Τοπικά σταθερή συνάρτηση

AlexandrosG · #1

Καλημέρα.

Έστω $f:X \to Y$ συνεχής συνάρτηση μεταξύ τοπολογικών χώρων. Υποθέτουμε ότι ο

είναι συνεκτικός και ότι η

είναι τοπικά σταθερή. Να αποδείξετε ότι η

είναι σταθερή.

Σίλης · #2

Απ' ότι καταλαβαίνω, η

είναι τοπικά σταθερή, παναπεί για κάθε $x \in X$ υπάρχει γειτονιά $U_x \subseteq X$ και στοιχείο $y_x \in Y$ , έτσι ωστε $x \in U_x$ και f(x') = y_x

για κάθε $x' \in U_x$ . Και ο χώρος

είναι συνεκτικός, παναπεί για κάθε δύο μή κενά ανοιχτά σύνολα $A, B \subseteq X$ , εάν $A \cup B = X$ , τότε αναγκαστικά υπάρχει κάποιο $x \in X$ τέτοιο ωστε $x \in A \cap B$ .

Ας είναι $x_0 \in X$ οποιοδήποτε στοιχείο (άν ο

είναι κενός, τότε δέν έχουμε να πούμε και πολλά). Απο την τοπική σταθερότητα παίρνουμε γειτονιά $U_0 \subseteq X$ και στοιχείο $y_0 \in Y$ , με

$x_0 \in U_0$ και f(x) = y_0

για κάθε $x \in U_0$ .

Κάνουμε κάτι παραπάνω απ' το να πάρουμε το U_0

, συγκεκριμένα, θεωρούμε το σύνολο $U := \{x \in X \mid f(x) = y_0\}$ · προφανώς $U_0 \subseteq U$ .

Το σύνολο

είναι ανοιχτό, αφού μπορεί να ιδωθεί ώς η ένωση όλων των $U_{x}$ που δίνονται απ' την τοπική σταθερότητα, οπου $x \in U$ . Απ' την άλλη, το σύνολο

είναι επίσης κλειστό: άς είναι $x_b \in X$ ένα οριακό σημείο του

· ξανά απ' την τοπική σταθερότητα, παίρνουμε $U_b \subseteq X$ και $y_b \in Y$ , τέτοια ωστε

f(x) = y_b

για κάθε $x \in U_b$ ·

απ' την οριακότητα όμως θα υπάρχει $x' \in U \cap U_b$ · επειδή η f είναι συνάρτηση (δηλαδή καλά ορισμένη), έχουμε αναγκαστικά οτι

$f(x_b) = f(x') \Rightarrow y_b = y_0$ ,

που παναπεί οτι $x_b \in U$ επίσης, απ' τον ορισμό του

.

Καθώς λοιπόν το

είναι (καί) κλειστό, το συμπλήρωμά του U^c

θα είναι ανοιχτό, και βρήκαμε άρα δύο ανοιχτά που καλύπτουν τον χώρο: $U \cup U^c = X$ . Το συμπλήρωμα όμως οφείλει να είναι το κενοσύνολο, γιατι αλλιώς, λόγω συνεκτικότητας, θα είχαμε κάποιο $x \in X$ με $x \in U \cap U^c = \emptyset$ , πού 'ναι αντίφαση. Συνεπώς, U = X

, που σημαίνει, απ' τον ορισμό του

, οτι

για κάθε $x \in X$ , πού 'ν' αυτό που θέλαμε.

Ερώτημα 1: Μας χρειάζεται όντως η συνέχεια της

;...

Ερώτημα 2: Ας είναι $f : X \to Y$ μία συνεχής συνάρτηση τοπολογικών χώρων, και P(f,x)

μία ιδιότητα της

στο στοιχείο $x \in X$ . Άς λέμε την ιδιότητα τοπική όποτε για κάθε $x \in X$ υπάρχει ανοιχτό $U \subseteq X$ με $x \in U$ οπου η P(f,x)

ισχύει και άς τη λέμε ολική άν ισχύει για κάθε $x \in X$ . Ποιές είναι κατάλληλες συνθήκες τις οποίες μπορούμε να απαιτήσουμε απο τους τοπολογικούς χώρους

και

, ωστε να μπορούμε να δείχνουμε οτι «άν η

είναι τοπικά

τότε είναι και ολικά

»; Μ' άλλα λόγια, πότε επεκτείνεται μία τοπική τοπολογική ιδιότητα σε ολική;

Το δεύτερο γενικό ερώτημα είναι που μ' έκανε να γράψω την απάντηση. Με τριβελίζει απο χρόνια αλλα ποτέ δεν τό 'βαλα κάτω να το ξεδιαλύνω. Στην συγκεκριμένη περίπτωση, η συνεκτικότητα του

αρκεί ωστε η τοπική σταθερότητα για μία συνάρτηση να είναι και ολική. Αλλα η συνεκτικότητα δέν μας κάνει πάντα τη δουλειά! Πιχί, μία αφελής ιδιότητα για $X = Y = \mathbb{R}$ , θα ήταν να πούμε

P(f, x)

άν και μόνο άν $\exists_{y \in \mathbb{R}} f(x) < y$ .

Φανερά, κάθε συνεχής συνάρτηση είναι τοπικά

, αλλα όχι και ολικά. (χάνω κάτι; τέτοιες ώρες τέτοια λόγια γιατί...)

Τελοσπάντων, το ερώτημα είναι ομολογουμένως ασαφές, αλλα άμα κάποιος έχει ιδέες, πλίζ, θα είμαι υπόχρεος.

AlexandrosG · #3

Πολύ ωραία λύση.

Έχεις δίκιο ότι δεν χρειάζεται η συνέχεια. Ο

δεν χρειάζεται ούτε καν να έχει τοπολογία, αφού δεν το χρησιμοποίησες κάπου. Έτσι όπως έδωσα το πρόβλημα το ότι το σύνολο

που χρησιμοποίησες είναι κλειστό είναι λίγο πιο εύκολο διότι $\displaystyle{U=f^{-1}(\{y_0\})}$ . (Βέβαια πρέπει και τα μονοσύνολα να είναι κλειστά αλλά αυτό είναι ασθενής συνθήκη). Πάντως με τη λύση σου το αποτέλεσμα ισχύει για κάθε σύνολο

οπότε μια χαρά.

Δεν ξέρω την απάντηση στο δεύτερο ερώτημα, το οποίο είναι όντως πολύ γενικό. Θα έλεγα ότι διαφορετική ιδιότητα χρειάζεται και διαφορετική συνθήκη. Αλλά δεν γνωρίζω.

Σίλης · #4

AlexandrosG έγραψε:Έτσι όπως έδωσα το πρόβλημα το ότι το σύνολο που χρησιμοποίησες είναι κλειστό είναι λίγο πιο εύκολο διότι $\displaystyle{U=f^{-1}(\{y_0\})}$ .

Ώπ, δίκιο εχεις!

Τοπικά σταθερή συνάρτηση

Τοπικά σταθερή συνάρτηση

Re: Τοπικά σταθερή συνάρτηση

Re: Τοπικά σταθερή συνάρτηση

Re: Τοπικά σταθερή συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση