Ελάχιστος πρώτος - JBMO Shortlist 2008
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Ελάχιστος πρώτος - JBMO Shortlist 2008
Για τους λάτρεις της θεωρίας αριθμών:
Να προσδιορίσετε τον ελάχιστο πρώτο αριθμό για τον οποίο δεν υπάρχει φυσικός αριθμός ώστε να ισχύει .
Το παραπάνω πρόβλημα το είχα κατασκευάσει για την Βαλκανική Ολυμπιάδα Νέων του 2008, το οποίο μπήκε στη Shortlist των προβλημάτων αλλά δεν επιλέχθηκε τελικά για το διαγωνισμό. Μια και έχει περάσει αρκετός καιρός από τότε το παραθέτω προς λύση!
Αλέξανδρος
Να προσδιορίσετε τον ελάχιστο πρώτο αριθμό για τον οποίο δεν υπάρχει φυσικός αριθμός ώστε να ισχύει .
Το παραπάνω πρόβλημα το είχα κατασκευάσει για την Βαλκανική Ολυμπιάδα Νέων του 2008, το οποίο μπήκε στη Shortlist των προβλημάτων αλλά δεν επιλέχθηκε τελικά για το διαγωνισμό. Μια και έχει περάσει αρκετός καιρός από τότε το παραθέτω προς λύση!
Αλέξανδρος
τελευταία επεξεργασία από cretanman σε Κυρ Μαρ 14, 2010 10:34 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Έγινε διόρθωση
Λόγος: Έγινε διόρθωση
Αλέξανδρος Συγκελάκης
Re: Ελάχιστος πρώτος - JBMO Shortlist 2008
Αν το μπορεί να πάρει την τιμή 0 - το 0 είναι φυσικός;-, τότε προφανώς, .cretanman έγραψε:Για τους λάτρεις της θεωρίας αριθμών:
Να προσδιορίσετε τον ελάχιστο πρώτο αριθμό για τον οποίο δεν υπάρχει φυσικός αριθμός ώστε να ισχύει .
Το παραπάνω πρόβλημα το είχα κατασκευάσει για την Βαλκανική Ολυμπιάδα Νέων του 2008, το οποίο μπήκε στη Shortlist των προβλημάτων αλλά δεν επιλέχθηκε τελικά για το διαγωνισμό. Μια και έχει περάσει αρκετός καιρός από τότε το παραθέτω προς λύση!
Αλέξανδρος
Αν το , τότε πάλι προφανώς, .
Μήπως υπάρχει τυπογραφικό στη διατύπωση ή είναι τόσο απλό;
'Η, απλά μου διαφεύγει κάτι;
Φιλικά,
Αχιλλέας
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Ελάχιστος πρώτος - JBMO Shortlist 2008
Το ίδιο θα ρωτούσα και εγώ Αχιλλέα. Μου φαίνεται αρκετά εύκολη για Junior BMO.
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Ελάχιστος πρώτος - JBMO Shortlist 2008
Με συγχωρείτε έκανα λάθος στο copy-paste μια και το αντέγραψα από αρχείο word όπου το mathtype στο οποίο ήταν γραμμένη η άσκηση δεν μεταφέρει εδώ το μαθηματικό κείμενο το οποίο έγραψα με το χέρι. Εννοώ και θετικό φυσικό. Το διορθώνω αμέσως και στην εκφώνηση.
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
Re: Ελάχιστος πρώτος - JBMO Shortlist 2008
Είναι .
Πράγματι, τα υπόλοιπα της διαίρεσης με το 19 των αριθμών , για είναι , και, , αντίστοιχα.
Τα υπόλοιπα της διαίρεσης με το 19 των αριθμών , για είναι , και, , αντίστοιχα.
Συνεπώς, οι αριθμοί δε διαιρούνται με το 19 για κανένα .
Αφού και για κάθε , οι αριθμοί δε διαιρούνται με το 19 για κανένα .
Για να αποδείξουμε το ελάχιστο του 19 με την παραπάνω ιδιότητα αρκεί να παρατηρήσουμε ότι
,
,
και
(Σημείωση: πιο σύντομα μπορεί κανείς να δείξει ότι οι αριθμοί δε διαιρούνται με το 19 για κανένα .
Πράγματι, τα υπόλοιπα της διαίρεσης με το 19 των αριθμών , για είναι , και, , αντίστοιχα.
Τα υπόλοιπα της διαίρεσης με το 19 των αριθμών , για είναι , και, , αντίστοιχα.
κ.τ.λ.)
EDIT. Η εξέταση του Μ.Κ.Δ. δεν είναι απαραίτητη. Το διεπίστωσα αμέσως, αλλά απάντησε γρήγορα ο Αλέξανδρος και θεώρησα πως θα μπορούσα να μην επεξεργασθώ την απάντηση. Ο Νίκος Κατσίπης το παρατήρησε επίσης και μου το ανέφερε σε προσωπικό μήνυμα. Για χάρη της μαθηματικής ακρίβειας, λοιπόν, ας το επισημάνουμε εδώ κι επισήμως.
Φιλικά,
Αχιλλέας
Πράγματι, τα υπόλοιπα της διαίρεσης με το 19 των αριθμών , για είναι , και, , αντίστοιχα.
Τα υπόλοιπα της διαίρεσης με το 19 των αριθμών , για είναι , και, , αντίστοιχα.
Συνεπώς, οι αριθμοί δε διαιρούνται με το 19 για κανένα .
Αφού και για κάθε , οι αριθμοί δε διαιρούνται με το 19 για κανένα .
Για να αποδείξουμε το ελάχιστο του 19 με την παραπάνω ιδιότητα αρκεί να παρατηρήσουμε ότι
,
,
και
(Σημείωση: πιο σύντομα μπορεί κανείς να δείξει ότι οι αριθμοί δε διαιρούνται με το 19 για κανένα .
Πράγματι, τα υπόλοιπα της διαίρεσης με το 19 των αριθμών , για είναι , και, , αντίστοιχα.
Τα υπόλοιπα της διαίρεσης με το 19 των αριθμών , για είναι , και, , αντίστοιχα.
κ.τ.λ.)
EDIT. Η εξέταση του Μ.Κ.Δ. δεν είναι απαραίτητη. Το διεπίστωσα αμέσως, αλλά απάντησε γρήγορα ο Αλέξανδρος και θεώρησα πως θα μπορούσα να μην επεξεργασθώ την απάντηση. Ο Νίκος Κατσίπης το παρατήρησε επίσης και μου το ανέφερε σε προσωπικό μήνυμα. Για χάρη της μαθηματικής ακρίβειας, λοιπόν, ας το επισημάνουμε εδώ κι επισήμως.
Φιλικά,
Αχιλλέας
τελευταία επεξεργασία από achilleas σε Δευ Μαρ 15, 2010 3:27 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Ελάχιστος πρώτος - JBMO Shortlist 2008
Τέλεια Αχιλλέα!
Το πρόβλημα είχε σημεία σκέψης για να ελαττωθούν κατά το δυνατόν οι δοκιμές (το ότι δηλαδή το είναι ένας πρώτος για τον οποίο ο δεν διαιρείται από το για κανένα ) αλλά και μερικά υπολογιστικά κομμάτια (η διαπίστωση ότι το είναι πράγματι ο ελάχιστος πρώτος για τον οποίο συμβαίνει το συμπέρασμα της εκφώνησης, βρίσκοντας κατάλληλα για σταθερό κάθε φορά για τα οποία δεν ισχύει το συμπέρασμα). Ίσως το τελευταίο να ήταν ένα από τους λόγους για τους οποίους δεν επιλέχθηκε η συγκεκριμένη άσκηση για το διαγωνισμό.
Αλέξανδρος
Το πρόβλημα είχε σημεία σκέψης για να ελαττωθούν κατά το δυνατόν οι δοκιμές (το ότι δηλαδή το είναι ένας πρώτος για τον οποίο ο δεν διαιρείται από το για κανένα ) αλλά και μερικά υπολογιστικά κομμάτια (η διαπίστωση ότι το είναι πράγματι ο ελάχιστος πρώτος για τον οποίο συμβαίνει το συμπέρασμα της εκφώνησης, βρίσκοντας κατάλληλα για σταθερό κάθε φορά για τα οποία δεν ισχύει το συμπέρασμα). Ίσως το τελευταίο να ήταν ένα από τους λόγους για τους οποίους δεν επιλέχθηκε η συγκεκριμένη άσκηση για το διαγωνισμό.
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
Re: Ελάχιστος πρώτος - JBMO Shortlist 2008
Έψαχνα κάτι άλλο και έπεσα πάνω σε αυτό το όμορφο πρόβλημα. Έξτρα ερώτημα: Να βρεθεί άλλος ένας πρώτος με την παραπάνω ιδιότητα.cretanman έγραψε: Να προσδιορίσετε τον ελάχιστο πρώτο αριθμό για τον οποίο δεν υπάρχει φυσικός αριθμός ώστε να ισχύει .
Σιλουανός Μπραζιτίκος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Ελάχιστος πρώτος - JBMO Shortlist 2008
Όταν η είναι ισοδύναμη μεcretanman έγραψε:Να προσδιορίσετε τον ελάχιστο πρώτο αριθμό για τον οποίο δεν υπάρχει φυσικός αριθμός ώστε να ισχύει .
Όμως, άρα είναι αδύνατη.
Θανάσης Κοντογεώργης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Ελάχιστος πρώτος - JBMO Shortlist 2008
Όταν η είναι ισοδύναμη μεsilouan έγραψε:Έψαχνα κάτι άλλο και έπεσα πάνω σε αυτό το όμορφο πρόβλημα. Έξτρα ερώτημα: Να βρεθεί άλλος ένας πρώτος με την παραπάνω ιδιότητα.cretanman έγραψε: Να προσδιορίσετε τον ελάχιστο πρώτο αριθμό για τον οποίο δεν υπάρχει φυσικός αριθμός ώστε να ισχύει .
Όμως,
άρα είναι αδύνατη.
Θανάσης Κοντογεώργης
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Ελάχιστος πρώτος - JBMO Shortlist 2008
Να δειχθεί ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι με αυτήν την ιδιότητα.
Re: Ελάχιστος πρώτος - JBMO Shortlist 2008
Δημήτρη μου έκλεψες το επόμενο ερώτημαDemetres έγραψε:Να δειχθεί ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι με αυτήν την ιδιότητα.
Σιλουανός Μπραζιτίκος
Re: Ελάχιστος πρώτος - JBMO Shortlist 2008
Για να το δούμε για να μην ξεχαστεί. Η ιδέα είναι να βρούμε άπειρους πρώτους έτσι ώστε το 2 και το 3 να είναι τετραγωνικά κατάλοιπα αλλά το -1 να μην είναι.(*)Demetres έγραψε:Να δειχθεί ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι με αυτήν την ιδιότητα.
Τότε έχουμε το ζητούμενο γιατί η ισοτιμία γράφεται . Αφού τα 2 και 3 είναι τετραγωνικά κατάλοιπα, γράφουμε
αλλά αν είναι τέτοιος ώστε έχουμε ότι το οποίο είναι άτοπο γιατί το -1 δεν είναι τετραγωνικό κατάλοιπο.
Ας αποδείξουμε τώρα ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι που ικανοποιούν την (*). Το 2 είναι τετραγωνικό κατάλοιπο όταν και το 3 είναι όταν . Το -1 δεν είναι όταν . Άρα αρκεί να βρούμε άπειρους πρώτους ώστε και , που συμβαίνει ας πούμε όταν . Υπάρχουν άπειροι πρώτοι της μορφής από το Θεώρημα Dirichlet και τελειώσαμε.
Δημήτρη έχεις άλλη απόδειξη κατά νου;
Σιλουανός Μπραζιτίκος
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Ελάχιστος πρώτος - JBMO Shortlist 2008
Παρόμοιες ιδέες αλλά βρήκα περισσότερους πρώτους. Επιτρέπω επιπλέον τα να είναι και τα δύο τετραγωνικά υπόλοιπα . Κατέληξα λίγο διαφορετικά σε αυτό:silouan έγραψε: Δημήτρη έχεις άλλη απόδειξη κατά νου;
(α) Για άρτιο πρέπει οπότε αν το δεν είναι τετραγωνικό υπόλοιπο αυτό δεν μπορεί να συμβεί.
(β) Για περιττό πρέπει οπότε αν το δεν είναι τετραγωνικό υπόλοιπο αυτό δεν μπορεί να συμβεί.
Από το (α) θέλω . Από το (β), και χρησιμοποιώντας το , θέλω:
Για είναι οπότε θέλω , δηλαδή . Αυτό δίνει .
Για είναι οπότε θέλω , δηλαδή . Αυτό δίνει .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 9 επισκέπτες