Εξισώσεις στους ακεραίους
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan
Εξισώσεις στους ακεραίους
Ζήλεψα από τον Μπάμπη .
1)
Να λύσετε στο σύνολο των ακεραίων την εξίσωση
1)
Να λύσετε στο σύνολο των ακεραίων την εξίσωση
τελευταία επεξεργασία από mathxl σε Τετ Νοέμ 16, 2011 6:07 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος
Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος
Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Εξίσωση στους ακεραίους
Η εξίσωση γράφεται ωςmathxl έγραψε:1) Να λύσετε στο σύνολο των ακεραίων την εξίσωση
Άρα πρέπει αφού
Από εδώ βρίσκουμε για το τις τιμές
Αν βρίσκουμε άρα
Αν βρίσκουμε αδύνατη στο
Αν βρίσκουμε άρα
Αν βρίσκουμε αδύνατη στο
Αν βρίσκουμε
Μάγκος Θάνος
Re: Εξίσωση στους ακεραίους
Πολύ ωραία ιδέα! ( Κύριε Μάγκο τα συγχαρητήριά μου προλάβατε να την σκεφτείτε και να την γράψετε μέσα σε 8 λεπτά!)
τελευταία επεξεργασία από pito σε Δευ Νοέμ 14, 2011 11:44 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
Re: Εξίσωση στους ακεραίους
Θάνο ευχαριστώ, μια ακόμη
2)
πάλι στους ακεραίους. Υπάρχει και άλλη αντιμετώπιση εκτός αυτής του Θάνου.
2)
πάλι στους ακεραίους. Υπάρχει και άλλη αντιμετώπιση εκτός αυτής του Θάνου.
τελευταία επεξεργασία από mathxl σε Τετ Νοέμ 16, 2011 5:48 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος
Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος
Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
-
- Δημοσιεύσεις: 711
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 05, 2011 9:13 pm
Re: Εξίσωση στους ακεραίους
Για έχω
και για αδύνατη.
Παραγοντοποιώντας έχω:
Όμως και αφού πρέπει:
άρα και ή άρα και .
Ομοίως βρίσκουμε και τις αρνητικές λύσεις.
Φιλικά,
Σωκράτης
και για αδύνατη.
Παραγοντοποιώντας έχω:
Όμως και αφού πρέπει:
άρα και ή άρα και .
Ομοίως βρίσκουμε και τις αρνητικές λύσεις.
Φιλικά,
Σωκράτης
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Εξίσωση στους ακεραίους
Η εξίσωση γράφεταιmathxl έγραψε:Θάνο ευχαριστώ, μια ακόμη πάλι στους ακεραίους. Υπάρχει και άλλη αντιμετώπιση εκτός αυτής του Θάνου.
Αυτή έχει διακρίνουσα και πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο, δηλαδή να υπάρχει ακέραιος ώστε
ή αλλιώς
Γράφοντας το ως γινόμενο υπό τη μορφή ή ή ή βρίσκουμε για το τις τιμές και τότε τα αντίστοιχα είναι και Όλα τα ζεύγη ικανοποιούν και την αρχική.
Τελικά οι λύσεις είναι οι
Μάγκος Θάνος
Re: Εξίσωση στους ακεραίους
Ο άλλος τρόπος που έχω υπόψη μου είναι αυτός του Σωκράτη, δηλαδή παραγοντοποίηση με γινόμενο κάποιον ακέραιο με βολικούς διαιρέτες
κτλ
mathxl έγραψε: πάλι στους ακεραίους
κτλ
τελευταία επεξεργασία από Φωτεινή σε Τρί Νοέμ 29, 2011 9:06 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: προσθήκη εκφώνησης
Λόγος: προσθήκη εκφώνησης
Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος
Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος
Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Re: Εξίσωση στους ακεραίους
και μια τρίτη στην παρέα.
3)
Ομοίως να λυθεί η εξίσωση στους ακεραίους
3)
Ομοίως να λυθεί η εξίσωση στους ακεραίους
τελευταία επεξεργασία από mathxl σε Τετ Νοέμ 16, 2011 5:49 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος
Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος
Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Εξίσωση στους ακεραίους
mathxl έγραψε:και μια τρίτη στην παρέα. Ομοίως να λυθεί η εξίσωση στους ακεραίους
Φανερά ο είναι πολλαπλάσιο του . Ας είναι λοιπόν
Τότε, η εξίσωση γράφεται δηλαδή
Από εδώ είναι ή
Βρίσκουμε ή
Άρα, τελικά ή
Μάγκος Θάνος
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Εξίσωση στους ακεραίους
Είναι φανερό ότι άρα οπότε αντικαθιστώντας, η εξίσωση γράφεταιmathxl έγραψε:και μια τρίτη στην παρέα. Ομοίως να λυθεί η εξίσωση στους ακεραίους
δηλαδή (είναι )
Όμως άρα πρέπει δηλαδή ή
Αν τότε και
Αν τότε και
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
Re: Εξίσωση στους ακεραίους
4)
Να λυθει στους ακεραίους και αυτή
Να λυθει στους ακεραίους και αυτή
τελευταία επεξεργασία από mathxl σε Τετ Νοέμ 16, 2011 5:49 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος
Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος
Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Εξίσωση στους ακεραίους
Θέτουμε με ακέραιους. Τότε, η εξίσωση γράφεταιmathxl έγραψε:Να λυθει στους ακεραίους και αυτή
Πρέπει να ισχύει .
