καμπύλες Bertrand

#1

Δυο καμπύλες στον χώρο $\overrightarrow{r_1}(s)\,,\; s\in I\,, \; \overrightarrow{r_2}(s)\,,\; s\in I$ , ονομάζονται καμπύλες Bertrand, αν για κάθε $s\in I$ , οι αντίστοιχες πρώτες κάθετες ταυτίζονται. Δείξτε ότι, για κάθε $s\in I$ ,

(i) η απόσταση μεταξύ των σημείων $\overrightarrow{r_1}(s)$ και $\overrightarrow{r_2}(s)$ είναι σταθερή.

(ii) η γωνία μεταξύ των αντίστοιχων εφαπτόμενων των δυο καμπυλών είναι σταθερή.

#2

Δίνουμε μια λύση:

Δυο καμπύλες Bertrand στον χώρο $\overrightarrow{r_1}(s)\,,\; s\in I$ , $\overrightarrow{r_2}(s)\,,\; s\in I$ , έχουν την ιδιότητα, για κάθε $s\in I$ , οι αντίστοιχες πρώτες κάθετες να ταυτίζονται.
[attachment=0]bertrand_curves.png[/attachment]

(i) η εξίσωση της πρώτης καθέτου της $\overrightarrow{r_1}$ στο σημείο $\overrightarrow{r_1}(s)$ είναι $\varepsilon_1:\overrightarrow{y}=\overrightarrow{r_1}(s)+\lambda(s)\,\overrightarrow{n_1}(s)\,,\; \lambda\in \mathbb{R}$ και η εξίσωση της πρώτης καθέτου της $\overrightarrow{r_2}$ στο σημείο $\overrightarrow{r_2}(s)$ είναι $\varepsilon_2:\overrightarrow{y}=\overrightarrow{r_2}(s)+\mu(s)\,\overrightarrow{n_1}(s)\,,\; \mu\in \mathbb{R}$ . Επειδή ταυτίζονται, ισχύουν $\overrightarrow{r_1}(s)\in\varepsilon_2\,,\; \overrightarrow{r_2}(s)\in\varepsilon_1$ , $\overrightarrow{n_2}(s)=\pm\overrightarrow{n_1}(s)$ και

$\begin{aligned} \overrightarrow{r_2}(s)-\overrightarrow{r_1}(s)=\lambda(s)\,\overrightarrow{n_1}(s)\quad&\Longrightarrow\quad\dot{\overrightarrow{r_2}}-\dot{\overrightarrow{r_1}}=\dot{\lambda}\,\overrightarrow{n_1}+\lambda\,\dot{\overrightarrow{n_1}}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\Longrightarrow\quad\overrightarrow{t_2}-\overrightarrow{t_1}=\dot{\lambda}\,\overrightarrow{n_1}+\lambda\,\big(-\kappa_1\,\overrightarrow{t_1}+\tau_1\,\overrightarrow{b_1}\big)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\Longrightarrow\quad\overrightarrow{t_2}-\overrightarrow{t_1}=\dot{\lambda}\,\overrightarrow{n_1}-\lambda\,\kappa_1\,\overrightarrow{t_1}+\lambda\,\tau_1\,\overrightarrow{b_1}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\Longrightarrow\quad\big(\,\overrightarrow{t_2}-\overrightarrow{t_1}\big)\cdot\overrightarrow{n_1}=\big(\dot{\lambda}\,\overrightarrow{n_1}-\lambda\,\kappa_1\,\overrightarrow{t_1}+\lambda\,\tau_1\,\overrightarrow{b_1}\big)\cdot\overrightarrow{n_1} \\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\stackrel{\overrightarrow{n_2}=\pm\overrightarrow{n_1}}{=\!=\!=\!\Longrightarrow}\quad\pm\overrightarrow{t_2}\cdot\overrightarrow{n_2}-\cancelto{0}{\overrightarrow{t_1}\cdot\overrightarrow{n_1}}=\dot{\lambda}\,\cancelto{1}{\overrightarrow{n_1}\cdot\overrightarrow{n_1}\big.}-\lambda\,\kappa_1\,\cancelto{0}{\overrightarrow{t_1}\cdot\overrightarrow{n_2}}+\lambda\,\tau_1\,\cancelto{0}{\overrightarrow{b_1}\cdot\overrightarrow{n_1}} \\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\Longrightarrow\quad\cancelto{0}{\overrightarrow{t_2}\cdot\overrightarrow{n_2}}=\dot{\lambda}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\Longrightarrow\quad\lambda(s)=c\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\Longrightarrow\quad\big|\,\overrightarrow{r_2}(s)-\overrightarrow{r_1}(s)\big|=c\,\cancelto{1}{\big|\,\overrightarrow{n_1}(s)\big|}\,. \end{aligned}$

Δηλαδή η απόσταση μεταξύ των σημείων $\overrightarrow{r_1}(s)$ και $\overrightarrow{r_2}(s)$ είναι σταθερή.

(ii) Για τα αντίστοιχα μοναδιαία εφαπτόμενα των δύο καμπυλών ισχύει

$\begin{aligned}\frac{d}{ds}\big(\,\overrightarrow{t_1}\cdot\overrightarrow{t_2}\big)&=\dot{\overrightarrow{t_1}}\cdot\overrightarrow{t_2}+\overrightarrow{t_1}\cdot\dot{\overrightarrow{t_2}}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\kappa_1\,\overrightarrow{n_1}\cdot\overrightarrow{t_2}+\overrightarrow{t_1}\cdot\big(\kappa_2\,\overrightarrow{n_2}\big)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\stackrel{\overrightarrow{n_2}=\pm\overrightarrow{n_1}}{=\!=\!=\!=\!=}\pm\kappa_1\,\cancelto{0}{\overrightarrow{n_2}\cdot\overrightarrow{t_2}}\pm\kappa_2\,\cancelto{0}{\overrightarrow{t_1}\cdot\overrightarrow{n_1}}=0\quad\Rightarrow\\\noalign{\vspace{0.1cm}} \overrightarrow{t_1}\cdot\overrightarrow{t_2}&=\cos\alpha\,. \end{aligned}$

Άρα η γωνία μεταξύ των αντίστοιχων εφαπτομένων των δυο καμπυλών είναι σταθερή.

καμπύλες Bertrand

καμπύλες Bertrand

Re: καμπύλες Bertrand

Μέλη σε σύνδεση