Πρόβλημα στην Θεωρία Πιθανοτήτων

Πρώτη μη αναγνωσμένη δημοσίευση • 1 δημοσίευση • Σελίδα 1 από 1

π>e: Δημοσιεύσεις: 15; Εγγραφή: Δευ Απρ 19, 2010 11:58 pm

Πρόβλημα στην Θεωρία Πιθανοτήτων

Παράθεση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από π>e » Σάβ Αύγ 11, 2012 6:56 pm

Καλημέρα σε όλους.Θα ήθελα την βοήθεια σας στην ακόλουθη άσκηση.Στο θεώρημα Καραθεοδωρή αρχίζουμε με ένα ζεύγος $(F_{0},P_{0})$ όπου η $F_{0}$ είναι ένας ημιδακτύλιος υποσυνόλων του $\Omega$ και $Po:Fo\rightarrow R$ συνολοσυνάρτηση ώστε να ικανοποιούνται οι ακόλουθες ιδιότητες:

$1) 0\leq Po(A)\leq 1 ,\forall A\in Fo$
$2) \exists{\{E_{n}:n\in N\}}\subseteq Fo$ τέτοια ώστε $E_{n}\subseteq E_{n+1}\forall n\in N$ , $\Omega=\bigcup_{n=1}^{ \infty}{E_{n}}$ και $\lim_{n\rightarrow \infty}Po(E_{n})=1$
$3) \forall \{A_{n}:n\in N\}\subseteq Fo$ ώστε τα $A_{n}$ είναι ανά δύο ξένα και $\bigcup_{n=1}^{\infty}{A_{n}}\in Fo$ είναι $Po(\bigcup_{n=1}^{\infty}{A_{n}})=\sum_{n=1}^{\infty}{Po(A_{n}})$

Στην συνέχεια ορίζουμε $\forall A \subseteq \Omega$ , $P^*(A)=\inf\{{\sum_{n=1}^{\infty}{P_{0}(A_{n})}}:\{A_{n}:n\in N\}\subseteq F_{0},A\subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty}{A_{n}}\}$ .

Η $P^*:P(\Omega)\rightarrow [0,+\infty)$ έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:

$\iota)P(\emptyset)=0$
$\iota\iota) A\subseteq B,τότε P^*(A) \leqslant P^*(B)$
$\iota\iota\iota) \{ A_{n}:n \in N\}\subseteq P(\Omega)$ τότε $P^*(\bigcup_{n=1}^{\infty} {A_{n}})\leqslant \sum_{n=1}^{\infty} P^*({A_{n}})$
$\iota v)P^*(\Omega)=1$
$v)P^*(A)=P_{0}(A),\forall A \in F_{0}$

Με βάση το εξωτερικό μέτρο P^*

ορίζουμε την κλάση υποσυνόλων του $\Omega$ : $M=\{A\subseteq \Omega : P^*(E)=P^*(A\bigcap E)+P^*(A^c\bigcap E),\forall E\subseteq \Omega\}$
Αποδεικνύεται ότι η

είναι σ-άλγεβρα υποσυνόλων του $\Omega$ και ισχύει ότι η P^*

είναι μέτρο πιθανότητας στην

.

Άσκηση
Δείξτε ότι είναι $M=M{'}=\{A\subseteq \Omega : P^*(A)+P^*(A^c)=1\}$

To ότι $M\subseteq M{'}$ είναι εύκολο.Στο αντίστροφο μπορεί κάποιος να βοηθήσει;
Η εκφώνηση είναι μεγάλη αλλά είπα να μην παραλείψω τίποτα για να εξασκηθώ στο latex......
Ευχαριστώ

Απάντηση

1 δημοσίευση • Σελίδα 1 από 1

Επιστροφή σε “ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες