Κάλυψη

[Ειρήνη 33]

Χαίρετε.

Κοιτάζω την εξής άσκηση:

Δείξτε ότι ενώ ο μοναδιαίος κύλινδρος μπορεί να καλυφθεί με ένα μόνο τμήμα επιφάνειας, η μοναδιαία σφαίρα δεν μπορεί.

Μπορείτε να μου δώσετε μια ιδέα για το πώς μπορούμε να το δείξουμε αυτό;

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Από όσο γνωρίζω ο κύλινδρος δεν μπορεί να καλυφθεί με ένα μόνο τμήμα επιφανείας (υποθέτω ότι με
τον όρο τμήμα επιφανείας εννοείς χάρτη).
Αν εννοείς κάτι άλλο δώσε τον ορισμό.
Καλό θα ήταν να μας αναφέρεις από πιο βιβλίο διαβάζεις και από που είναι η άσκηση

[Ειρήνη 33]

Από όσο γνωρίζω ο κύλινδρος δεν μπορεί να καλυφθεί με ένα μόνο τμήμα επιφανείας (υποθέτω ότι με
τον όρο τμήμα επιφανείας εννοείς χάρτη).
Αν εννοείς κάτι άλλο δώσε τον ορισμό.

Ένα υποσύνολο του είναι επιφάνεια εάν, για κάθε σημείο , υπάρχουν ένα ανοικτό υποσύνολο του και ένα ανοικτό υποσύνολο του που περιέχει το τέτοια ώστε το να είναι ομοιομορφικό με το . Ένα υποσύνολο μιας επιφάνειας της μορφής , όπου είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του , ονομάζεται ανοικτό υποσύνολο της . Ένας ομοιομορφισμός σαν αυτόν που μόλις ορίστηκε καλείται τμήμα επιφάνειας.

Καλό θα ήταν να μας αναφέρεις από πιο βιβλίο διαβάζεις και από που είναι η άσκηση

Διαβάζω από το βιβλίο "Στοιχειώδης διαφορική γεωμετρία", A. Pressley, από το οποίο είναι και η άσκηση.

[grigkost]

Κοιτάζω την εξής άσκηση:

Δείξτε ότι ενώ ο μοναδιαίος κύλινδρος μπορεί να καλυφθεί με ένα μόνο τμήμα επιφάνειας, η μοναδιαία σφαίρα δεν μπορεί. ..

Ειρήνη

η άσκηση 4.1.4 του Pressley (αγγλική έκδοση), στην οποία αναφέρεσαι, έχει κάποιο τυπογραφικό(;) λάθος. Προφανώς θα ήθελε να γράψει κάποια άλλη επιφάνεια, αφού στο παράδειγμα 4.1.3. γράφει ακριβώς το αντίθετο: ότι ο (μοναδιαίος) κύλινδρος δεν μπορεί να καλυφθεί με έναν χάρτη (surface patch).

Υ.Γ.1. Το λάθος υπάρχει στην αγγλική έκδοση.
Υ.Γ.2. Δεν γνωρίζω αν χρησιμοποιείς την ελληνική μετάφραση, αλλά η απόδοση χάρτης του surface patch είναι προτιμότερη από το τμήμα επιφάνειας (αφού σαν τμήμα επιφάνειας μπορούμε να ονομάσουμε και ένα υποσύνολο μιας επιφάνειας που, επίσης, δεν είναι χάρτης).

[Ειρήνη 33]

η άσκηση 4.1.4 του Pressley (αγγλική έκδοση), στην οποία αναφέρεσαι, έχει κάποιο τυπογραφικό(;) λάθος. Προφανώς θα ήθελε να γράψει κάποια άλλη επιφάνεια, αφού στο παράδειγμα 4.1.3. γράφει ακριβώς το αντίθετο: ότι ο (μοναδιαίος) κύλινδρος δεν μπορεί να καλυφθεί με έναν χάρτη (surface patch).

Κατάλαβα.

Πώς μπορούμε να δείξουμε ότι η μοναδιαία σφαίρα δεν μπορεί να καλυφθεί με έναν χάρτη;

Πρέπει να βρούμε μία παραμέτρηση της σφαίρας και να δείξουμε ότι δεν είναι ομοιομορφισμός;

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Πώς μπορούμε να δείξουμε ότι η μοναδιαία σφαίρα δεν μπορεί να καλυφθεί με έναν χάρτη;


Είναι εύκολο.Πάει με άτοπο.
Σκέψου τι κάνει ο ομοιομορφισμός τα ανοικτά σύνολα και τι σύνολο είναι
η μοναδιαία σφαίρα .

[Ειρήνη 33]

Πώς μπορούμε να δείξουμε ότι η μοναδιαία σφαίρα δεν μπορεί να καλυφθεί με έναν χάρτη;


Είναι εύκολο.Πάει με άτοπο.
Σκέψου τι κάνει ο ομοιομορφισμός τα ανοικτά σύνολα και τι σύνολο είναι
η μοναδιαία σφαίρα .

Το σύνολο είναι κλειστό και φραγένο, σωστά;

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Σωστά.
Μας ενδιαφέρει το κλειστό.

[Ειρήνη 33]

Πρέπει το σύνολο αυτό να είναι ομοιομορφικό με ένα ανοικτό σύνολο;

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Ακριβώς.
Φυσικά δεν είναι.Οφείλεται σε ιδιότητες του ομοιομορφισμού.

[Ειρήνη 33]

Φυσικά δεν είναι.Οφείλεται σε ιδιότητες του ομοιομορφισμού.

Δηλαδή ένα ανοικτό σύνολο είναι ομοιομορφικό μόνο με ένα ανοικτό σύνολο και ένα κλειστό σύνολο είναι ομοιομορφικό μόνο με ένα κλειστό σύνολο;