mathscope 220.4

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Σας προτείνω το θέμα 220.4 από τη βιετναμική συλλογή mathscope .

Οι εσωτερικές διχοτόμοι τριγώνου ABC

τέμνουν τις απέναντι πλευρές στα σημεία D,E,F.

Αποδείξτε ότι ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι το τρίγωνο ABC

ισόπλευρο είναι $\displaystyle \left ( D E F \right )=\frac{1}{4}\left ( ABC \right ).$

#2

Καλησπέρα Τηλέμαχε και καλή σχολική χρονιά!

Από το Θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου είναι:

$\displaystyle{\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{c}{b},}$ $\displaystyle{\frac{{CE}}{{EA}} = \frac{a}{c}}$ και $\displaystyle{\frac{{AF}}{{FB}} = \frac{b}{a}.}$

Άρα, είναι:

$\displaystyle{\frac{{\left( {D E F} \right)}}{{\left( {ABC} \right)}} = 1 - \frac{{\left( {AFE} \right)}}{{\left( {ABC} \right)}} - \frac{{\left( {BDF} \right)}}{{\left( {ABC} \right)}} - \frac{{\left( {CED} \right)}}{{\left( {ABC} \right)}} = }$

$\displaystyle{ = 1 - \frac{{AF \cdot AE}}{{AB \cdot AC}} - \frac{{BD \cdot BF}}{{BC \cdot BA}} - \frac{{CE \cdot CD}}{{CA \cdot CB}} = }$

$\displaystyle{ = 1 - \frac{b}{{a + b}}\frac{c}{{c + a}} - \frac{c}{{b + c}}\frac{a}{{a + b}} - \frac{a}{{c + a}}\frac{b}{{b + c}} = }$

$\displaystyle{ = \frac{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) - bc\left( {b + c} \right) - ca\left( {c + a} \right) - ab\left( {a + b} \right)}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} = }$

$\displaystyle{ = \frac{{2abc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}.}$

Αλλά, από την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου, ισχύει

$\displaystyle{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) \ge 2\sqrt {ab} \cdot 2\sqrt {cb} \cdot 2\sqrt {ca} = 8abc,}$

με το ίσον αν και μόνο αν $\displaystyle{a = b = c.}$

Επομένως, είναι:

$\displaystyle{\frac{{\left( {D E F} \right)}}{{\left( {ABC} \right)}} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \frac{{2abc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) = 8abc \Leftrightarrow a = b = c}$

και το ζητούμενο δείχθηκε.

Ας σημειωθεί ότι για οποιεσδήποτε σεβιανές $\displaystyle{AD,BE,CF}$ του τριγώνου $\displaystyle{ABC}$ ισχύει

$\displaystyle{\frac{{\left( {D E F} \right)}}{{\left( {ABC} \right)}} \le \frac{1}{4},}$

με το ίσον αν και μόνο αν τα σημεία $\displaystyle{D,E,F}$ είναι τα μέσα των πλευρών $\displaystyle{BC,CA,AB}$ αντίστοιχα του τριγώνου $\displaystyle{ABC.}$ (Η απόδειξη είναι όμοια με την παραπάνω και σίγουρα έχει ξανασυζητηθεί στο

).

mathscope 220.4

mathscope 220.4

Re: mathscope 220.4

Μέλη σε σύνδεση