Ανισότητα με την ακτίνα του ποδικού τριγώνου!

#1

Έστω τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ και $\displaystyle{M}$ σημείο στο εσωτερικό του.
Αποδείξτε, ότι για την ακτίνα $\displaystyle{R}$ του περιγεγραμμένου κύκλου του $\displaystyle{ABC}$ ισχύει

$\displaystyle{R\geq 4r^*,}$

όπου $\displaystyle{r^*}$ είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του ποδικού τριγώνου του σημείου $\displaystyle{M}$ .

Γ. Τσίντσιφας.

#2

Συμβολίζουμε με $\displaystyle{x,y,z}$ τις αποστάσεις του σημείου $\displaystyle{M}$ από τις κορυφές $\displaystyle{A,B,C}$ και με $\displaystyle{p,q,r}$ τις αποστάσεις του $\displaystyle{M}$ από τις πλευρές $\displaystyle{BC,CA,AB}$ αντίστοιχα. Αν $\displaystyle{{A_1}{B_1}{C_1}}$ είναι το ποδικό τρίγωνο του σημείου $\displaystyle{M}$ ως προς το τρίγωνο $\displaystyle{ABC,}$ τότε ισχύουν:

$\bullet$ $\boxed{\displaystyle{{A_1}{B_1} = \frac{{cz}}{{2R}},}}$ $\boxed{\displaystyle{{B_1}{C_1} = \frac{{ax}}{{2R}}}}$ και $\boxed{\displaystyle{{C_1}{A_1} = \frac{{by}}{{2R}}}}.$

$\bullet$ Το εμβαδόν του ποδικού τριγώνου $\displaystyle{{A_1}{B_1}{C_1}}$ δίνεται από τη σχέση $\boxed{\displaystyle{\left( {{A_1}{B_1}{C_1}} \right) = \frac{{\left( {ABC} \right)}}{4}\left( {1 - \frac{{O{M^2}}}{{{R^2}}}} \right)}}$ ,

όπου

είναι το περίκεντρο του τριγώνου $\displaystyle{ABC.}$ Συνεπώς, έχουμε ότι $\boxed{\displaystyle{\left( {ABC} \right) \ge 4\left( {{A_1}{B_1}{C_1}} \right)}}$ (1).

Η αποδεικτέα ανισότητα γράφεται ισοδύναμα:

$\displaystyle{R \ge 4\frac{{\left( {{A_1}{B_1}{C_1}} \right)}}{{\frac{1}{2}\left( {{A_1}{B_1} + {B_1}{C_1} + {C_1}{A_1}} \right)}} \Leftrightarrow R \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{2R}}\left( {ax + by + cz} \right) \ge 4\left( {{A_1}{B_1}{C_ 1}} \right) \Leftrightarrow ax + by + cz \ge 16\left( {{A_1}{B_1}{C_1}} \right).}$

Λόγω της (1), αρκεί να αποδείξουμε ότι: $\boxed{\displaystyle{ax + by + cz \ge 4\left( {ABC} \right)}}$ (2).

Για να αποδείξουμε την ανισότητα (2), συμβολίζουμε με $\displaystyle{K}$ το σημείο τομής της $\displaystyle{AM}$ με την $\displaystyle{BC}$ και θέτουμε $\displaystyle{\omega = \widehat {AKB}.}$ Έχουμε τότε:

$\displaystyle{\left( {AMB} \right) + \left( {AMC} \right) = \left( {AKB} \right) - \left( {MKB} \right) + \left( {AKC} \right) - \left( {MKC} \right) \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\frac{1}{2}cr + \frac{1}{2}bq = \frac{1}{2}BK \cdot AK \cdot \sin \omega - \frac{1}{2}BK \cdot MK \cdot \sin \omega + \frac{1}{2}KC \cdot AK \cdot \sin \omega - \frac{1}{2}KC \cdot MK \cdot \sin \omega \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{cr + bq = ax\sin \omega .}$

Επομένως, έχουμε ότι

$\displaystyle{\boxed{ax \ge cr + bq}}$ .

Όμοια, βρίσκουμε ότι $\displaystyle{\boxed{by \ge ap + cr}}$ και $\displaystyle{\boxed{cz \ge bq + ap}}$ .

Προσθέτοντας τις σχέσεις αυτές κατά μέλη, βρίσκουμε ότι

$\displaystyle{ax + by + cz \ge 2\left( {ap + bq + cr} \right) = 4\left( {ABC} \right),}$

που είναι η αποδεικτέα σχέση (2).

Ανισότητα με την ακτίνα του ποδικού τριγώνου!

Ανισότητα με την ακτίνα του ποδικού τριγώνου!

Re: Ανισότητα με την ακτίνα του ποδικού τριγώνου!

Μέλη σε σύνδεση