Επειδή είναι
Βρίσκουμε αντίστοιχα Άρα
Άρα προκύπτουν οι τιμές
Μάγκος Θάνος
- Αρχιμήδης 6
- Δημοσιεύσεις: 1205
- Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ
Re: Εξίσωση στους ακεραίους
Και εγώ τις ίδιες βρήκα . Απλά να προσθέσω στην λύση του κυρίου Θάνου ότι αναγκαία και ικανή συνθήκη ώστε για κάθε ζεύγος ακεραίων να υπάρχουν ακέραιοι ώστε , είναι να ισχύει . Οπότε στην περίπτωση μας δικαιολογείται η ύπαρξη των γιατί πάντα σύμφωνα με την εξίσωσή μας . (Aν ο ένας είναι άρτιος και ο άλλος περιττός η εξίσωση δεν έχει λύσεις . )
Για να μην κάνουμε αυτή την διαδικασία θα μπορούσαμε απλά να θέσουμε , ...
Για να μην κάνουμε αυτή την διαδικασία θα μπορούσαμε απλά να θέσουμε , ...
Λάθε βιώσας-Επίκουρος
Κανακάρης Δημήτριος.
Κανακάρης Δημήτριος.
- Αρχιμήδης 6
- Δημοσιεύσεις: 1205
- Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ
Re: Εξίσωση στους ακεραίους
5)
Να λυθεί η εξίσωση στους φυσικούς :
Να λυθεί η εξίσωση στους φυσικούς :
Λάθε βιώσας-Επίκουρος
Κανακάρης Δημήτριος.
Κανακάρης Δημήτριος.
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Εξίσωση στους ακεραίους
Ας θέσουμε οπότεΑρχιμήδης 6 έγραψε:Να λυθεί η εξίσωση στους φυσικούς :
Η εξίσωση γράφεται τότε, δηλαδή
Το ότι ο στην παραπάνω σχέση είναι ακέραιος, είναι φανερό, αφού το γινόμενο διαδοχικών ακεραίων είναι άρτιος.
Επομένως βρίσκουμε για το
Είναι εύκολο να δούμε ότι όλα τα ζευγάρια ικανοποιούν την αρχική.
Υ.Γ. Βασίλη, μήπως θα έπρεπε να αλλάξει ο τίτλος από "Εξίσωση στους ακεραίους" σε "Εξισώσεις στους ακεραίους";
Μάγκος Θάνος
- Αρχιμήδης 6
- Δημοσιεύσεις: 1205
- Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ
Re: Εξίσωση στους ακεραίους
Σωστά Θάνο. Να σημειωθεί ότι η εξίσωση προτάθηκε για την ουσία των λύσεων που είναι οι τριγωνικοί αριθμοί . Όι τριγωνικοί αριθμοί είναι ης μορφής και η ιδιότητα των τριγωνικών αριθμών είναι η εξίσωση που προτάθηκε για επίλυση . Για 2 διαδοχικούς τριγωνικούς ισχύει .
Λάθε βιώσας-Επίκουρος
Κανακάρης Δημήτριος.
Κανακάρης Δημήτριος.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Εξίσωση στους ακεραίους
6)
Να λυθεί στους ακεραίους:
Να λυθεί στους ακεραίους:
τελευταία επεξεργασία από socrates σε Παρ Νοέμ 18, 2011 4:26 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Θανάσης Κοντογεώργης
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Εξίσωση στους ακεραίους
socrates έγραψε:Να λυθεί στους ακεραίους:
Έχουμε να λύσουμε την εξίσωση
Επειδή ο είναι πρώτος και ισχύει υπάρχουν οι δυνατότητες
α)
β)
Στην πρώτη περίπτωση έχουμε και
άρα άτοπο, αφού ο δε διαιρείται από το .
Στη δεύτερη περίπτωση, η 2η σχέση γράφεται
Από εδώ φαίνεται ότι πρέπει δύο από τα τρία τετράγωνα να ισούνται με και το 3ο με
Ας είναι π.χ. οπότε δηλαδή ή
Για από την άλλη εξίσωση έχουμε άρα οπότε
Αν η άλλη εξίσωση γράφεται αδύνατη, αφού το δε διαιρείται με το .
Άρα, τελικά οι λύσεις της αρχικής είναι η και οι μεταθέσεις της.
EDIT* Αφού έγραψα τη λύση παρατηρώ ότι αντί για έγραφα
Μάγκος Θάνος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Εξίσωση στους ακεραίους
7)
Άλλη μια (λίγο πιο δύσκολη ):
Άλλη μια (λίγο πιο δύσκολη ):
τελευταία επεξεργασία από socrates σε Παρ Νοέμ 18, 2011 4:26 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Θανάσης Κοντογεώργης
Re: Εξίσωση στους ακεραίους
Καλή ιδέα θα βάλω και αρίθμηση σε κάθε άσκηση για να μην χάσουμε την μπάλα.matha έγραψε:
Υ.Γ. Βασίλη, μήπως θα έπρεπε να αλλάξει ο τίτλος από "Εξίσωση στους ακεραίους" σε "Εξισώσεις στους ακεραίους";
Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος
Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος
Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες