Ανισότητα με συνθήκη: abc = 1
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan
- emouroukos
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1447
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Ανισότητα με συνθήκη: abc = 1
Να αποδείξετε ότι αν με τότε ισχύει:
Βαγγέλης Μουρούκος
Erro ergo sum.
Erro ergo sum.
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Ανισότητα με συνθήκη: abc = 1
Ισχύουν τα εξής:
Αν θετικοί πραγματικοί με τότε:
α) (1)
β) (2)
Πολλαπλασιάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) κατά μέλη, προκύπτει ότι
(3)
γ) (4)
Προσθέτοντας τις σχέσεις (3) και (4) κατά μέλη, προκύπτει ότι .
Έστω και . Τότε για οποιοδήποτε θετικούς πραγματικούς αριθμούς και θα ισχύει ότι:
Αν όμως γνωρίζουμε επιπλέον ότι , τότε και
Συνεπώς ισχύει ότι , που είναι η ζητούμενη ανισότητα.
Αν θετικοί πραγματικοί με τότε:
α) (1)
β) (2)
Πολλαπλασιάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) κατά μέλη, προκύπτει ότι
(3)
γ) (4)
Προσθέτοντας τις σχέσεις (3) και (4) κατά μέλη, προκύπτει ότι .
Έστω και . Τότε για οποιοδήποτε θετικούς πραγματικούς αριθμούς και θα ισχύει ότι:
Αν όμως γνωρίζουμε επιπλέον ότι , τότε και
Συνεπώς ισχύει ότι , που είναι η ζητούμενη ανισότητα.
Houston, we have a problem!
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Ανισότητα με συνθήκη: abc = 1
Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Ισχύουν τα εξής:
Αν θετικοί πραγματικοί με τότε:
α) (1)
β) (2)
Πολλαπλασιάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) κατά μέλη, προκύπτει ότι
(3)
γ) (4)
Προσθέτοντας τις σχέσεις (3) και (4) κατά μέλη, προκύπτει ότι .
Έστω και . Τότε για οποιοδήποτε θετικούς πραγματικούς αριθμούς και θα ισχύει ότι:
Αν όμως γνωρίζουμε επιπλέον ότι , τότε και
Συνεπώς ισχύει ότι , που είναι η ζητούμενη ανισότητα.
Πολύ ωραία λύση!
Αλέξανδρος Συγκελάκης
- emouroukos
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1447
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Ανισότητα με συνθήκη: abc = 1
Μετά την εξαιρετική λύση του Διονύση , ας δούμε και έναν άλλο τρόπο.
Η αποδεικτέα ανισότητα γράφεται ισοδύναμα:
Παρατηρούμε τώρα ότι για κάθε ισχύει η ανισότητα
[Πράγματι, η γράφεται ισοδύναμα
που ισχύει.]
Θέτοντας στη διαδοχικά και προσθέτοντας κατά μέλη τις ανισότητες που προκύπτουν παίρνουμε την . Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν
Η αποδεικτέα ανισότητα γράφεται ισοδύναμα:
Παρατηρούμε τώρα ότι για κάθε ισχύει η ανισότητα
[Πράγματι, η γράφεται ισοδύναμα
που ισχύει.]
Θέτοντας στη διαδοχικά και προσθέτοντας κατά μέλη τις ανισότητες που προκύπτουν παίρνουμε την . Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν
Βαγγέλης Μουρούκος
Erro ergo sum.
Erro ergo sum.
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Ανισότητα με συνθήκη: abc = 1
Μια άλλη γρήγορη λύση που σκέφτηκα είναι η εξής:
(Από αυτό το σημείο και μετά)
Όμως ισχύουν τα εξής:
α)
β)
Άρα αρκεί να αποδείξουμε ότι:
Αν όμως αντικαταστήσουμε τα και με και αντίστοιχα, τότε μετά από πράξεις η ανισότητα γίνεται που ισχύει (ανισότητα Schur). Ισότητα όταν , δηλαδή όταν
(Από αυτό το σημείο και μετά)
Όμως ισχύουν τα εξής:
α)
β)
Άρα αρκεί να αποδείξουμε ότι:
Αν όμως αντικαταστήσουμε τα και με και αντίστοιχα, τότε μετά από πράξεις η ανισότητα γίνεται που ισχύει (ανισότητα Schur). Ισότητα όταν , δηλαδή όταν
Houston, we have a problem!
-
- Δημοσιεύσεις: 141
- Εγγραφή: Τρί Φεβ 25, 2014 5:29 pm
Re: Ανισότητα με συνθήκη: abc = 1
Έχουμε ότι . Από AM-GM έχουμε ότιemouroukos έγραψε:Να αποδείξετε ότι αν με τότε ισχύει:
. Αν εφαρμόσουμε την (2) κυκλικά και προσθέσουμε κατά μέλη έχουμε ότι
. Με όμοιο τρόπο μπορούμε να πάρουμε ότι
.
Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη τις (3),(4) και έχουμε το ζητούμενο.
Προδρομίδης Κυπριανός-Ιάσων
- G.Bas
- Δημοσιεύσεις: 705
- Εγγραφή: Τετ Οκτ 13, 2010 9:27 pm
- Τοποθεσία: Karditsa - Ioannina
- Επικοινωνία:
Re: Ανισότητα με συνθήκη: abc = 1
Ισχύει σύμφωνα με την Ανισότητα Cauchy-Schwarzemouroukos έγραψε:Να αποδείξετε ότι αν με τότε ισχύει:
και
Με πολλαπλασιασμό αυτών των δύο έχουμε τη ζητούμενη.
Let Solutions Say Your Method!
George Basdekis
Cauchy-Schwarz is the best tool!
George Basdekis
Cauchy-Schwarz is the best tool!
-
- Δημοσιεύσεις: 26
- Εγγραφή: Σάβ Απρ 20, 2019 10:00 pm
Re: Ανισότητα με συνθήκη: abc = 1
Υψώνοντας στο τετράγωνο παίρνουμε
Είναι
Άρα αρκεί
Που ισχύει από AM-GM για όρους εφόσον
Είναι
Άρα αρκεί
Που ισχύει από AM-GM για όρους εφόσον
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες