}^{\int\limits_{0}^{x}{{{f}^{2}}(t)dt}}}-1 \right)\ln f(x)<\left| \left( {{e}^{\int\limits_{0}^{x}{{{f}^{2}}(t)dt}}}-1 \right)f(x) \right|$

Όμως $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop \lim }\,\left| \left( {{e}^{\int\limits_{0}^{x}{{{f}^{2}}(t)dt}}}-1 \right)f(x) \right|=0$ ,

Από κριτήριο παρεμβολής έχω το ζητούμενο όριο.

#68

nick39 έγραψε:Κύριε Στεργίου μιας και αύριο θα ξεκινήσετε τις διορθώσεις θα μπορούσατε μήπως να μας αναφέρετε μερικά στοιχεία το βράδυ; π.χ "διόρθωσα 20 γραπτά...τα 10 ήταν κάτω από τη βάση 7 μέχρι 15 και 3 20αρια???προς φιλοσοφικής συζήτησης και μόνο...

Τονισμός κειμένου

Νίκο, σέβομαι την επιθυμία σου !

Βέβαια, πρέπει να πω στους φίλους μαθητές και συναδέλφους που μας παρακολουθούν ότι τέτοια στοιχεία δεν έχουν καμία σημασία. Αν δεν έχουμε δείγμα 1000 γραπτών από την ίδια μάλιστα περιοχή με πέρυσι και να έχουμε κρατήσει τα αντίστοιχα στατιστικά , καμία ασφαλής σύγκριση δεν μπορεί να γίνει.

Αυτός είναι ο λόγος που όσοι εμπλεκόμαστε στα Βαθμολογικά κέντρα δεν δίνουμε τέτοια στοιχεία. Με άλλα λόγια δεν τα εμπιστευόμαστε ούτε εμείς οι ίδιοι.

Μην ξεχνάμε επίσης ότι οι εξετάσεις συνεχίζονται και οι μαθητές πρέπει να βλέπουν μπροστά. Φανταστείτε τι θα γίνει αν εμένα μου τύχουν δύο φάκελοι από το Πρύτυπο λύκειο ΧΧΧ και τα 20 γραπτά στα 50 είναι πάνω από 17. Όλοι οι μαθητές που μας βλέπουν θα απογοητευτούν. Οφείλουμε επομένως να υποκλιθούμε στην αγωνία παιδιών και γονιών και να μην κάνουμε επιπόλαιες ανακοινώσεις.

Για αυτόν μόνο το λόγο δεν είναι σωστό κανένας από μας να δώσει τέτοια στοιχεία δημόσια . Σεβόμαστε την επιθυμία των εκλεκτών φίλων και συναδέλφων αλλά και των μαθητών να ακούσουν κάτι από ...πρώτο χέρι, αλλά αυτό πιο πολλά προβλήματα θα επιφέρει παρά θα λύσει . Ας τελειώσουν πρώτα οι εξετάσεις με το καλό , να βρουν τα παιδιά το ρυθμό τους, να έχουμε διορθώσει πάνω από 1000 γραπτά και μετά, πάντα με διακριτικότητα, μπορούμε να κάνουμε κάποια εκτίμηση.

Καλά αποτελέσματα στους μαθητές σας καθώς και στους ίδιους τους μαθητές-μέλη της οικογένειας του mathematica !

