Γεωμετρικό θέμα

S.E.Louridas · #1

Να κατασκευαστεί τρίγωνο όταν γνωρίζουμε τις ακτίνες του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλων του.

Grigoris K. · #2

Δίνω μία μη εμπνευσμένη προσέγγιση ευχόμενος παράλληλα στον κ. Σωτήρη ό,τι το καλύτερο για τη νέα χρονιά:

Έστω $\displaystyle{ \triangle ABC }$ το ζητούμενο τρίγωνο. Ο εγγεγραμμένος κύκλος $\displaystyle{ (I,r) }$ εφάπτεται των $\displaystyle{ BC,AC,AB }$ στα $\displaystyle{ D,E,Z }$ .

Επίσης, έστω $\displaystyle{ R }$ η ακτίνα του περίκυκλου. Από Ν.Σ. ισχύει $\displaystyle{ EZ^2 = 2(\tau - a)^2 - 2(\tau -a)^2\cos\hat A ~(1)}$ και

$\displaystyle{ EZ^2 = 2r^2 - 2r^2\cos (180^o - \hat A) = 2r^2 + 2r^2\cos \hat A ~(2)}$ . Επιπλέον είναι $\displaystyle{ \cos \hat A = \pm \sqrt{1 - \sin^2 \hat A} = \pm \sqrt{1 - \frac{a^2}{4R^2}} ~(3)}$

Είναι $\displaystyle{ (1),(2),(3) \implies (\tau - a)^2 \pm (\tau -a)^2\sqrt{1 - \frac{a^2}{4R^2}} = r^2 \pm r^2\sqrt{1 - \frac{a^2}{4R^2}} }$ (με $\displaystyle{ R,r }$ γνωστά μεγέθη και $\displaystyle{ a,b,c }$ άγνωστα)

Δουλεύοντας κυκλικά λαμβάνουμε άλλες δύο εξισώσεις και λύνοντας το σύστημα των τριών εξισώσεων βρίσκουμε τα μήκη των πλευρών $\displaystyle{ a,b,c }$ .

#3

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Κώστας Βήττας.

S.E.Louridas · #4

Grigoris K. έγραψε:...ευχόμενος παράλληλα στον κ. Σωτήρη ό,τι το καλύτερο για τη νέα χρονιά:

Γρηγόρη σε ευχαριστώ.
Αντεύχομαι σε σένα και τους Ανθρώπους σου υγεία πάνω από όλα και την πραγματοποίηση όλων των επιθυμιών σου και το νέο έτος.
Σου εύχομαι επίσης ακόμα περισσότερα Μαθηματικά χιλιόμετρα με τον τρόπο που τα καλύπτει το μοναδικό ταλέντο σου, ώστε να αισθανόμαστε και οι υπόλοιποι ότι υπάρχει Μαθηματικό μέλλον.

#5

Με την ευκαιρία να ευχηθώ σε όλη την γεωμετρική παρέα Υγεία, Αγάπη, Ελπίδα,

κάθε επιτυχία, ευημερία, καλή διάθεση, ευρύτητα πνεύματος και εμπνεύσεις!!

Ρεκούμης κωνσταντίνος

S.E.Louridas · #6

Φίλε Κώστα (rek2)
Εύχομαι σε εσένα προσωπικά, την οικογένεια σου αλλά όπως εσύ είπες και στην δική μας εδώ Γεωμετρική Κομπανία τις καλλίτερες ευχές για το 2013.
Πολλά-πολλά σχήματα, πολλούς –πολλούς Μαθηματικούς συλλογισμούς...και όχι μόνο.

#7

Για να μη χαθεί το θέμα βάζω δύο "δίδυμες" προτάσεις, που υπονοεί ο Κώστας (να υποθέσω ότι το σύστημα του Γρηγόρη με R>2r

έχει άπειρο πλήθος λύσεων;):

1. Έστω O, I

τα κέντρα δύο κύκλων ακτίνων R, r

αντίστοιχα με OI^2=R^2-2Rr

. Από τυχαίο σημείο

του κύκλου (O, R)

φέρνουμε εφαπτόμενες στον κύκλο (I. r)

που επανατέμνουν τον (O,R)

στα σημεία B, C

. Να αποδειχτεί ότι η

εφάπτεται ομοίως του κύκλου (O, R)

.

2. Έστω οι κύκλοι (O, R)

και

με τον δεύτερο στο εσωτερικό του πρώτου. Αν υπάρχει τρίγωνο εγγεγραμμένο στον πρώτο κύκλο που οι πλευρές του εφάπτονται στον δεύτερο, τότε υπάρχουν άπειρα τέτοια τρίγωνα.

S.E.Louridas · #8

Βεβαίως και υπάρχουν άπειρα τέτοια τρίγωνα.
Για παράδειγμα αν προσθέσω και το δεδομένο της πλευράς

, τότε η γωνία $\angle A$ είναι γνωστή, άρα και η γωνία

$\angle \frac{\pi }{2} + \frac{{\angle A}}{2}$ θα είναι γνωστή συνεπώς και το τόξο που βαίνει. Η τομή του τόξου αυτού με την παράλληλη στην

που απέχει από αυτή απόσταση ίση με την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου δίνει συγκεκριμένη θέση για το έκκεντρο άρα και τον εγγεγραμμένο κύκλο και συνεπώς δίνει το τρίγωνο ABC

. Άπειρες είναι οι τέτοιες γωνίες $\angle A$ που δίνουν δηλαδή τόξα που τέμνοντα μέ την παράλληλη άπειρα είναι και τα τρίγωνα ABC

.
Θα μου πεις γιατί προτάθηκε τέτοια κατασκευή;
Με την ίδια λογική που προτείνεται για λύση ένα σύστημα που έχει άπειρες λύσεις...

S.E.Louridas · #9

...Αρα (και κύρια γιά τους νεώτερους) μπαίνει το εξής ερώτημα:
Πόσες συνθήκες είναι αρκετές για την κατασκευή ενός πολυγώνου;

#10

Φαντάζομαι ότι το υπόβαθρο βρίσκεται εδώ
http://mathworld.wolfram.com/PonceletsPorism.html

Γεωμετρικό θέμα

Γεωμετρικό θέμα

Re: Γεωμετρικό θέμα

Re: Γεωμετρικό θέμα

Re: Γεωμετρικό θέμα

Re: Γεωμετρικό θέμα

Re: Γεωμετρικό θέμα

Re: Γεωμετρικό θέμα

Re: Γεωμετρικό θέμα

Re: Γεωμετρικό θέμα

Re: Γεωμετρικό θέμα

Μέλη σε σύνδεση