Περιστοφή-Ανάκλαση-Μεταφορά

Συντονιστής: matha

Mathletic
Δημοσιεύσεις: 269
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 21, 2013 11:25 pm

Περιστοφή-Ανάκλαση-Μεταφορά

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από Mathletic » Δευ Ιούλ 17, 2017 5:03 pm

Γειά σας!

Θέλω να εξετάσω αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθής ή όχι.

  1. Για μια περιστροφή \delta\neq id μια μεταφορά \tau, το \delta\circ\tau είναι πάντα μια περιστροφή.
  2. Για μια περιστροφή \delta\neq id μια ανάκλαση \sigma, το \delta\circ\sigma δεν είναι ποτέ μια ανάκλαση.
  3. Υπάρχουν ανακλάσεις \sigma_1, \ldots , \sigma_{2017} με \sigma_{2017}\circ\ldots \circ\sigma_2\circ\sigma_1=id.
  4. Η σύνθεση 2 περιστοφών με γωνίες a και b είναι περιστροφή ανν a+b=k\cdot 2\pi, k\in \mathbb{Z}.
  5. Η σύνθεση 2 περιστροφών με γωνίες a και b με a+b=\pi είναι μια ανάκλαση ως προς ένα σημείο.



Σκέφτηκα τα παρακάτω για την κάθε πρόταση:

  1. Αν θεωρήσουμε τα σημεία α και β. Μέσω της περιστροφής με γωνία θ παίρνουμε τα σημεία α' και β' Η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων α-β και α'-β' είναι θ, ακόμα και γίνει μεταφορά των α' και β'.
  2. Έχουμε ότι μια περιστροφή είναι η σύνθεση 2 ανακλάσεων, \delta=\tau \circ \pi. Οπότε έχουμε ότι \delta\circ\sigma=\tau \circ \pi\circ\sigma. Το γινόμενο 3 ανακλάσεων είναι ανάκλαση;
  3. Έχουμε περιττό αριθμό ανακλάσεων. Για να εξετάσουμε την πρόταση αυτή, πρέπει να ξέρουμε αν η ανάκλαση είναι άρτια ή περιττή, ή όχι;
  4. Η σύνθεση 2 περιστοφών με γωνίες a και b είναι περιστροφή ανν a+b=k\cdot 2\pi, k\in \mathbb{Z}.

    Για να το ελέγουμε αυτό θα χρησιμοποιήσουμε τον πίνακα περιστροφής.

    Μια περιστροφή είναι \vec{v}\mapsto M(a)\vec{v} και η άλλη \vec{w}\mapsto M(b)\vec{w}. Η σύνθεση ορίζεται ως εξής:
    M(a)M(b)\vec{w}=\begin{pmatrix}\cos a & -\sin a \\ \sin a & \cos a \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos b & -\sin b \\ \sin b & \cos b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos a\cos b-\sin a \sin b& -\cos a\sin b-\sin a\cos b \\ \sin a\cos b+\cos a\sin b& -\sin a\sin b+\cos a\cos b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos (a+b)& -\sin(a+b) \\ \sin (a+b)& \cos (a+b)\end{pmatrix}

    Οπότε η σύνθεση είναι πάντα περιστροφή, χωρίς τον παραπάνω περιορισμό.
  5. Έχουμε από την προηγούμενη πρόταση ότι η σύνθεση 2 περιστροφών είναι περιστροφή με γωνία το γινόμενο των 2 γωνιών. Αν περιστρέψουμε το σημείο P γύρω από το κέντρο Z με γωνία 180°, τότε τα P, Z και P’ βρίσκονται σε μια ευθεία. Αυτο περιράφει την ανάκλαση ως προς ένα σημείο.


Είναι σωστές οι ιδέες μου;



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9359
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Περιστοφή-Ανάκλαση-Μεταφορά

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Mihalis_Lambrou » Δευ Ιούλ 17, 2017 5:16 pm

Mathletic έγραψε:Είναι σωστές οι ιδέες μου;


Γενικά όχι. Ξεφεύγεις από την ουσία.

Για χιλιοστή φορά θα σε παρότρυνα να ΣΚΕΦΤΕΙΣ μόνος σου τις απαντήσεις. Όλες οι ερωτήσεις είναι αρκετά απλές, σχεδόν τετριμμένες.

Δεν φαίνεται να κατανοείς αυτό που σου λέμε ξανά και ξανά: Αν δεν αυτενεργείς (ιδίως σε πολύ απλά θέματα) ΔΕΝ ΘΑ ΜΑΘΕΙΣ ΠΟΤΕ ΝΑ ΛΥΝΕΙΣ ΜΟΝΟΣ ΣΟΥ τις ασκήσεις.

Νομίζω ότι αυτό φαίνεται έμπρακτα πια. Ρωτάς ξανά και ξανά, όσο απλά και αν είναι τα θέματα, που επιβεβαιώνει ότι δεν κάνεις πρόοδο στην μάθηση.

Συν Αθηνά και χείρα κίνει. Αν στο τέλος ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΑ χρειαστείς βοήθεια, εδώ είμαστε για να στην δώσουμε απλόχερα.

Ρώτα το φόρουμ ΜΟΝΟ αν έχεις αφιερώσει αρκετή σκέψη. Το να ρωτάς χωρίς ΟΥΣΙΑΣΤΙΚΗ επεξεργασία από μέρους σου, δεν σε βοηθά.


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2397
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Περιστοφή-Ανάκλαση-Μεταφορά

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από grigkost » Δευ Ιούλ 17, 2017 5:40 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Mathletic έγραψε:Είναι σωστές οι ιδέες μου;


...Ξεφεύγεις από την ουσία...

Συμφωνώ πλήρως με την παρατήρηση του κ. Λάμπρου.
Τα μαθηματικά δεν είναι εφαρμογή με τυχαίο τρόπο κάποιων μεθόδων ή προτάσεων.
(Αν ήταν έτσι κανείς δεν θα ασχολείτο! )


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma

Επιστροφή σε “ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης