Άλγεβρα ... Θαλή Α' Λυκείου

KARKAR · #1

Βρείτε τρεις διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου , οι οποίοι έχουν άθροισμα

και άθροισμα αντιστρόφων $\dfrac{1}{S}$ . (

γνωστός μη μηδενικός πραγματικός αριθμός ) .

Ορέστης Λιγνός · #2

KARKAR έγραψε:Βρείτε τρεις διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου , οι οποίοι έχουν άθροισμα

και άθροισμα αντιστρόφων $\dfrac{1}{S}$ . ( γνωστός μη μηδενικός πραγματικός αριθμός ) .

Καλημέρα κύριε Θανάση!

Έστω $a-\omega,a,a+\omega$ οι διαδοχικοί όροι της προόδου.

Τότε, πρέπει $a-\omega+a+a+\omega=S \Leftrightarrow S=3a$ , δηλαδή $a=\dfrac{S}{3}$

Ακόμη, πρέπει $\displaystyle \frac{1}{a-\omega}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a+\omega}=\frac{1}{S} \Leftrightarrow \frac{1}{a-\omega}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a+\omega}=\frac{1}{S}=\frac{1}{3a} \Leftrightarrow ... \omega^2=4a^2 \Leftrightarrow$
$\omega=2a$ ή $\omega=-2a$ , δηλαδή $\omega=\dfrac{2S}{3}$ ή $\omega=-\dfrac{2S}{3}$ .

Εύκολα λοιπόν καταλήγουμε ότι οι τρεις αυτοί διαδοχικοί όροι είναι οι $-\dfrac{S}{3},\dfrac{S}{3},S$ ή $S,\dfrac{S}{3},-\dfrac{S}{3}$ .

#3

KARKAR έγραψε:Βρείτε τρεις διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου , οι οποίοι έχουν άθροισμα

και άθροισμα αντιστρόφων $\dfrac{1}{S}$ . ( γνωστός μη μηδενικός πραγματικός αριθμός ) .

Καλημέρα.

Ας είναι a = x - w,b = x,c = x + w

οι αριθμοί που ζητάμε . Θα ισχύουν :

$\left\{ \begin{gathered} a + b + c = S \hfill \\ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{S} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 3x = S \hfill \\ \frac{3}{{S - 3w}} + \frac{3}{S} + \frac{3}{{S + 3w}} = \frac{1}{S} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ . Η δεύτερη δίδει:

$4{S^2} = 9{w^2}$ και άρα $w = \pm \dfrac{{2S}}{3}$ .

1. Αν $w = \dfrac{{2S}}{3}$ οι αριθμοί είναι: $- \dfrac{S}{3}, \dfrac{S}{3}, S$ .

2. Αν $w = - \dfrac{{2S}}{3}$ οι αριθμοί είναι: $S, \dfrac{S}{3}, - \dfrac{S}{3}$ ,

Φιλικά Νίκος

#4

Με διαφορά φάσεως ενός δευτερολέπτου και ακριβώς ή ίδια με του εκπληκτικού Ορέστη .

Την αφήνω για τον κόπο .

Φιλικά Νίκος

#5

KARKAR έγραψε:Βρείτε τρεις διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου , οι οποίοι έχουν άθροισμα

και άθροισμα αντιστρόφων $\dfrac{1}{S}$ . ( γνωστός μη μηδενικός πραγματικός αριθμός ) .

Καλημέρα στον θεματοδότη, στο Νίκο και στον εξαιρετικό Ορέστη! Καλημέρα σε όλους!

Έστω a, b, c

οι διαδοχικοί όροι. Τότε a+c=2b

, απ' όπου παίρνουμε $\boxed{b = \frac{S}{3}}$

Είναι ακόμα $\displaystyle{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{S} \Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{1}{S} - \frac{3}{S} \Leftrightarrow \frac{{a + c}}{{ac}} = - \frac{2}{S} \Leftrightarrow ac = - bS \Leftrightarrow }$ $\boxed{ac = - \frac{{{S^2}}}{3}}$

Οι a, c

προσδιορίζονται τώρα ως οι ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle{{x^2} - 2\frac{S}{3}x - \frac{{{S^2}}}{3} = 0 \Leftrightarrow x = S \vee x = - \frac{S}{3}}$

Άρα ο μεσαίος όρος είναι $\displaystyle{\frac{S}{3}}$ και οι άλλοι δύο $\displaystyle{S}$ και $\displaystyle{ - \frac{S}{3}}$

#6

Πάντως με προβληματίζει που κολλάει ο... "Θαλής" του Θανάση.

KARKAR · #7

Το "Θαλής" βγαίνει από το όνομα της πρώτης φάσης του διαγωνισμού της Ε.Μ.Ε. Είναι χαρακτηρισμός

για θέματα διαγωνιστικά μεν ( ανώτερα των συνήθων σχολικών ) , σχετικά απλών δε ...

Άλγεβρα ... Θαλή Α' Λυκείου

Άλγεβρα ... Θαλή Α' Λυκείου

Re: Άλγεβρα ... Θαλή Α' Λυκείου

Re: Άλγεβρα ... Θαλή Α' Λυκείου

Re: Άλγεβρα ... Θαλή Α' Λυκείου

Re: Άλγεβρα ... Θαλή Α' Λυκείου

Re: Άλγεβρα ... Θαλή Α' Λυκείου

Re: Άλγεβρα ... Θαλή Α' Λυκείου

Μέλη σε σύνδεση