Παραλληλία σε ισοσκελές τραπέζιο
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan, rek2
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Παραλληλία σε ισοσκελές τραπέζιο
Σε ισοσκελές τραπέζιο ας είναι τα σημεία τομής κύκλου εφαπτόμενου των με την και ας είναι πλησιέστερα του .
Να δειχθεί ότι , όπου τα σημεία τομής του έγκυκλου του με τις αντίστοιχα, με πλησιέστερα του και πλησιέστερα του .
Στάθης
Να δειχθεί ότι , όπου τα σημεία τομής του έγκυκλου του με τις αντίστοιχα, με πλησιέστερα του και πλησιέστερα του .
Στάθης
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1786
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Παραλληλία σε ισοσκελές τραπέζιο
Καλησπέρα,ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Σε ισοσκελές τραπέζιο ας είναι τα σημεία τομής κύκλου εφαπτόμενου των με την και ας είναι πλησιέστερα του .
Να δειχθεί ότι , όπου τα σημεία τομής του έγκυκλου του με τις αντίστοιχα, με πλησιέστερα του και πλησιέστερα του .
Στάθης
Μια προσπάθεια με κάθε επιφύλαξη.
Θα θεωρήσουμε ως γνωστό λήμμα, την κατασκευή κύλου που εφάπτεται σε σταθερή ευθεία και διέρχεται από δυο σταθερά σημεία εκτός αυτής (Απολλώνιο πρόβλημα).
Έστω ο κύκλος που εφάπτεται της και διέρχεται από τα σημεία και ο κύκλος που εφάπτεται της και διέρχεται από τα σημεία .
Το σημείο επαφής, έστω , του κύκλου με την σύμφωνα με την παραπάνω κατασκευή, προσδιορίζεται ως εξής:
Βρίσκουμε το σημείο τομής της ευθείας που ορίζουν τα δυο σταθερά σημεία με την σταθερή ευθεία. Στην περίπτωσή μας αυτό το σημείο τομής είναι το . Κατασκευάζουμε ημικύκλιο διαμέτρου και φέρουμε την κάθετο προς την διάμετρο στο σημείο . Έστω το σημείο τομής αυτής με την διάμετρο. Τότε το σημείο επαφής βρίσκεται σε απόσταση από το ίση με .
Ομοίως και για τον κύκλο . Αν το σημείο επαφής του με την τότε . Όπου το σημείο τομής του ημικυκλίου διαμέτρου με την κάθετο από το σημείο .
Λόγο των παραπάνω κατασκευών ισχύει οπότε έχουμε
(1)
όπου το σημείο επαφής με την του εφαπτόμενου κύκλου στις ευθείες και έστω το σημείο επαφής αυτού με την .
Ομοίως βρίσκουμε ότι
(2)
Από την (1) έχουμε (3) και από την (2) έχουμε
(4)
αφαιρώντας την (3) από την (4) βρίσκουμε
,
,
αφού( τα τα σημεία επαφής του εφαπτόμενου κύκλου στις ευθείες ). Άρα .
Θα δέιξουμε τώρα ότι οι κύκλοι ταυτίζονται αν ισχύει . Έστω ότι δεν ταυτίζονται. Τα κέντρα τους θα βρίσκονται επί της μεσοκαθέτου της , που είναι κοινή χορδή αυτών. Τότε από την δύναμη σημείου , του , προς αυτούς τους κύκλους έχουμε
(5)
(6)
από τις (5) και (6) προκύπτει
από το δεύτερο θεώρημα διαμέσων στα τρίγωνα και έχουμε
, όπου το μέσο του τμήματος και οι προβολές στη μεσοκάθετο του των . Δηλαδή τα σημεία βρίσκονται στην ίδια κάθετη προς την μεσοκάθετο του , πράγμα άτοπο. Άρα τα ταυτίζονται και το ίδιο και οι κύκλοι .
Δηλαδή ο "κοινός" κύκλος εφάπτεται εσωτερικά της γωνίας όπως και ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου . Οπότε οι δυο αυτοί κύκλοι είναι ομοιόθετοι με κέντρο ομοιοθεσίας το . Λόγο της ομοιθεσίας η χορδή θα είναι παράλληλη με την ομόλογη της . Τα όμως βρίσκονται επί της οπότε .
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Παραλληλία σε ισοσκελές τραπέζιο
Έστω , οι κύκλοι με χορδές τα τμήματα αντιστοίχως, όπως ορίζονται στην εκφώνηση και ας είναι , ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου , συμμετρικός ( προφανές ) του ως προς την ευθεία , όπου είναι τα μέσα των βάσεων αντιστοίχως, του δοσμένου ισοσκελούς τραπεζίου .
Ισχύει , όπου , με το κέντρο του κύκλου και τον περίκυκλο του και ας είναι , το συμετρικό σημείο του ως προς το .
Ο κύκλος έστω , με κέντρο το σημείο που εφάπτεται των ευθειών , τέμνει την στα σημεία έστω και ας είναι το πλησιέστερα στο .
Έστω , τα σημεία τομής των κύκλων και ας είναι , τα σημεία τομής των ευθειών αντιστοίχως, από την ευθεία , τα οποία ταυτίζονται με τις προβολές του επί των , αντιστοίχως ( γνωστό αποτέλεσμα που αποδεικνύεται εύκολα ).
Από και έχουμε ότι τα ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα και άρα, ισχύει
Από τα εγγράψιμα τετράπλευρα έχουμε και
Από και άρα, το σημείο ανήκει στην ευθεία . Από , σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα , έχουμε και .
Τα σημεία δηλαδή, είναι συμμετρικά των αντιστοίχως, ως προς το μέσον του τμήματος .
Οι κύκλοι είναι ομοιόθετοι ως προς το σημείο και άρα, ισχύει όπου και .
Οι ευθείες τώρα, είναι συμμετρικές των αντιστοίχως, ως προς την ευθεία , όπως και οι κύκλοι και επομένως τα τμήματα έχουν τα άκρα τους συμμετρικά ως προς την ευθεία και ανήκουν στην ίδια ευθεία λόγω .
Συμπεραίνεται έτσι, ότι και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
ΛΗΜΜΑ. - Δίνονται δύο κύκλοι οι οποίοι τέμνονται στα σημεί έστω και έστω τυχόν σημείο . Η διά του σημείου κάθετη ευθεία επί την , όπου είναι το μέσον της διακέντρου των δοσμένων κύκλων , τους τέμνει στα ζεύγη των σημείων και αντιστοίχως και ας είναι τα εσωτερικά σημεία των , αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι και .
θερμές ευχές για ειρηνιικό και δημιουργικό το 2016, να έχετε υγεία και κάθε χαρά με τους ανθρώπους που αγαπάτε.
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Θα βάλω αργότερα την απόδειξη που έχω υπόψη μου, για το παραπάνω Λήμμα .
Ισχύει , όπου , με το κέντρο του κύκλου και τον περίκυκλο του και ας είναι , το συμετρικό σημείο του ως προς το .
Ο κύκλος έστω , με κέντρο το σημείο που εφάπτεται των ευθειών , τέμνει την στα σημεία έστω και ας είναι το πλησιέστερα στο .
Έστω , τα σημεία τομής των κύκλων και ας είναι , τα σημεία τομής των ευθειών αντιστοίχως, από την ευθεία , τα οποία ταυτίζονται με τις προβολές του επί των , αντιστοίχως ( γνωστό αποτέλεσμα που αποδεικνύεται εύκολα ).
Από και έχουμε ότι τα ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα και άρα, ισχύει
Από τα εγγράψιμα τετράπλευρα έχουμε και
Από και άρα, το σημείο ανήκει στην ευθεία . Από , σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα , έχουμε και .
Τα σημεία δηλαδή, είναι συμμετρικά των αντιστοίχως, ως προς το μέσον του τμήματος .
Οι κύκλοι είναι ομοιόθετοι ως προς το σημείο και άρα, ισχύει όπου και .
Οι ευθείες τώρα, είναι συμμετρικές των αντιστοίχως, ως προς την ευθεία , όπως και οι κύκλοι και επομένως τα τμήματα έχουν τα άκρα τους συμμετρικά ως προς την ευθεία και ανήκουν στην ίδια ευθεία λόγω .
Συμπεραίνεται έτσι, ότι και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
ΛΗΜΜΑ. - Δίνονται δύο κύκλοι οι οποίοι τέμνονται στα σημεί έστω και έστω τυχόν σημείο . Η διά του σημείου κάθετη ευθεία επί την , όπου είναι το μέσον της διακέντρου των δοσμένων κύκλων , τους τέμνει στα ζεύγη των σημείων και αντιστοίχως και ας είναι τα εσωτερικά σημεία των , αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι και .
θερμές ευχές για ειρηνιικό και δημιουργικό το 2016, να έχετε υγεία και κάθε χαρά με τους ανθρώπους που αγαπάτε.
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Θα βάλω αργότερα την απόδειξη που έχω υπόψη μου, για το παραπάνω Λήμμα .
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Παραλληλία σε ισοσκελές τραπέζιο
'Εστω , οι προβολές των κέντρων των δοσμένων κύκλων αντιστοίχως και από έχουμε λόγω . Απόvittasko έγραψε:ΛΗΜΜΑ. - Δίνονται δύο κύκλοι οι οποίοι τέμνονται στα σημεί έστω και έστω τυχόν σημείο . Η διά του σημείου κάθετη ευθεία επί την , όπου είναι το μέσον της διακέντρου των δοσμένων κύκλων , τους τέμνει στα ζεύγη των σημείων και αντιστοίχως και ας είναι τα εσωτερικά σημεία των , αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι και .
Από
Από
Από
Από και
Από και και και το Λήμμα έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
Re: Παραλληλία σε ισοσκελές τραπέζιο
Η άσκηση βρίσκεται και στο βιβλίο Μαθηματικοί Διαγωνισμοί ΙΙ όπου μπορείτε να βρείτε μία διαφορετική λύση (Είναι η άσκηση 3.60)
Βάζω και μία παρεμφερή άσκηση viewtopic.php?f=112&t=52435
Βάζω και μία παρεμφερή άσκηση viewtopic.php?f=112&t=52435
Σιλουανός Μπραζιτίκος
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1786
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Παραλληλία σε ισοσκελές τραπέζιο
Μιας και έπεσα πάνω της κοιτώντας παλιότερες ολυμπιάδες της Α.Πετρούπολης. Να αναφέρω ότι η άσκηση είχε χρησιμοποιηθεί και στο διαγωνσιμό επιλογής της ομάδας της Πετρούπολης, για την πανρωσική ολυμπιάδα το 2000 για την 10η τάξη.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες