Μηδενική ορίζουσα

Συντονιστής: matha

Mathletic
Δημοσιεύσεις: 269
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 21, 2013 11:25 pm

Μηδενική ορίζουσα

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από Mathletic » Πέμ Ιούλ 13, 2017 10:47 pm

Γειά σας!

Έχουμε 3 ευθείες με εξισώσεις a_{i1}x+a_{i2}y+a_{i3}=0, i=1,2,3. Θέλω να δείξω ότι \det ((a_{ij}))=0 ανν οι ευθείες είναι ανα ζεύγος παράλληλα ή έχουν ένα κοινό σημείο.

Έχουμε ότι \det ((a_{ij}))=0 ανν έχουμε μια μηδενική γραμμή. Αυτό σημαίνει ότι οι γραμμές είναι γραμμικά εξαρτημένες, αυτό συνεπάγεται ότι οι ευθείες είναι γραμμικά εξαρτημένες. Αυτό σημαίνει ότι κάποιες ευθείες είναι παράλληλες, ή όχι;
Χρησιμοποιούμε αυτό για να δείξουμε το ζητούμενο;



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9359
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μηδενική ορίζουσα

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Mihalis_Lambrou » Πέμ Ιούλ 13, 2017 11:47 pm

Mathletic έγραψε:Έχουμε ότι \det ((a_{ij}))=0 ανν έχουμε μια μηδενική γραμμή.

Δεν ισχύει αυτό. Επίσης ο συλλογισμός σου από εκεί και κάτω είναι προβληματικός.

Θα δώσω υπόδειξη για την μία κατεύθυνση: Έστω ότι οι ευθείες έχουν κοινό σημείο. Τι σημαίνει αυτό για το σύστημα που πρέπει να λύσεις για να βρεις το σημείο;

Καλό είναι να ξαναδείς το σχόλιο/συμβουλή που σου είχα γράψει στο πρώτο μου ποστ εδώ αλλά και αλλού.


Mathletic
Δημοσιεύσεις: 269
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 21, 2013 11:25 pm

Re: Μηδενική ορίζουσα

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από Mathletic » Παρ Ιούλ 14, 2017 2:02 am

Έχουμε τις ευθείες \left\{\begin{matrix}
a_{11}x+a_{12}y+a_{13}=0 \\ 
a_{21}x+a_{22}y+a_{23}=0 \\ 
 a_{31}x+a_{32}y+a_{33}=0 
\end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}
a_{11}x+a_{12}y+a_{13}\cdot 1=0 \\ 
a_{21}x+a_{22}y+a_{23}\cdot 1=0 \\ 
 a_{31}x+a_{32}y+a_{33}\cdot 1=0 
\end{matrix}\right..

Το σημείο τομής είναι στη μορφή (x_o,y_o,1).

Σε μορφή πίνακα έχουμε \begin{pmatrix}a_{11}& a_{12}& a_{13} \\ a_{21}& a_{22}& a_{23} \\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}

Αν \det ((a_{ij}))=0 τότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις. Είναι όλα σωστά μέχρι εδώ;


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2397
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Μηδενική ορίζουσα

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από grigkost » Παρ Ιούλ 14, 2017 8:29 am

Mathletic έγραψε:Έχουμε τις ευθείες \left\{\begin{matrix}
a_{11}x+a_{12}y+a_{13}=0 \\ 
a_{21}x+a_{22}y+a_{23}=0 \\ 
 a_{31}x+a_{32}y+a_{33}=0 
\end{matrix}\right. \Rightarrow\color{red}{ \left\{\begin{matrix}
a_{11}x+a_{12}y+a_{13}\cdot 1=0 \\ 
a_{21}x+a_{22}y+a_{23}\cdot 1=0 \\ 
 a_{31}x+a_{32}y+a_{33}\cdot 1=0 
\end{matrix}\right.}.

Το σημείο τομής είναι στη μορφή (x_o,y_o,1).

Σε μορφή πίνακα έχουμε \color{red}{\begin{pmatrix}a_{11}& a_{12}& a_{13} \\ a_{21}& a_{22}& a_{23} \\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}}

Αν \det ((a_{ij}))=0 τότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις. Είναι όλα σωστά μέχρι εδώ;


Δεν είναι αυτός φυσικός συλλογισμός. π.χ. τι νόημα έχει το ότι το σημείο τομής ευθειών στο επίπεδο έχει συντεταγμένες (x_0,y_0,1); Αλλά υπάρχουν και λάθη. Το σύστημα που θεωρείς δεν έχει την τυπική γραμμική μορφή. Δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε την αντίστοιχη θεωρία σε ένα τέτοιο "σύστημα" !

Δίνω τα πρώτα βήματα:
Χρειάζεται να διερευνηθεί το σύστημα 3 εξισώσεων με δύο αγνώστους, που είναι το

\left\{{\begin{array}{r}
		a_{11}x+a_{12}y=-a_{13}\\\noalign{\vspace{0.1cm}}
		a_{21}x+a_{22}y=-a_{23}\\\noalign{\vspace{0.1cm}}
		a_{31}x+a_{32}y=-a_{33}
		\end{array}}\right\}.

Όμως το σύστημα μπορεί να διερευνηθεί, ως προς την ύπαρξη ή μη, μιας ή πολλών λύσεων, διερευνώντας τον αντίστοιχο επαυξημένο πίνακα

A=\left({\begin{array}{cc|c}
		a_{11}&a_{12}&-a_{13}\\\noalign{\vspace{0.1cm}}
		a_{21}&a_{22}&-a_{23}\\\noalign{\vspace{0.1cm}}
		a_{31}&a_{32}&-a_{33}
		\end{array}}\right).

Επίσης ο πίνακας A'=\left({\begin{array}{cc|c}
		a_{11}&a_{12}&a_{13}\\\noalign{\vspace{0.1cm}}
		a_{21}&a_{22}&a_{23}\\\noalign{\vspace{0.1cm}}
		a_{31}&a_{32}&a_{33}
		\end{array}}\right) έχει \det(A')=-\det(A). (Γιατί; )

Ποιο είναι το επόμενο βήμα;

Υ.Γ. Όπως έχει κάνει επανειλημμένα ο κ. Λάμπρου, σε προτρέπω και εγώ να επιστρέψεις στην θεωρία (γραμμικών συστημάτων) και να κατανοήσεις τις έννοιες.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Mathletic
Δημοσιεύσεις: 269
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 21, 2013 11:25 pm

Re: Μηδενική ορίζουσα

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από Mathletic » Σάβ Ιούλ 15, 2017 5:44 am

grigkost έγραψε:Δίνω τα πρώτα βήματα:
Χρειάζεται να διερευνηθεί το σύστημα 3 εξισώσεων με δύο αγνώστους, που είναι το

\left\{{\begin{array}{r}
		a_{11}x+a_{12}y=-a_{13}\\\noalign{\vspace{0.1cm}}
		a_{21}x+a_{22}y=-a_{23}\\\noalign{\vspace{0.1cm}}
		a_{31}x+a_{32}y=-a_{33}
		\end{array}}\right\}.

Όμως το σύστημα μπορεί να διερευνηθεί, ως προς την ύπαρξη ή μη, μιας ή πολλών λύσεων, διερευνώντας τον αντίστοιχο επαυξημένο πίνακα

A=\left({\begin{array}{cc|c}
		a_{11}&a_{12}&-a_{13}\\\noalign{\vspace{0.1cm}}
		a_{21}&a_{22}&-a_{23}\\\noalign{\vspace{0.1cm}}
		a_{31}&a_{32}&-a_{33}
		\end{array}}\right).

Επίσης ο πίνακας A'=\left({\begin{array}{cc|c}
		a_{11}&a_{12}&a_{13}\\\noalign{\vspace{0.1cm}}
		a_{21}&a_{22}&a_{23}\\\noalign{\vspace{0.1cm}}
		a_{31}&a_{32}&a_{33}
		\end{array}}\right) έχει \det(A')=-\det(A). (Γιατί; )


Αφού μια στηλη του πίνακα A'είναι πολλαπλασισμένη με -1, έχουμε τα εξής:
\det (A')=\begin{vmatrix}
a_{11}&a_{12}&-a_{13}\\\noalign{\vspace{0.1cm}}
		a_{21}&a_{22}&-a_{23}\\\noalign{\vspace{0.1cm}}
		a_{31}&a_{32}&-a_{33}
\end{vmatrix}=(-1)^1\begin{vmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\\noalign{\vspace{0.1cm}}
		a_{21}&a_{22}&a_{23}\\\noalign{\vspace{0.1cm}}
		a_{31}&a_{32}&a_{33}
\end{vmatrix}=-\det (A)
σωστά;

Αν εφαρμόσουμε την απαλοιφή Gauss η τελευταία γραμμή του πίνακα θα πρέπει να είναι μηδενική, για να έχουμε ακριβώς μια λύση. Αν μετά την απαλοιφή Gauss έχουμε κλιμακωτή μορφή (χωρίς μηδενική γραμμή) τότε το σύστημα δεν έχει λύση.
Μας βοηθάει αυτο;


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2397
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Μηδενική ορίζουσα

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από grigkost » Σάβ Ιούλ 15, 2017 7:56 am

Mathletic έγραψε:...Αν εφαρμόσουμε την απαλοιφή Gauss η τελευταία γραμμή του πίνακα θα πρέπει να είναι μηδενική, για να έχουμε ακριβώς μια λύση. Αν μετά την απαλοιφή Gauss έχουμε κλιμακωτή μορφή (χωρίς μηδενική γραμμή) τότε το σύστημα δεν έχει λύση.
Μας βοηθάει αυτο;

Πρέπει τα παραπάνω να συνδεθούν με την ορίζουσα \det(A').
Ξεκίνησε με την υπόθεση: ευθείες παράλληλες ή τεμνόμενες σε ένα σημείο και προσπάθησε να συμπεράνεις ότι \det(A')=0.
Και το αντίστροφο: έστω ότι \det(A')=0, τότε αναγκαστικά οι ευθείες είναι παράλληλες ή τεμνόμενες σε ένα σημείο.

ΥΠΟΔΕΙΞΗ:
Αν και δεν είναι η μοναδική "οδός": Μπορούμε να σχετίσουμε τις λύσεις του συστήματος με την γραμμική ανεξαρτησία (ή εξάρτηση) των διανυσμάτων του πίνακα A'. Η γραμμική ανεξαρτησία (ή εξάρτηση) των διανυσμάτων μπορεί να να μας δώσει τις σχετικές θέσεις των ευθειών. Και αντιστρόφως.


Υ.Γ. Για το κοκκινισμένο: όχι ακριβώς!


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Mathletic
Δημοσιεύσεις: 269
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 21, 2013 11:25 pm

Re: Μηδενική ορίζουσα

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #7 από Mathletic » Σάβ Ιούλ 15, 2017 12:50 pm

Για την κατεύθυνση \Leftarrow :
Υποθέτουμε ότι οι 3 ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους. Αυτό σημαίνει ότι (a_{11},a_{12})=k(a_{21}, a_{22}) και (a_{31},a_{32})=n(a_{21}, a_{22}), σωστά;

Τότε έχουμε το εξής:
\det (A')=\begin{vmatrix}ka_{21}&ka_{22}&-a_{13} \\ a_{21}&a_{22}&-a_{23} \\ na_{21}&na_{22}&-a_{33}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0&0&-a_{13}-ka_{23} \\ a_{21}&a_{22}&-a_{23} \\ 0&0&-a_{33}+na_{23}\end{vmatrix} \\ =0\cdot \begin{vmatrix}&a_{22}&-a_{23} \\ 0&-a_{33}+na_{23}\end{vmatrix}-0\cdot \begin{vmatrix}a_{21}&-a_{23} \\ 0&-a_{33}+na_{23}\end{vmatrix}+(-a_{13}-ka_{23})\cdot \begin{vmatrix} a_{21}&a_{22} \\ 0&0\end{vmatrix}=0

Οπότε αν είναι ευθείες είναι παράλληλες, τότε η ορίζουσα είναι μηδενική.


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2397
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Μηδενική ορίζουσα

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #8 από grigkost » Σάβ Ιούλ 15, 2017 1:49 pm

Mathletic έγραψε:Για την κατεύθυνση \Leftarrow :
Υποθέτουμε ότι οι 3 ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους. Αυτό σημαίνει ότι (a_{11},a_{12})=k(a_{21}, a_{22}) και (a_{31},a_{32})=n(a_{21}, a_{22}), σωστά;

Τότε έχουμε το εξής:
\det (A')=\begin{vmatrix}ka_{21}&ka_{22}&-a_{13} \\ a_{21}&a_{22}&-a_{23} \\ na_{21}&na_{22}&-a_{33}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0&0&-a_{13}-ka_{23} \\ a_{21}&a_{22}&-a_{23} \\ 0&0&-a_{33}+na_{23}\end{vmatrix} \\ =0\cdot \begin{vmatrix}&a_{22}&-a_{23} \\ 0&-a_{33}+na_{23}\end{vmatrix}-0\cdot \begin{vmatrix}a_{21}&-a_{23} \\ 0&-a_{33}+na_{23}\end{vmatrix}+(-a_{13}-ka_{23})\cdot \begin{vmatrix} a_{21}&a_{22} \\ 0&0\end{vmatrix}=0

Οπότε αν είναι ευθείες είναι παράλληλες, τότε η ορίζουσα είναι μηδενική.

Σωστό. Προσπάθησε τώρα και τις άλλες περιπτώσεις...


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Mathletic
Δημοσιεύσεις: 269
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 21, 2013 11:25 pm

Re: Μηδενική ορίζουσα

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #9 από Mathletic » Σάβ Ιούλ 15, 2017 2:54 pm

Υποθέτουμε ότι οι 3 ευθείες τέμνονται σε ενα σημείο.

Έστω οτι οι 2 ευθείες a_{11}x+a_{12}y+a_{13}=0 και a_{21}x+a_{22}y+a_{23}=0 τέμνονται στο σημείο (x_0,y_0). Τότε και η τρίτη ευθεία θα πρέπει να περνάει από το σημείο αυτό.
Έχουμε τα εξής
\\a_{11}x_0+a_{12}y_0=-a_{13} \\ a_{21}x_0+a_{22}y_0=-a_{23}

Μήπως πρέπει να βρούμε τα x_0,y_0 συναρτήσει των a_{11},a_{12}y_0,a_{13},a_{21},a_{22},a_{23} ;

Έχουμε τα εξής:
\\-a_{21}a_{11}x_0-a_{21}a_{12}y_0=a_{21}a_{13} \\ a_{11}a_{21}x_0+a_{11}a_{22}y_0=-a_{11}a_{23}
Προσθέτοντας τις παραπάνω εξισώσεις παίρνουμε:
(-a_{21}a_{12}+a_{11}a_{22})y_0=a_{21}a_{13} -a_{11}a_{23} \Rightarrow y_0=\frac{a_{21}a_{13} -a_{11}a_{23}}{a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}}
Τώρα υπολογίζουμε το x_0:
a_{11}x_0+a_{12}\frac{a_{21}a_{13} -a_{11}a_{23}}{a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}}=-a_{13} \\ \\ \Rightarrow x_0=\frac{-a_{12}\frac{a_{21}a_{13} -a_{11}a_{23}}{a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}}-a_{13}}{a_{11}}=\frac{\frac{-a_{12}(a_{21}a_{13} -a_{11}a_{23})-a_{13}(a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12})}{a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}}}{a_{11}} \\ \\ =\frac{-a_{12}(a_{21}a_{13} -a_{11}a_{23})-a_{13}(a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12})}{a_{11}(a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12})}=\frac{-a_{12}a_{21}a_{13} +a_{12}a_{11}a_{23}-a_{13}a_{11}a_{22}+a_{13}a_{21}a_{12}}{a_{11}(a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12})} \\ \\ =\frac{a_{12}a_{11}a_{23}-a_{13}a_{11}a_{22}}{a_{11}(a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12})}=\frac{a_{12}a_{23}-a_{13}a_{22}}{a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}}

