Πολικές συντρέχουσες στο σημείο Brianchon

#1

Με αφορμή το όμορφο Θέμα που έχει θέσει ο Χρήστος εδώ: viewtopic.php?f=62&t=30610

: Πολικές συντρέχουσες στο σημείο Brianchon.png (43.77 KiB) Προβλήθηκε 497 φορές

Έστω κύκλος $\displaystyle{ \left( O \right) }$ και ευθεία $\displaystyle{ \left( \varepsilon \right) }$ του επιπέδου του εκτός αυτού. Έστω $\displaystyle{ A,B,C }$ τρία διακεκριμένα τυχαία σημεία της $\displaystyle{ \left( \varepsilon \right) }$ και $\displaystyle{ AA_1 - AA_2 ,BB_1 - BB_2 ,CC_1 - CC_2 }$

τα εφαπτόμενα τμήματα στον $\displaystyle{ \left( O \right) }$ από τα $\displaystyle{ A,B,C }$ αντίστοιχα.

Αν $\displaystyle{ A' \equiv BB_1 \cap CC_1 ,A'' \equiv BB_2 \cap CC_2 ,B' \equiv AA_1 \cap CC_2 ,B_2 \equiv AA_2 \cap CC_1 ,C' \equiv AA_1 \cap BB_1 ,C'' \equiv AA_2 \cap BB_2 }$ να δείξετε ότι οι πολικές $\displaystyle{ A_1 A_2 ,B_1 B_2 ,C_1 C_2 }$

των $\displaystyle{ A,B,C }$ ως προς τον $\displaystyle{ \left( O \right) }$ αντίστοιχα διέρχονται από το σημείο $\displaystyle{ S \equiv A'A'' \cap B'B'' \cap C'C'' }$ (σημείο Brianchon του περιγεγραμμένου στον $\displaystyle{ \left( O \right) }$ εξαγώνου $\displaystyle{ A'C'B'A''C''B'' }$

Στάθης

hsiodos · #2

Θα δώσω μια απάντηση παίρνοντας βοήθεια από τις ...μεγάλες δυνάμεις του ιστότοπου.

Έστω $\displaystyle{S\,}$ το σημείο τομής των $\displaystyle{B_1 B_2 ,C_1 C_2 }$ (πολικών των $\displaystyle{B,C}$ αντίστοιχα ως προς τον κύκλο $\displaystyle{\,(O)\,}$ ). Επομένως η πολική του $\displaystyle{S}$ ως προς τον $\displaystyle{\,(O)\,}$ είναι η $\displaystyle{\,BC}$ δηλαδή η $\displaystyle{(\varepsilon )}$ .

Επειδή η πολική του $\displaystyle{S}$ ως προς τον $\displaystyle{\,(O)\,}$ διέρχεται από το $\displaystyle{A}$ και η πολική του $\displaystyle{A}$ ως προς τον $\displaystyle{\,(O)\,}$ (δηλαδή η $\displaystyle{A_1 A_2 }$ )θα διέρχεται από το $\displaystyle{S}$ οπότε έχει δειχθεί το πρώτο μέρος.

: ΠΟΛΙΚΕΣ.png (55.24 KiB) Προβλήθηκε 413 φορές

Για το δεύτερο μέρος θα δείξουμε ότι η $\displaystyle{B{'} B{''} }$ διέρχεται από το $\displaystyle{S}$ (όμοια και μία από τις άλλες δύο)

Ονομάζουμε $\displaystyle{H}$ το σημείο τομής των $\displaystyle{B{'} C{'} ,B{''} A{'} }$ και $\displaystyle{K}$ το σημείο τομής των $\displaystyle{B{'} A{''} ,B{''} C{''} }$ .

Το τετράπλευρο $\displaystyle{B{'} HB{''} K}$ είναι περιγράψιμο στον κύκλο $\displaystyle{(O)}$ και τα $\displaystyle{A_1 A_2 ,C_1 C_2 }$ ενώνουν τα σημεία επαφής των απέναντι πλευρών του.

Σύμφωνα με το θεώρημα Newton (οι μεγάλες δυνάμεις που λέγαμε , βλέπε http://mathematica.gr/forum/viewtopic.p ... E%BF#p1889)

οι $\displaystyle{A_1 A_2 ,C_1 C_2 }$ διέρχονται από το σημείο τομής των διαγωνίων του $\displaystyle{B{'} HB{''} K}$ οπότε το $\displaystyle{S}$ είναι σημείο της $\displaystyle{B{'} B{''} }$ .

Γιώργος

Πολικές συντρέχουσες στο σημείο Brianchon

Πολικές συντρέχουσες στο σημείο Brianchon

Re: Πολικές συντρέχουσες στο σημείο Brianchon

Μέλη σε σύνδεση