Μπάμπης

#69

nikoszan έγραψε:Μια άσκηση(ιδέα για μελλοντικης μορφής θέμα?) αφιερωμένη στους φίλους θεματοδότες ,που τόσο πολύ έχουν κατακριθεί.(ΧΡΟΝΟΣ ΛΥΣΗΣ 15min με σχολικά μαθηματικά και με πλήρη διατύπωση)
Έστω η τρεις φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{f:\left( {0, + \infty } \right) \to R}$ ,για την οποία ισχύει : $\displaystyle{xf''\left( x \right)f'''\left( x \right) > 1,\forall x > 0}$
και το σημείο $\displaystyle{P\left( {2,f\left( 2 \right)} \right)}$ βρίσκεται κάτω απο το μέσο του ευθ. τμήματος $\displaystyle{MN}$ ,όπου $\displaystyle{M\left( {1,f\left( 1 \right)} \right)}$ και $\displaystyle{N\left( {3,f\left( 3 \right)} \right)}$ .
Να βρεθεί το όριο : $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {f\left( {x + 1} \right) + f\left( {x - 1} \right) - 2f\left( x \right)} \right)}$ .
Ερώτηση 1 : Είναι επαρκής ο χρόνος ?
Ερώτηση 2 :Έχουν διδαχθεί οι μαθητές και όχι μόνο τέτοιας μορφής θέμα.
Ερώτηση 3:Μήπως είμαι αρκετά κακός θεματοδότης(ισχυρίζομαι οτι δεν έχω τέτοια πρόθεση)
ΣΧΟΛΙΟ1:Για να μην παρεξηγηθώ , τα θέματα απο μαθηματικη άποψη είναι άψογα και ειναι σχεδόν ταυτόσημα της νοοτροπίας με την οποία προπονώ τους μαθητές.
Θα σχολιάσω όμως μόνο ένα(υπάρχουν και άλλα ) : ότι ο χρόνος των τριών ωρών δεν έφτανε να απαντηθούν με πλήρη διατύπωση τα θέματα αυτά απο τους
περισσότερους μαθητές και οχι μόνο (ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ:(ΧΡΟΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΛΥΤΗ ΜΕ ΠΛΗΡΗ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ )Χ3)
ΣΧΟΛΙΟ2Αν ο χρονος των 15min δεν φτάνει ,για να απαντηθεί το προτεινόμενο θέμα, δινεται επι πλεον χρόνος 5 min.
ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ: ΟΤΑΝ ΠΕΦΤΟΥΜΕ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΒΡΟΥΜΕ ΤΗΝ ΔΥΝΑΜΗ ΝΑ ΣΗΚΩΘΟΥΜΕ! ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!!
Ν.Ζ.

Εκτός από το πρόβλημα του Νίκου, αν εκτιμήσει η επιτροπή ότι ο χρόνος είναι υπεραρκετός , όπως συνηθίζεται άλλωστε για χρόνια , πρέπει να συμπληρωθεί από την επιτροπή και το εξής ερώτημα (με κατάλληλη συρραφή βέβαια) :

ΑΣΚΗΣΗ

Δίνεται συνεχής συνάρτηση

στο

και η παράσταση $A=\int_{0}^{1}{{{x}^{2}}f(x)dx-}\int_{0}^{1}{x{{f}^{2}}(x)dx}$ .

α) Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της παράστασης

.

β) Αν η παράσταση

είναι ελάχιστη, να βρείτε τον τύπο της

.

Υπόδειξη(για να μην ασχολείστε με τόσο τετριμμένες ασκήσεις ) :

: easy problem.PNG (7.33 KiB) Προβλήθηκε 5371 φορές

Και δεν θα είναι λίγοι εκείνοι που θα βαράνε παλαμάκια ότι η επιτροπή πρωτοτύπισε ! Μόλις θα δούνε τη λύση ( που θα κάνουν οι άλλοι, όχι οι ίδιοι! )θα σου πούνε, '' χωρίς να ξέρεις να συμπληρώνεις τετράγωνο , που πας ...ρε Καραμήτρο !'' ;

Όπως διαβλέπω, ειδικά με την μείωση των μαθημάτων και με την απόφαση να ρίξουμε όσο πιο χαμηλά τις βάσεις, από του χρόνου μόνο με τέτοια ερωτήματα

θα πρέπει να ασχολούμαστε για να πιάσει κάποιος το άριστα και για να νοιώθουμε ότι κάτι κάναμε.

Μπάμπης

mathfinder · #70

Στο Γ4 μπορούμε να δείξουμε ότι η

είναι συνεχής στο

χρησιμοποιώντας τη σχέση από το Γ3 : $2xf\left(2x \right)<\int_{2x}^{4x}{f\left(t \right)dt}<2xf\left(4x \right)\Rightarrow 2f\left(2x \right)<\frac{\int_{2x}^{4x}{f\left(t \right)dt}}{x}<2f\left(4x \right)$ και συνεχίζουμε με κριτήριο παρεμβολής.

Αθ. Μπεληγιάννης

#71

mathfinder έγραψε:Στο Γ4 μπορούμε να δείξουμε ότι η είναι συνεχής στο χρησιμοποιώντας τη σχέση από το Γ3 : $2xf\left(2x \right)<\int_{2x}^{4x}{f\left(t \right)dt}<2xf\left(4x \right)\Rightarrow 2f\left(2x \right)<\frac{\int_{2x}^{4x}{f\left(t \right)dt}}{x}<2f\left(4x \right)$ και συνεχίζουμε με κριτήριο παρεμβολής.

Αθ. Μπεληγιάννης

Θανάση, όταν υπάρχει ηρεμία , βλέπουμε υπέροχα πράγματα !

Καλές διορθώσεις !!!