Το σημείο πρέπει να ικανοποιεί την τρίτη εξίσωση:
a_{31}x_0+a_{32}y_0+a_{33}=0 \\ \\  \Rightarrow a_{31}\frac{a_{12}a_{23}-a_{13}a_{22}}{a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}}+a_{32}\frac{a_{21}a_{13} -a_{11}a_{23}}{a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}}+a_{33}=0 \\ \\  \Rightarrow a_{31}(a_{12}a_{23}-a_{13}a_{22})+a_{32}(a_{21}a_{13} -a_{11}a_{23})+a_{33}(a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12})=0 \\ \\ \Rightarrow a_{31}\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13} \\ a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}+a_{32}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23} \\ a_{11} &a_{13}\end{vmatrix}+a_{33}\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=0 \\ \\ \Rightarrow a_{31}\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13} \\ a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}-a_{32}\begin{vmatrix}  a_{11} &a_{13} \\ a_{21}&a_{23}\end{vmatrix}+a_{33}\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=0 \\ \\ \Rightarrow \begin{vmatrix}a_{11} & a_{1}
 & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}=0 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow \det (A)=0

Έτσι δείξαμε και τις δύο περιπτώσεις για την κατεύθυνση \Leftarrow.


Για την κατεύθυνση \Rightarrow τι πρέπει να κάνουμε; Μήπως πρέπει να αναπτύξουμε ως προς μια στήλη/γραμμή;


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2397
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Μηδενική ορίζουσα

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #10 από grigkost » Σάβ Ιούλ 15, 2017 3:06 pm

Mathletic έγραψε:...Για την κατεύθυνση \Rightarrow τι πρέπει να κάνουμε; Μήπως πρέπει να αναπτύξουμε ως προς μια στήλη/γραμμή;
Τι σημαίνει για τα διανύσματα-στήλες (ή γραμμές) η ορίζουσα του πίνακά τους να ισούται με 0;

Υ.Γ. Τα αμέσως παραπάνω είναι σωστά.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Mathletic
Δημοσιεύσεις: 269
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 21, 2013 11:25 pm

Re: Μηδενική ορίζουσα

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #11 από Mathletic » Σάβ Ιούλ 15, 2017 3:20 pm

grigkost έγραψε:Τι σημαίνει για τα διανύσματα-στήλες (ή γραμμές) η ορίζουσα του πίνακά τους να ισούται με 0;


Ότι τα διανύσματα είναι γραμμικά εξαρτημένα.


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2397
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Μηδενική ορίζουσα

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #12 από grigkost » Σάβ Ιούλ 15, 2017 3:35 pm

Mathletic έγραψε:
grigkost έγραψε:Τι σημαίνει για τα διανύσματα-στήλες (ή γραμμές) η ορίζουσα του πίνακά τους να ισούται με 0;
Ότι τα διανύσματα είναι γραμμικά εξαρτημένα.

Σωστά. Δηλαδή υπάρχουν \kappa,\lambda\in\mathbb{R} τέτοια ώστε...(με την διερεύνηση πρέπει να προκύψουν και οι δυο περιπτώσεις)


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Mathletic
Δημοσιεύσεις: 269
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 21, 2013 11:25 pm

Re: Μηδενική ορίζουσα

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #13 από Mathletic » Σάβ Ιούλ 15, 2017 4:58 pm

grigkost έγραψε:Σωστά. Δηλαδή υπάρχουν \kappa,\lambda\in\mathbb{R} τέτοια ώστε...(με την διερεύνηση πρέπει να προκύψουν και οι δυο περιπτώσεις)


Έστω d_1, d_2, d_3 τα διανύσματα. Τότε έχουμε ότι d_1=\kappa d_2+\lambda d_3, ή όχι; Αλλά τί προκύπτει από αυτό;


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2397
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Μηδενική ορίζουσα

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #14 από grigkost » Σάβ Ιούλ 15, 2017 5:05 pm

Mathletic έγραψε:
grigkost έγραψε:Σωστά. Δηλαδή υπάρχουν \kappa,\lambda\in\mathbb{R} τέτοια ώστε...(με την διερεύνηση πρέπει να προκύψουν και οι δυο περιπτώσεις)


Έστω d_1, d_2, d_3 τα διανύσματα. Τότε έχουμε ότι d_1=\kappa d_2+\lambda d_3, ή όχι; Αλλά τί προκύπτει από αυτό;

(a_{11},a_{12},a_{13})=\kappa\,(a_{21},a_{22},a_{23})+\lambda\,(a_{31},a_{32},a_{33})\quad\Rightarrow\ldots


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Mathletic
Δημοσιεύσεις: 269
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 21, 2013 11:25 pm

Re: Μηδενική ορίζουσα

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #15 από Mathletic » Σάβ Ιούλ 15, 2017 6:23 pm

grigkost έγραψε:(a_{11},a_{12},a_{13})=\kappa\,(a_{21},a_{22},a_{23})+\lambda\,(a_{31},a_{32},a_{33})\quad\Rightarrow\ldots


Αν ένας συντελεστής ειναι μηδέν, π.χ. \kappa τότε (a_{11},a_{12},a_{13})=\lambda\,(a_{31},a_{32},a_{33}), αυτό σημαίνει ότι το κάθετο διάνυσμα της πρώτης ευθείας (a_{11}, a_{12}) είναι πολλαπλάσιο του άλλου, άρα είναι παράλληλα και άρα ει ευθείες είναι παράλληλες, σωστά;
Αλλά αυτό ισχύει μόνο για 2 ευθείες, ή όχι;

Θα θεωρήσουμε και την περίπτωση ότι \kappa, \lambda \neq 0 ;


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2397
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Μηδενική ορίζουσα

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #16 από grigkost » Σάβ Ιούλ 15, 2017 10:13 pm

grigkost έγραψε:
Mathletic έγραψε:..Έστω d_1, d_2, d_3 τα διανύσματα. Τότε έχουμε ότι d_1=\kappa d_2+\lambda d_3, ή όχι; Αλλά τί προκύπτει από αυτό;

(a_{11},a_{12},a_{13})=\kappa\,(a_{21},a_{22},a_{23})+\lambda\,(a_{31},a_{32},a_{33})\quad\Rightarrow\ldots

Η ισότητα δίνει ένα σύστημα τριών σχέσεων (ισοτήτων).
Τι είναι τα \kappa και \lambda για αυτό το σύστημα; Τι σχέση έχουν με τις ευθείες;


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Mathletic
Δημοσιεύσεις: 269
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 21, 2013 11:25 pm

Re: Μηδενική ορίζουσα

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #17 από Mathletic » Σάβ Ιούλ 15, 2017 10:50 pm

grigkost έγραψε:
grigkost έγραψε:
Mathletic έγραψε:..Έστω d_1, d_2, d_3 τα διανύσματα. Τότε έχουμε ότι d_1=\kappa d_2+\lambda d_3, ή όχι; Αλλά τί προκύπτει από αυτό;

(a_{11},a_{12},a_{13})=\kappa\,(a_{21},a_{22},a_{23})+\lambda\,(a_{31},a_{32},a_{33})\quad\Rightarrow\ldots

Η ισότητα δίνει ένα σύστημα τριών σχέσεων (ισοτήτων).
Τι είναι τα \kappa και \lambda για αυτό το σύστημα; Τι σχέση έχουν με τις ευθείες;


Για το σύστημα τα \kappa και \lambda είναι οι άγνωστοι.

Έχουμε ότι (a_{11}-\kappa a_{21}-\lambda a_{31}, a_{12}-\kappa a_{22}-\lambda a_{32}, a_{13}-\kappa a_{23}-\lambda a_{33})=(0,0,0).

Δεν έχω καταλάβει ακόμα ποιά είναι η σχέση με τις ευθείες. Μπορείτε να μου σώσετε μία ιδέα;


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2397
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Μηδενική ορίζουσα

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #18 από grigkost » Σάβ Ιούλ 15, 2017 11:09 pm

Mathletic έγραψε:Έχουμε ότι (a_{11}-\kappa a_{21}-\lambda a_{31}, a_{12}-\kappa a_{22}-\lambda a_{32}, a_{13}-\kappa a_{23}-\lambda a_{33})=(0,0,0). Δεν έχω καταλάβει ακόμα ποιά είναι η σχέση με τις ευθείες. Μπορείτε να μου σώσετε μία ιδέα;

Τι σημαίνει γεωμετρικά ότι το ζεύγος (\kappa,\lambda) ικανοποιεί και τις τρεις ευθείες;


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Mathletic
Δημοσιεύσεις: 269
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 21, 2013 11:25 pm

Re: Μηδενική ορίζουσα

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #19 από Mathletic » Κυρ Ιούλ 16, 2017 5:32 pm

grigkost έγραψε:
Mathletic έγραψε:Έχουμε ότι (a_{11}-\kappa a_{21}-\lambda a_{31}, a_{12}-\kappa a_{22}-\lambda a_{32}, a_{13}-\kappa a_{23}-\lambda a_{33})=(0,0,0). Δεν έχω καταλάβει ακόμα ποιά είναι η σχέση με τις ευθείες. Μπορείτε να μου σώσετε μία ιδέα;

Τι σημαίνει γεωμετρικά ότι το ζεύγος (\kappa,\lambda) ικανοποιεί και τις τρεις ευθείες;


Μήπως σημαίνει ότι οι ευθείες είναι παράλληλες;


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2397
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Μηδενική ορίζουσα

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #20 από grigkost » Κυρ Ιούλ 16, 2017 6:02 pm

Mathletic έγραψε:
grigkost έγραψε:
Mathletic έγραψε:Έχουμε ότι (a_{11}-\kappa a_{21}-\lambda a_{31}, a_{12}-\kappa a_{22}-\lambda a_{32}, a_{13}-\kappa a_{23}-\lambda a_{33})=(0,0,0). Δεν έχω καταλάβει ακόμα ποιά είναι η σχέση με τις ευθείες. Μπορείτε να μου σώσετε μία ιδέα;

Τι σημαίνει γεωμετρικά ότι το ζεύγος (\kappa,\lambda) ικανοποιεί και τις τρεις ευθείες;

Μήπως σημαίνει ότι οι ευθείες είναι παράλληλες;

Όχι Mathletic δεν σημαίνει αυτό...
Αλλά δεν έχει νόημα η όποια βοήθεια, αν προηγουμένως δεν έχεις μελετήσει και δεν έχεις προσπαθήσει μόνος σου.
Όπως άλλωστε σε παρότρυνε πολλάκις και ο κ . Λάμπρου.

Υ.Γ. Βέβαια η άσκηση (σχεδόν) λύθηκε, αλλά δεν είναι αυτό το ζητούμενο.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma

Επιστροφή σε “ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης