Μαθηματικά Γενικής Παιδείας επαναληπτικές 2014

Christos75 · #1

Χαιρετώ τους φίλους της μεγάλης παρέας. Προτείνω εδώ να αναρτήσουμε και να κουβεντιάσουμε τα θέματα Μαθηματικών των επαναληπτικών εξετάσεων για τον τρέχον έτος.
Γύρω στις 17:30 νομίζω θα έχουμε τα θέματα στη διάθεσή μας.

Eukleidis · #2

http://www.minedu.gov.gr/publications/d ... 140620.pdf

Christos.N · #3

Η επιτροπή συνέχισε με μαθηματικά "γενικής" -πραγματικά- παιδείας, χωρίς όμως πρωτοτυπίες, πολύ ωραία θέματα.

#4

Ανεβάζω τα θέματα σε .doc

Γιώργος Απόκης · #5

Καλησπέρα. Κάνω την αρχή με το θέμα Α

Α.1 Απόδειξη, σχολικό βιβλίο, σελ. 151
Α.2 Ορισμός, σχολικό βιβλίο, σελ. 14
Α.3 Ορισμός, σχολικό βιβλίο, σελ. 65

Α.4
α) Λ
β) Λ
γ) Σ
δ) Σ
ε) Λ

Γιώργος Απόκης · #6

Θέμα Β

Β.1 Aφού οι κλάσεις είναι $\displaystyle{5}$ και το εύρος είναι $\displaystyle{20-10=10}$ το πλάτος τους θα είναι $\displaystyle{c=\frac{10}{5}=2}$ .

Για την κεντρική τιμή $\displaystyle{x_i}$ της κλάσης $\displaystyle{[a_i,b_i)}$ ισχύει $\displaystyle{x_i=\frac{a_i+b_i}{2}}$ .

Από τα δεδομένα έχουμε ότι $\displaystyle{v_1=6,~N_2=18\Leftrightarrow v_2=18-6=12}$

$\displaystyle{v_5=6,~v_4+v_5=18\Leftrightarrow v_4=12}$ και άρα $\displaystyle{v_3=60-(6+12+12+6)=24}$ .

Ισχύουν, επίσης $\displaystyle{f_i\%=100 f_i=100\cdot \frac{v_i}{v},~i=1,...,5}$

$\displaystyle{N_1=v_1,~N_{i}=N_{i-1}+v_i,~i=2,...,5}$ και $\displaystyle{F_1\%=f_1\%,~F_{i}\%=F_{i-1}\%+f_i\%,~i=2,...,5}$

$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \greektext klaseis & \greektext kentrikes times\;\;χ_{i} &\greektext Suqnothta \nu_{i} &{\greektext Sqetikh Suqnothta} f_{i} &\greektext Ajroist. Suqn. \nu_{i} &{\greektext Sqet. Ajroist. Suqn.} f_{i} \\ \hline [10 ,12)&11&6&10&6&10\\ \hline [12,14)&13&12&20&18&30\\ \hline [14,16)&15&24&40&42&70\\ \hline [16,18)&17&12&20&54&90\\ \hline [18,20)&19&6&10&60&100\\ \hline \greektext Sunolo&&60&100&&\\ \hline \end{tabular}$

Β.2 Για τη μέση τιμή έχουμε $\displaystyle{\bar x=\frac{11\cdot 6+13\cdot 12+15\cdot 24+17\cdot 12+19\cdot 6}{60}=\frac{\color{red}900}{\color{black}60}=\color{red}15}$ .

H διάμεσος έχει την ιδιότητα : το $\displaystyle{50\%}$ του δείγματος έχει τιμή μεγαλύτερη ή ίση από αυτήν.

Αφού $\displaystyle{50=f_1\%+f_2\%+\frac{1}{2}f_3\%}$ έχουμε ότι η διάμεσος θα είναι το μέσο της $\displaystyle{[14,16)}$ άρα $\displaystyle{\delta=15}$

Β.3 To $\displaystyle{5\%}$ είναι το μισό του $\displaystyle{f_5\%}$ , που αντιστοιχεί στο μέσο της $\displaystyle{[18,20)}$ άρα

ο βαθμός είναι τουλάχιστον $\displaystyle{19}$

Edit (22:50) Τα κόκκινα...
Εdit (23:20) Αντικατέστησα τον πίνακα (σε εικόνα) με τον πίνακα σε latex. Ευχαριστώ τον Γιώργη Καλαθάκη...

Christos75 · #7

Θέμα Γ

Είναι κατά τα γνωστά:

Γ1.
$P(\Omega )=P(-1)+P(0)+P(1)+P(2)\Leftrightarrow \frac{\alpha }{2}+\alpha +\frac{\alpha }{2}+\frac{\alpha }{5}=1\Leftrightarrow 2\alpha +\frac{\alpha }{5}=1\Leftrightarrow 10\alpha +\alpha =5\Leftrightarrow \alpha =\frac{5}{11}$

Τα απλά ενδεχόμενα είναι: $P(-1)=\frac{5}{22}, P(0)=\frac{5}{11}, P(1)=\frac{5}{22},P(2)=\frac{1}{11}$

Γ2.
Ζητάμε το ενδεχόμενο $\Gamma =B-A\Rightarrow P(\Gamma )=P(B-A)$ Αλλά $\Gamma =\left \{ -1,1\left. \right \} \right.$

Συνεπώς $P(\Gamma )=P(-1)+P(1)=\frac{5}{11}$ Εν συνεχεία για το ίδιο ερώτημα μας έχει απομείνει το ενδεχόμενο

$\Delta =A'\cup B'=(A\cap B)'\Rightarrow P(\Delta )=P((A\cap B)')=1-P(A\cap B)$ Αλλά $A\cap B=\left \{ 2 \left. \right \}\right.$ που προκύπτει από τα δεδομένα.

Κατά συνέπεια, $P(A\cap B)=P(2)=\frac{1}{11}$ οπότε $P(\Delta )=1-\frac{1}{11}\Leftrightarrow P(\Delta )=\frac{10}{11}$

Γ3.

Η συνάρτηση

συνεχής και παραγωγίσιμη ως πολυωνυμική με $f'(x)=x^{2}+\kappa x+\frac{9}{4}$ Θέλουμε βάσει του δοθέντος ενδεχομένου η συνάρτηση να είναι
γνησίως αύξουσα, δηλαδή αρκεί: f'(x)>0

Βρίσκουμε την διακρίνουσα του παραπάνω τριωνύμου και έχουμε $\Delta =\beta ^{2}-4\alpha \gamma =\kappa ^{2}-9$ και εφόσον ο συντελεστής του τετραγώνου του

πολυωνύμου είναι θετικός, αρκεί $\Delta <0\Leftrightarrow \kappa ^{2}-9<0\Leftrightarrow \left | \kappa \right |<3, \kappa \in \Omega$ οπότε ισχύει.

Άρα για $\kappa \in \Omega \Leftrightarrow \Delta <0\Leftrightarrow f'(x)>0$ δηλαδή το E είναι βέβαιο ενδεχόμενο!

Christos75 · #8

Θέμα Δ

Δ1.
i) Το ζητούμενο εμβαδόν είναι :
$E=(A\Gamma \Delta Z)+(\Gamma B\Theta H)=x^{2}+(100-x)^{2}=x^{2}+x^{2}-200x+10000\Leftrightarrow E(x)=2x^{2}-200x+10000, x\in (0,100)$

ii) Είναι E'(x)=4x-200

και εξετάζουμε το πρόσημο της

κατά τα γνωστά, δηλαδή

$E'(x)=0\Leftrightarrow 4x-200=0\Leftrightarrow x=50$ και επίσης

$E'(x)>0\Leftrightarrow 4x-200>0\Leftrightarrow x>50$

$E'(x)<0\Leftrightarrow 4x-200<0\Leftrightarrow x<50$

που σημαίνει ότι η E είναι γνησίως φθίνουσα στο [0,50]

και γνησίως αύξουσα στο [50,100]

συνεπώς στο x=50

έχουμε την ελάχιστη τιμή για το
εμβαδόν.

Δ2.

Είναι $\sum_{1}^{\nu }x_{i}=50$ και επίσης $\bar{x}=\sum_{i=1}^{\nu }x_{i}/\nu=2\Leftrightarrow \sum_{i=1}^{\nu }x_{i}=2\nu$

Συνεπώς $2\nu =50\Leftrightarrow \nu =25$

Δ3.

Από τον τύπο που μας δίνει προκύπτει ότι

$s^{2}=\sum_{i=1}^{25}x_{i}^{2} /25-\bar{x}^2\Leftrightarrow \sum_{i=1}^{25}x_{i}^{2} /25=s^{2}+\bar{x}^2\Leftrightarrow$

$\sum_{i=1}^{25}x_{i}^{2} /25=\frac{4} {100}+4=4,04$

Τα ζητούμενα εμβαδά προκύπτουν από $E(x_{i})=x_{i}^{2}, i=1,2,3,...25$ και η ζητούμενη μέση τιμή δίνεται από τον τύπο:

$\sum_{i=1}^{25}x_{i}^{2} / 25=4,04 m^{2}$

Δ4.

Για τις ευρεθείσες τιμές του

από τα προηγούμενα ερωτήματα οι μόνες που είναι πολλαπλάσια του

ή του

είναι οι

δηλαδή το ενδεχόμενο είναι

$\Lambda =\left \{ l_{3},l_{4},l_{6},l_{8},l_{9},l_{12},l_{15},l_{16},l_{18},l_{20},l_{21},l_{24}\left. \right \}$

και εφόσον η εκλογή γίνεται τυχαία, τότε η ζητούμενη πιθανότητα είναι: $P(\Lambda )=\frac{N(\Lambda )}{N(\Omega )} =\frac{12}{25}$ που είναι και η ζητούμενη

πιθανότητα!

anastasispk · #9

Christos75 έγραψε:Θέμα Γ

Είναι κατά τα γνωστά:

Γ1.
$P(\Omega )=P(-1)+P(0)+P(1)+P(2)\Leftrightarrow \frac{\alpha }{2}+\alpha +\frac{\alpha }{2}+\frac{\alpha }{5}=1\Leftrightarrow 2\alpha +\frac{\alpha }{5}=1\Leftrightarrow 10\alpha +\alpha =5\Leftrightarrow \alpha =\frac{5}{11}$

Τα απλά ενδεχόμενα είναι: $P(-1)=\frac{5}{22}, P(0)=\frac{5}{11}, P(1)=\frac{5}{22},P(2)=\frac{1}{11}$

Γ2.
Ζητάμε το ενδεχόμενο $\Gamma =B-A\Rightarrow P(\Gamma )=P(B-A)$ Αλλά $\Gamma =\left \{ -1,1\left. \right \} \right.$

Συνεπώς $P(\Gamma )=P(-1)+P(1)=\frac{5}{11}$ Εν συνεχεία για το ίδιο ερώτημα μας έχει απομείνει το ενδεχόμενο

$\Delta =A'\cup B'=(A\cap B)'\Rightarrow P(\Delta )=P((A\cap B)')=1-P(A\cap B)$ Αλλά $A\cap B=\left \{ 2 \left. \right \}\right.$ που προκύπτει από τα δεδομένα.

Κατά συνέπεια, $P(A\cap B)=P(2)=\frac{1}{11}$ οπότε $P(\Delta )=1-\frac{1}{11}\Leftrightarrow P(\Delta )=\frac{10}{11}$

Γ3.

Η συνάρτηση συνεχής και παραγωγίσιμη ως πολυωνυμική με $f'(x)=x^{2}+\kappa x+\frac{9}{4}$ Θέλουμε βάσει του δοθέντος ενδεχομένου η συνάρτηση να είναι
γνησίως αύξουσα, δηλαδή αρκεί:

Βρίσκουμε την διακρίνουσα του παραπάνω τριωνύμου και έχουμε $\Delta =\beta ^{2}-4\alpha \gamma =\kappa ^{2}-9$ και εφόσον ο συντελεστής του τετραγώνου του

πολυωνύμου είναι θετικός, αρκεί $\Delta <0\Leftrightarrow \kappa ^{2}-9<0\Leftrightarrow \left | \kappa \right |<3, \kappa \in \Omega$ οπότε ισχύει.

Άρα για $\kappa \in \Omega \Leftrightarrow \Delta <0\Leftrightarrow f'(x)>0$ δηλαδή το E είναι βέβαιο ενδεχόμενο!

Καλησπέρα!
Όχι ότι αλλάζει κάτι στη λύση της άσκησης, αλλά μήπως πιο σωστό θα ήταν στο Γ3 να γράφαμε: $f'(x) {\color{Red} \geq } 0 \Leftrightarrow x^{2}+\kappa x+\frac{9}{4}\geq 0$ άρα αρκεί: $\Delta \leq 0\Leftrightarrow \kappa ^2-9\leq 0\Leftrightarrow \left | \kappa \right |\leq 3$

Φιλικά,
Αναστάσης

Christos75 · #10

Αγαπητέ Αναστάση δεν διαφωνώ αν και εφόσον το κ ανήκει στον δοσμένο δειγματικό χώρο δεν θα πάρει τις ακραίες τιμές, δηλαδή 3 και -3.Εξάλλου, όπως σωστά αναφέρεις, δεν αλλάζει κάτι στην ουσία της άσκησης που έχει να κάνει με το αποτέλεσμα. Αυτός είναι και ο λόγος που δεν του δόθηκε ιδιαίτερη σημασία. Για το καθαρά τυπικό της υπόθεσης, είναι ορθή η παρατήρησή σου!

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας επαναληπτικές 2014

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας επαναληπτικές 2014

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας επαναληπτικές 2014

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας επαναληπτικές 2014

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας επαναληπτικές 2014

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας επαναληπτικές 2014

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας επαναληπτικές 2014

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας επαναληπτικές 2014

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας επαναληπτικές 2014

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας επαναληπτικές 2014

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας επαναληπτικές 2014

Μέλη σε σύνδεση