Περιοδική συνάρτηση και ρίζα της μονάδος

Dreamkiller · #1

Να δείξετε ότι αν μια συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ ικανοποιεί την σχέση:
$f(x-a) + f(x+a) = 2cos\displaystyle(\displaystyle \frac{\pi}{n})f(x)$ , όπου

μια πραγματική σταθερά και

φυσικός αριθμός, είναι περιοδική.

Η άσκηση αυτή είναι γενίκευση ενός προβλήματος από το βιβλίο "Συναρτησιακές Εξισώσεις" του Ανδρέα Πούλου. Εκεί παρατίθεται μια καταπληκτική λύση του κ. Λάμπρου.

AlexandrosG · #2

Dreamkiller έγραψε: "Συναρτησιακές Εξισώσεις" του Ανδρέα Πούλου

Αν και είμαι εκτός θέματος, ξέρετε που μπορώ να βρω αυτό το βιβλίο καθώς και το ''Παγκόσμια θεματογραφία Ολυμπιάδων Ανάλυσης'' για το οποίο είχα ξαναδιαβάσει κάπου στο mathematica?

Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

ZITAVITA · #3

AlexandrosG έγραψε:
Dreamkiller έγραψε: "Συναρτησιακές Εξισώσεις" του Ανδρέα Πούλου
Αν και είμαι εκτός θέματος, ξέρετε που μπορώ να βρω αυτό το βιβλίο καθώς και το ''Παγκόσμια θεματογραφία Ολυμπιάδων Ανάλυσης'' για το οποίο είχα ξαναδιαβάσει κάπου στο mathematica?

Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

Εκδόσεις "Αίθρα"
Ανδρέα Μεταξα 26
Εξάρχεια

#4

AlexandrosG έγραψε:
Dreamkiller έγραψε: "Συναρτησιακές Εξισώσεις" του Ανδρέα Πούλου
Αν και είμαι εκτός θέματος, ξέρετε που μπορώ να βρω αυτό το βιβλίο

Ο φιλικότατος Ανδρέας Πούλος είναι μέλος του mathematica. Στείλε του π.μ. !

Μ.

Dreamkiller · #5

Βάζω την λύση στην άσκηση. Τονίζω ότι αυτός ο τρόπος είναι του κ. Μιχάλη Λάμπρου και εγώ απλά τον προσάρμοσα στην γενίκευση (στο βιβλίο ήταν για a=2

και

).

Θέτουμε $\displaystyle A=cos(\frac{\pi}{n}) +isin(\frac{\pi}{n})$
Από την ταυτότητα του De Moivre έχουμε πως:
$\displaystyle (2cos(\frac{\pi}{n})-A)^{2n}=cos(\frac{2n\pi}{n})-isin(\frac{2n\pi}{n})=1-0=1$ .

Επίσης παρατηρώ ότι: $\displaystyle(2cos(\frac{\pi}{n})-A)A=1$ .

Η δοθείσα τώρα γράφεται:
$\displaystyle f(x-a)-Af(x)=2cos(\frac{\pi}{n})f(x)-Af(x)-f(x+a) \Rightarrow f(x-a)-Af(x)=(2cos(\frac{\pi}{n})-A)(f(x)-Af(x+a))= .....= (2cos(\frac{\pi}{n})-A)^{2n}(f(x+(2n-1)a)-Af(x+2na) \Rightarrow f(x-a)-Af(x)=f(x+(2n-1)a) -Af(x+2na)$
Εξισώνοντας τα φανταστικά μέρη των δυο μιγαδικών:
f(x)=f(x+2na)

, άρα περιοδική με περίοδο 2na

.

#6

Πραγματικά εξαιρετική λύση.

Είχα σκεφτεί για λίγο τη λύση, αλλά κολλούσα στην περίπτωση όπου o $\displaystyle{n}$ είναι περιττός.

Γενικά, με επαγωγή αποδεικνύεται εύκολα (με χρήση κατάλληλων τριγωνομετρικών ιδιοτήτων) ότι

$\displaystyle{f(x+ka)+f(x-ka)=2\cos\left(\frac{k\pi}{n}\right)f(x)}$

για κάθε $\displaystyle{k\geq 0}$ .

Οπότε για $\displaystyle{n}$ άρτιο, με $\displaystyle{k=n/2}$ έχουμε

$\displaystyle{f(x+ka)=-f(x-ka)}$ ,

κι άρα εφαρμόζοντας δυο φορές την τελευταία παίρνουμε

$\displaystyle{f(x+2na)=f((x+3ka)+ka)=-f((x+ka)+ka)=f(x)}$ .

Αλλά, εαν ο $\displaystyle{n}$ είναι περιττός τα πράγματα δυσκολεύουν....

Αχιλλέας

Περιοδική συνάρτηση και ρίζα της μονάδος

Περιοδική συνάρτηση και ρίζα της μονάδος

Re: Περιοδική συνάρτηση και ρίζα της μονάδος

Re: Περιοδική συνάρτηση και ρίζα της μονάδος

Re: Περιοδική συνάρτηση και ρίζα της μονάδος

Re: Περιοδική συνάρτηση και ρίζα της μονάδος

Re: Περιοδική συνάρτηση και ρίζα της μονάδος

Μέλη σε σύνδεση