#72

Στο Δ1 αφότου φτάσουμε στη σχέση $\left(e^{f(x)}-x\right)^2=x^2+1$ , για κάθε $x\in\mathbb{R}$ μπορούμε να εξάγουμε τον τύπο της

με τον εξής τρόπο (χωρίς μάλιστα να απαιτείται να χρησιμοποιήσουμε τη συνέχεια της συνάρτησης

λόγω της ειδικής περίπτωσης που έχουμε):

Αν υπήρχε $x_0 \in\mathbb{R}$ ώστε $e^{f(x_0)}-x_0=-\sqrt{x_0^2+1} \Leftrightarrow e^{f(x_0)}=x_0-\sqrt{x_0^2+1}$ τότε επειδή το 1ο μέλος είναι θετικό, οφείλει και το 2ο μέλος να είναι θετικό.

Όμως $x_0^2+1>x_0^2 \Rightarrow \sqrt{x_0^2+1}> |x_0| \stackrel{|x|\geq x}{\Rightarrow} \sqrt{x_0^2+1}>x_0 \Rightarrow x_0-\sqrt{x_0^2+1}<0$ , άτοπο.

Συνεπώς $e^{f(x)}-x=\sqrt{x^2+1}$ , για κάθε $x\in\mathbb{R}$ .

Εναλλακτικά για το Δ1, αφού φτάσουμε στη σχέση $e^{2f(x)}-2xe^{f(x)}-1=0$ , για κάθε $x\in\mathbb{R}$ μπορούμε να δούμε την τελευταία παράσταση ως τριώνυμο του $e^{f(x)}$ με διακρίνουσα $\Delta=(-2x)^2-4\cdot 1\cdot (-1)=4(x^2+1)$

Άρα έχουμε $\left(e^{f(x)}=x+\sqrt{x^2+1} \ \ \text{\gr ή \en} \ \ e^{f(x)}=x-\sqrt{x^2+1}\right)$ , για κάθε $x\in\mathbb{R}$

Τώρα συνεχίζουμε όπως παραπάνω για να απορρίψουμε τη δεύτερη περίπτωση: "Αν υπήρχε $x_0 \in\mathbb{R}$ ώστε $e^{f(x_0)}=x_0-\sqrt{x_0^2+1}$ τότε ... "

Αλέξανδρος

Θεοδωρος Παγωνης · #73

Καλησπέρα Αλέξανδρε :

Η δεύτερη περίπτωση μπορεί να απορριφθεί πιο εύκολα με την αρχική συνθήκη για την

, δηλαδή με το f(0)=0

.

Πράγματι , η δεύτερη περίπτωση για x=0

γίνεται

${{e}^{f(0)}}=0-\sqrt{{{0}^{2}}+1}\Leftrightarrow 1=-1$ , άτοπο .

gavrilos · #74

Θεοδωρος Παγωνης έγραψε:Καλησπέρα Αλέξανδρε :

Η δεύτερη περίπτωση μπορεί να απορριφθεί πιο εύκολα με την αρχική συνθήκη για την , δηλαδή με το .

Πράγματι , η δεύτερη περίπτωση για γίνεται

${{e}^{f(0)}}=0-\sqrt{{{0}^{2}}+1}\Leftrightarrow 1=-1$ , άτοπο .

Το παραπάνω δεν αποτελεί πλήρη απόδειξη ότι η δεύτερη περίπτωση δεν ισχύει.

Η συνάρτηση μπορεί να έχει τον ένα τύπο για κάποια $\displaystyle{x}$ και τον άλλο τύπο για κάποια άλλα.

Το παραπάνω απλά επιβεβαιώνει ότι για $\displaystyle{x=0}$ η $\displaystyle{e^{f(x)}}$ έχει τον τύπο $\displaystyle{x+\sqrt{x^2+1}}$ .

#75

cretanman έγραψε:Στο Δ1 αφότου φτάσουμε στη σχέση $\left(e^{f(x)}-x\right)^2=x^2+1$ , για κάθε $x\in\mathbb{R}$ μπορούμε να εξάγουμε τον τύπο της με τον εξής τρόπο (χωρίς τη συνέχεια της συνάρτησης λόγω της ειδικής περίπτωσης που έχουμε):

Αν υπήρχε $x_0 \in\mathbb{R}$ ώστε $e^{f(x_0)}-x_0=-\sqrt{x_0^2+1} \Leftrightarrow e^{f(x_0)}=x_0-\sqrt{x_0^2+1}$ τότε επειδή το 1ο μέλος είναι θετικό, οφείλει και το 2ο μέλος να είναι θετικό.

Όμως $x_0^2+1>x_0^2 \Rightarrow \sqrt{x_0^2+1}> |x_0| \stackrel{|x|\geq x}{\Rightarrow} \sqrt{x_0^2+1}>x_0 \Rightarrow x_0-\sqrt{x_0^2+1}<0$ , άτοπο.

Συνεπώς $e^{f(x)}-x=\sqrt{x^2+1}$ , για κάθε $x\in\mathbb{R}$ .

Αλέξαντρε, ναί!!

Αυτή η παρατήρηση αξίζει ...

#76

Θεοδωρος Παγωνης έγραψε:Μια ακόμη λύση για το Δ3 , από μαθητή , όχι δικό μου , που έτυχε να δω :

Επειδή , από την σχέση $\ln x<x$ , που ισχύει για κάθε , θα ισχύουν

$\ln \left| f(x) \right|=\ln f(x)$ και $\ln f(x)<f(x)$ .

Οπότε για κοντά στο με έχω :

$\color{red} \left| \left( {{e}^{\int\limits_{0}^{x}{{{f}^{2}}(t)dt}}}-1 \right)\ln f(x) \right|<\left| \left( {{e}^{\int\limits_{0}^{x}{{{f}^{2}}(t)dt}}}-1 \right)f(x) \right|\Leftrightarrow$ (σημείωση δική μου : εδώ «μπάζει» λίγο)

$-\left| \left( {{e}^{\int\limits_{0}^{x}{{{f}^{2}}(t)dt}}}-1 \right)f(x) \right|<\left( {{e}^{\int\limits_{0}^{x}{{{f}^{2}}(t)dt}}}-1 \right)\ln f(x)<\left| \left( {{e}^{\int\limits_{0}^{x}{{{f}^{2}}(t)dt}}}-1 \right)f(x) \right|$

Όμως $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop \lim }\,\left| \left( {{e}^{\int\limits_{0}^{x}{{{f}^{2}}(t)dt}}}-1 \right)f(x) \right|=0$ ,

Από κριτήριο παρεμβολής έχω το ζητούμενο όριο.

Δυστυχώς, δεν ισχύει η παραπάνω σχέση...

#77

nikoszan έγραψε:Μια άσκηση(ιδέα για μελλοντικης μορφής θέμα?) αφιερωμένη στους φίλους θεματοδότες ,που τόσο πολύ έχουν κατακριθεί.(ΧΡΟΝΟΣ ΛΥΣΗΣ 15min με σχολικά μαθηματικά και με πλήρη διατύπωση)
Έστω η τρεις φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{f:\left( {0, + \infty } \right) \to R}$ ,για την οποία ισχύει : $\displaystyle{xf''\left( x \right)f'''\left( x \right) > 1,\forall x > 0}$
και το σημείο $\displaystyle{P\left( {2,f\left( 2 \right)} \right)}$ βρίσκεται κάτω απο το μέσο του ευθ. τμήματος $\displaystyle{MN}$ ,όπου $\displaystyle{M\left( {1,f\left( 1 \right)} \right)}$ και $\displaystyle{N\left( {3,f\left( 3 \right)} \right)}$ .
Να βρεθεί το όριο : $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {f\left( {x + 1} \right) + f\left( {x - 1} \right) - 2f\left( x \right)} \right)}$ .
Ερώτηση 1 : Είναι επαρκής ο χρόνος ?
Ερώτηση 2 :Έχουν διδαχθεί οι μαθητές και όχι μόνο τέτοιας μορφής θέμα.
Ερώτηση 3:Μήπως είμαι αρκετά κακός θεματοδότης(ισχυρίζομαι οτι δεν έχω τέτοια πρόθεση)
ΣΧΟΛΙΟ1:Για να μην παρεξηγηθώ , τα θέματα απο μαθηματικη άποψη είναι άψογα και ειναι σχεδόν ταυτόσημα της νοοτροπίας με την οποία προπονώ τους μαθητές.
Θα σχολιάσω όμως μόνο ένα(υπάρχουν και άλλα ) : ότι ο χρόνος των τριών ωρών δεν έφτανε να απαντηθούν με πλήρη διατύπωση τα θέματα αυτά απο τους
περισσότερους μαθητές και οχι μόνο (ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ:(ΧΡΟΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΛΥΤΗ ΜΕ ΠΛΗΡΗ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ )Χ3)
ΣΧΟΛΙΟ2Αν ο χρονος των 15min δεν φτάνει ,για να απαντηθεί το προτεινόμενο θέμα, δινεται επι πλεον χρόνος 5 min.
ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ: ΟΤΑΝ ΠΕΦΤΟΥΜΕ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΒΡΟΥΜΕ ΤΗΝ ΔΥΝΑΜΗ ΝΑ ΣΗΚΩΘΟΥΜΕ! ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!!
Ν.Ζ.

