Μια Διοφαντική!

Ορέστης Λιγνός · #1

Καλησπέρα! Η πρώτη μου δημοσίευση!

Να λυθεί η εξίσωση 3^k+5^l=m^2

με k,l,m πρώτους.

#2

orestis26 έγραψε: Να λυθεί η εξίσωσημε k,l,m πρώτους.

To "m πρώτος" κάνει την άσκηση τετριμμένη αφού το αριστερό μέλος είναι "περιττός + περιττός = άρτιος" οπότε m=2

(o μόνος άρτιος πρώτος) που όμως εύκολα απορρίπτεται αφού το αριστερό μέλος είναι $\ge 8$ .

Οπότε ας βελτιώσουμε την άσκηση αίροντας την υπόθεση ότι m πρώτος (μας αρκεί "m φυσικός").

Για k=2

η εξίσωση γράφεται 5^l = (m-3)(m+3)

από όπου

για φυσικούς a, b

με

. Συνεπώς

που είναι αδύνατη (άμεσο καθώς σίγουρα $a\ne 0$ αλλά τότε το δεξί μέλος είναι πολλαπλάσιο του

ενώ το

δεν είναι).

Όμοια απορρίπτουμε την l=2

καθώς οδηγεί στην αδύνατη 10=3^b-3^a

.

Άρα μπορούμε να υποθέσουμε ότι $k, \, l$ περιττοί. Τότε όμως η αρχική μόντουλο

δίνει $0+2\equiv m^2 mod 3$ , που δεν γίνεται. Άρα η εξίσωση είναι αδύνατη.

christodoulos703 · #3

Γεια σας.

Πιστεύω ότι αυτή ή άσκηση λύνεται με το να χρησιμοποιήσουμε τα τελευταί ψηφια των δύνα μεων.Θα το εξηγήσω λίγο αναλυτικά αργότερα.

Με εκτίμηση,
Χριστοδουλος.

Μια Διοφαντική!

Μια Διοφαντική!

Re: Μια Διοφαντική!

Re: Μια Διοφαντική!

Μέλη σε σύνδεση