Παραμέτρηση ελλειψοειδούς

Ειρήνη 33 · #1

Χαίρετε.

Θέλω να δείξω ότι το ελλειψοειδές $\frac{x^2}{p^2}+\frac{y^2}{q^2}+\frac{z^2}{r^2}=1$ , όπου p,q,r

είναι μη μηδενικές σταθερές, είναι λεία επιφάνεια.

Για να το δείξω αυτό πρέπει να βρώ μία παραμέτρηση $\sigma (u,v)$ και να δείξω ότι το $\sigma_u\times\sigma_v$ είναι διάφορο του μηδενός, σωστά;

Ποιά παραμέτρηση πρέπει να χρησιμοποιήσω;

#2

Ειρήνη 33 έγραψε:Θέλω να δείξω ότι το ελλειψοειδές $\frac{x^2}{p^2}+\frac{y^2}{q^2}+\frac{z^2}{r^2}=1$ , όπου είναι μη μηδενικές σταθερές, είναι λεία επιφάνεια.
Για να το δείξω αυτό πρέπει να βρώ μία παραμέτρηση $\sigma (u,v)$ και να δείξω ότι το $\sigma_u\times\sigma_v$ είναι διάφορο του μηδενός, σωστά;
Ποιά παραμέτρηση πρέπει να χρησιμοποιήσω;

Κατ' αρχήν θεωρώ ότι γράφοντας "λεία επιφάνεια" εννοείς κανονική.
Δεν είναι απαραίτητο να δειχθεί αυτό μέσω ενός συνόλου χαρτών της επιφάνειας. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα:
Η αντίστροφη εικόνα μιας κανονικής τιμής μιας διαφορίσιμης συνάρτησης είναι κανονική επιφάνεια.
Αλλιώς, θέλουμε τουλάχιστον δύο χάρτες για να καλύψουμε το ελλειψοειδές.

Υ.Γ. Οι χάρτες θα μοιάζουν με αυτούς της σφαίρας.

Ειρήνη 33 · #3

grigkost έγραψε: Κατ' αρχήν θεωρώ ότι γράφοντας "λεία επιφάνεια" εννοείς κανονική.

Κατά λάθος έγραψα τον ορισμό της κανονικής επιφάνειας και όχι της λείας.

Η άσκηση ζητάει να δείξουμε ότι το ελλειψοειδές είναι λεία επιφάνεια.

grigkost έγραψε: Αλλιώς, θέλουμε τουλάχιστον δύο χάρτες για να καλύψουμε το ελλειψοειδές.

Γιατί θέλουμε τουλάχιστον δύο χάρτες για να καλύψουμε το ελλειψοειδές;

#4

Ειρήνη 33 έγραψε:
grigkost έγραψε: Κατ' αρχήν θεωρώ ότι γράφοντας "λεία επιφάνεια" εννοείς κανονική.

Κατά λάθος έγραψα τον ορισμό της κανονικής επιφάνειας και όχι της λείας.
Η άσκηση ζητάει να δείξουμε ότι το ελλειψοειδές είναι λεία επιφάνεια.

Και ο Pressley λεία θεωρεί την κανονική επιφάνεια.

Ειρήνη 33 έγραψε:
grigkost έγραψε: Αλλιώς, θέλουμε τουλάχιστον δύο χάρτες για να καλύψουμε το ελλειψοειδές.

Γιατί θέλουμε τουλάχιστον δύο χάρτες για να καλύψουμε το ελλειψοειδές;

Είναι παρόμοια περίπτωση με την σφαίρα. Με πόσους χάρτες μπορούμε να καλύψουμε μια σφαίρα;

Ειρήνη 33 · #5

Θεωρούμε τις παραμετρήσεις $\sigma (\theta , \phi )=(p\cos\theta \cos\phi, q\cos\theta \sin\phi , r\sin\theta )$ και $\tilde{\sigma} (\theta , \phi )=(-p\cos\theta \cos\phi, -q\sin\theta ,- r\cos\theta \sin\phi )$ και το ανοικτό υποσύνολο του $\mathbb{R}^2$ , $U=\{(\theta, \phi )\mid -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}, 0<\phi <2\pi\}$ , τότε η ένωση των εικόνων των $\sigma|_U$ και $\tilde{\sigma}|_U$ είναι ολόκληρο το ελλειψοειδές.

Είναι σωστό αυτό;

#6

Ειρήνη 33 έγραψε:Θεωρούμε τις παραμετρήσεις $\sigma (\theta , \phi )=(p\cos\theta \cos\phi, q\cos\theta \sin\phi , r\sin\theta )$ και $\tilde{\sigma} (\theta , \phi )=(-p\cos\theta \cos\phi, -q\sin\theta ,- r\cos\theta \sin\phi )$ και το ανοικτό υποσύνολο του $\mathbb{R}^2$ , $U=\{(\theta, \phi )\mid -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}, 0<\phi <2\pi\}$ , τότε η ένωση των εικόνων των $\sigma|_U$ και $\tilde{\sigma}|_U$ είναι ολόκληρο το ελλειψοειδές.

Είναι σωστό αυτό;

Ναι.

Ειρήνη 33 · #7

Ωραία. Ευχαριστώ πολύ!

Παραμέτρηση ελλειψοειδούς

Παραμέτρηση ελλειψοειδούς

Re: Παραμέτρηση ελλειψοειδούς

Re: Παραμέτρηση ελλειψοειδούς

Re: Παραμέτρηση ελλειψοειδούς

Re: Παραμέτρηση ελλειψοειδούς

Re: Παραμέτρηση ελλειψοειδούς

Re: Παραμέτρηση ελλειψοειδούς

Μέλη σε σύνδεση