Δείτε και εδώ:
viewtopic.php?f=55&t=49712

#78

Grosrouvre έγραψε:Φυσικά, ως ώφειλε, $\displaystyle{E = \sqrt{2} - \frac{1}{2} - ln(1 + \sqrt{2}) \approx 0,033 > 0}$ .

Μπορούμε να δείξουμε, χωρίς τη χρήση υπολογιστή ότι, $\sqrt{2} - \frac{1}{2} > ln(1 + \sqrt{2}) ;$
viewtopic.php?f=61&t=49753

tolis riza · #79

Μια ακόμα προσέγγιση:
$\displaystyle{\begin{array}{l} {\Delta _1}\mathop {}\limits_{}^{} :\\ \mathop {}\limits_{}^{} f'(x)\left[ {{e^{f(x)}} + {e^{ - f(x)}}} \right] = 2\mathop {}\limits_{}^{} \Rightarrow \mathop {}\limits_{}^{} \left[ {{e^{f(x)}} + {e^{ - f(x)}}} \right] = \frac{2}{{f'(x)}}\mathop {}\limits_{}^{} \mathop \Rightarrow \limits^{y = f(x)} \mathop {}\limits_{}^{} \\ \left[ {{e^y} + {e^{ - y}}} \right] = 2\frac{{d{f^{ - 1}}(y)}}{{dy}}\mathop {}\limits_{}^{} \Rightarrow \mathop {}\limits_{}^{} {f^{ - 1}}(y) = \frac{1}{2}\left[ {{e^y} + {e^{ - y}}} \right]\mathop {}\limits_{}^{} \Rightarrow \mathop {}\limits_{}^{} f(x) = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\\ \\ {\Delta _2}\mathop {}\limits_{}^{} :\mathop {}\limits_{}^{} \\ E = \frac{1}{2} - \int_0^{\ln \left( {1 + \sqrt 2 } \right)} {\left[ {\ln \left( {1 + \sqrt 2 } \right) - {f^{ - 1}}(x)} \right]} dx = \\ \\ \frac{1}{2} - \ln \left( {1 + \sqrt 2 } \right) + \int_0^{\ln \left( {1 + \sqrt 2 } \right)} {{f^{ - 1}}(x)dx} \mathop {}\limits_{}^{} = \mathop {}\limits_{}^{} \frac{1}{2} - \ln \left( {1 + \sqrt 2 } \right) + \frac{1}{2}\int_0^{\ln \left( {1 + \sqrt 2 } \right)} {\left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right)dx} = \\ = \sqrt 2 - \frac{1}{2} - \ln \left( {1 + \sqrt 2 } \right) \end{array}}$

arismou · #80

Μια εναλλακτική λύση στο ερώτημα Γ3

Η δοθείσα σχέση γράφεται

$\displaystyle \int_{2x}^{4x} {f(t)dt < 2xf(4x) \Leftrightarrow } \int_{2x}^{4x} {f(t)dt < (4x - 2x)f(4x)}$ (1).
Το πρώτο μέλος της (1) εκφράζει το εμβαδόν του χωρίου Χ που ορίζεται από τις ευθείες t=2x

και

, την $\displaystyle {C_f}$ και τον άξονα t΄t . Το δεύτερο μέλος εκφράζει το εμβαδόν του ορθογωνίου που σχηματίζεται από τις ευθείες t=2x

,

, τον άξονα t΄t και την ευθεία w=f(4x)

. Εφόσον η $\displaystyle f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle [2x,4x]$ , το $\displaystyle f(4x)$ είναι η μέγιστη τιμή της στο $\displaystyle [2x,4x]$ . Άρα όλα τα σημεία της $\displaystyle {C_f}$ (εκτός από το σημείο τομής τής $\displaystyle {C_f}$ με την ευθεία w=f(4x)

) βρίσκονται κάτω από την ευθεία w=f(4x)

. Αυτό σημαίνει ότι το ορθογώνιο περιέχει το χωρίο Χ και άρα η (1) ισχύει.

Αριστείδης Μουζακίτης

Μαθηματικά κατεύθυνσης 2015

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2015

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2015

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2015

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2015

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2015

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2015

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2015

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2015

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2015

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2015

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2015

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2015

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2015

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2015

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2015

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2015

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2015

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2015

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2015

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2015

Μέλη σε σύνδεση