Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4770
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
Επειδή πολλοί μαθητές του Γυμνασίου ενδιαφέρονται για τους διαγωνισμούς που γίνονται κάθε χρόνο, αλλά δεν έχουν αποκτήσει την εμπειρία σχετικά με τα θέματα που μπαίνουν, προτείνω να ξεκινήσουμε να βάζουμε θέματα που είτε έχουν τεθεί παλιά ή είναι παρόμοιου επιπέδου αρχίζοντας με εύκολα, ώστε να μπουν σιγά σιγά στο νόημα οι αρχάριοι αλλά ταλαντούχοι μαθητές. Επίσης προτείνω να αφήνουμε για 5 ημέρες το κάθε θέμα ώστε να απαντηθεί από τους μαθητές και αν όχι να γράφουμε εμείς μια λύση (ή περισσότερες αν υπάρχουν) .
Ξεκινάω με μια άσκηση που έχει τεθεί παλιά από την ΕΜΕ στην Β Γυμνασίου:
ΑΣΚΗΣΗ 1: Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:
(Ας το αφήσουμε να απαντηθεί από μαθητές μέχρι 22-5-2011)
Ιωάννου Δημήτρης
Ξεκινάω με μια άσκηση που έχει τεθεί παλιά από την ΕΜΕ στην Β Γυμνασίου:
ΑΣΚΗΣΗ 1: Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:
(Ας το αφήσουμε να απαντηθεί από μαθητές μέχρι 22-5-2011)
Ιωάννου Δημήτρης
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί
Καλημέρα
Πολύ ωραία αυτή η πρωτοβουλία κ.Δημήτρη για το να ανοίξετε ένα τέτοιο θέμα.Εγώ όσο μπορώ θα ασχολούμαι...Ελπίζω να δούμε και ασκήσεις δικιά σας επινόησης αλλά και όλων των καθηγητών του .
edit:Ευχαριστώ Σωκράτη για την διόρθωση.
Πολύ ωραία αυτή η πρωτοβουλία κ.Δημήτρη για το να ανοίξετε ένα τέτοιο θέμα.Εγώ όσο μπορώ θα ασχολούμαι...Ελπίζω να δούμε και ασκήσεις δικιά σας επινόησης αλλά και όλων των καθηγητών του .
Για το Α:ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε: ΑΣΚΗΣΗ 1: Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:
Για το Β:ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε: ΑΣΚΗΣΗ 1: Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:
edit:Ευχαριστώ Σωκράτη για την διόρθωση.
τελευταία επεξεργασία από ΑΡΣΕΝΟΗ σε Τετ Μάιος 18, 2011 7:27 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Μερικές φορές είναι τα μικρότερα πράγματα αυτά,
που γεμιζουν το μεγαλύτερο κομμάτι της καρδιάς μας...
που γεμιζουν το μεγαλύτερο κομμάτι της καρδιάς μας...
-
- Δημοσιεύσεις: 711
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 05, 2011 9:13 pm
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί
Αρσενόη έχεις κάνει ένα λάθος στο αποτέλεσμα του Α..για κοίταξέ το πάλι.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4770
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί
Αρσενόη, ένα μεγάλο μπράβο, που παρόλο ότι γράφεις άλλα μαθήματα, βρίσκεις τον χρόνο και ασχολείσαι και με τέτοια θέματα.
Συνεχίζω με δύο ακόμα ασκήσεις. (Η μία έχει τεθεί σε διαγωνισμό της ΕΜΕ στην Γ Γυμνασίου)
ΑΣΚΗΣΗ 2.: Να βρείτε την τιμή της παράστασης:
ΑΣΚΗΣΗ 3.: Αν , να βρείτε την τιμή της παράστασης
Συνεχίζω με δύο ακόμα ασκήσεις. (Η μία έχει τεθεί σε διαγωνισμό της ΕΜΕ στην Γ Γυμνασίου)
ΑΣΚΗΣΗ 2.: Να βρείτε την τιμή της παράστασης:
ΑΣΚΗΣΗ 3.: Αν , να βρείτε την τιμή της παράστασης
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί
Το 2n είναι σίγουρα άρτιος αριθμός οπότε την πρώτη φορά προσθέτοντας του το 2011 που είναι περιττός το άθροισμα τους γίνεται και αυτό περιττός αριθμός, άρα το θα γίνει -1.ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 2.: Να βρείτε την τιμή της παράστασης:
Εφόσον το 2n+2011 είναι περιττός το 2n+2012 είναι άρτιος άρα το γίνεται 1.
Άρα έχω:
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί
Θα ξεκινήσω αναλύοντας μόνο του το κλάσμα.ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 3.: Αν , να βρείτε την τιμή της παράστασης
Άρα τώρα έχω:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4770
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί
Μπράβο Γιώτα.
Συνεχίζω με δύο ακόμα θέματα που έχουν τεθεί σε διαγωνισμό της ΕΜΕ στην Β και στην Γ Γυμνασίου:
ΑΣΚΗΣΗ 4.: Δίνονται οι αριθμοί:
όπου άρτιος φυσικός αριθμός.
Να συγκριθούν οι αριθμοί
ΑΣΚΗΣΗ 5. Αν
,, όπου θετικός ακέραιος, να βρεθεί ποιος από τους αριθμούς και είναι μεγαλύτερος.
Συνεχίζω με δύο ακόμα θέματα που έχουν τεθεί σε διαγωνισμό της ΕΜΕ στην Β και στην Γ Γυμνασίου:
ΑΣΚΗΣΗ 4.: Δίνονται οι αριθμοί:
όπου άρτιος φυσικός αριθμός.
Να συγκριθούν οι αριθμοί
ΑΣΚΗΣΗ 5. Αν
,, όπου θετικός ακέραιος, να βρεθεί ποιος από τους αριθμούς και είναι μεγαλύτερος.
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε: ΑΣΚΗΣΗ 4.: Δίνονται οι αριθμοί:
όπου άρτιος φυσικός αριθμός.
Να συγκριθούν οι αριθμοί
Αρα ο αριθμός αφού είναι άρτιος.
Αρα
Αφού τα δυο κλάσματα έχουν τον ίδιο αριθμητή το μεγαλύτερο είναι αυτό με το μικρότερο παρονομαστή. Άρα πρέπει να συγκρίνω το και .ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 5. Αν
,, όπου θετικός ακέραιος, να βρεθεί ποιος από τους αριθμούς και είναι μεγαλύτερος.
Το είναι σαφώς μικρότερο άρα
Έκανα λάθος.
Aυτό ισχύει μόνο όταν το είναι άρτιος. Οταν το είναι περιττός το πρόσημο είναι μείον οποτε μεγαλύτερος είναι ο . Το ισχύει μόνο για τις απόλυτες τιμές.
τελευταία επεξεργασία από Γιώτα σε Πέμ Μάιος 19, 2011 11:08 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4770
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί
Ωραίες λύσεις!!
Πριν συνεχίσω τις υπόλοιπες ασκήσεις, θα ήθελα να παραθέσω μερικές παρατηρήσεις για να ανεβάσουμε λίγο τον πήχη.
(α) Αν ένας αριθμός λήγει σε 0 ή 1 ή 5 ή 6, τότε κάθε δύναμη που έχει βάση τον αριθμό αυτό θα λήγει επίσης σε 0 ή 1ή 5 ή 6 αντίστοιχα.
(β) Ένας φυσικός αριθμός που λήγει σε 2 ή 3 ή 7 ή 8, δεν μπορεί να είναι τετράγωνος (δηλ. δεν μπορεί να πάρει την μορφή τετραγώνου φυσικού αριθμού)
Από τις δύο επόμενες ασκήσεις, η μία έχει τεθεί σε διαγωνισμό της ΕΜΕ για την Γ Γυμνασίου.
ΑΣΚΗΣΗ 6: Αν
να συγκρίνετε τους αριθμούς και
ΑΣΚΗΣΗ 7: Να βρείτε το ψηφίο των μονάδων του αριθμού
Πριν συνεχίσω τις υπόλοιπες ασκήσεις, θα ήθελα να παραθέσω μερικές παρατηρήσεις για να ανεβάσουμε λίγο τον πήχη.
(α) Αν ένας αριθμός λήγει σε 0 ή 1 ή 5 ή 6, τότε κάθε δύναμη που έχει βάση τον αριθμό αυτό θα λήγει επίσης σε 0 ή 1ή 5 ή 6 αντίστοιχα.
(β) Ένας φυσικός αριθμός που λήγει σε 2 ή 3 ή 7 ή 8, δεν μπορεί να είναι τετράγωνος (δηλ. δεν μπορεί να πάρει την μορφή τετραγώνου φυσικού αριθμού)
Από τις δύο επόμενες ασκήσεις, η μία έχει τεθεί σε διαγωνισμό της ΕΜΕ για την Γ Γυμνασίου.
ΑΣΚΗΣΗ 6: Αν
να συγκρίνετε τους αριθμούς και
ΑΣΚΗΣΗ 7: Να βρείτε το ψηφίο των μονάδων του αριθμού
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί
Καλημέρα...
Άρα
Επομένως
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 6: Αν
να συγκρίνετε τους αριθμούς και
Άρα
Επομένως
Τον αριθμό μπορούμε να τον γράψουμε ώς . Ο λήγει σε 1 άρα οποιαδήποτε δύναμη του θα λήγει σε 1.Άρα ο αριθμός λήγει σε 1.ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 7: Να βρείτε το ψηφίο των μονάδων του αριθμού
τελευταία επεξεργασία από ΑΡΣΕΝΟΗ σε Πέμ Μάιος 19, 2011 1:42 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Μερικές φορές είναι τα μικρότερα πράγματα αυτά,
που γεμιζουν το μεγαλύτερο κομμάτι της καρδιάς μας...
που γεμιζουν το μεγαλύτερο κομμάτι της καρδιάς μας...
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4770
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί
Ωραίες οι λύσεις. ( Το γιατί ο αριθμός b είναι ο μεγαλύτερος, το αφήνω να το ξανασκεφτείς όταν έχεις χρόνο. Είναι πολύ εύκολο).
Συνεχίζω (όσο εσείς λύνετε) με δύο ακόμα ασκήσεις που η μία έχει τεθεί σε διαγωνισμό της ΕΜΕ για την Γ ΄Γυμνασίου:
ΑΣΚΗΣΗ 8:
Να αποδείξετε ότι ο αριθμός: δεν είναι τέλειο τετράγωνο (ακεραίου)
ΑΣΚΗΣΗ 9.:
Να βρεθεί το ψηφίο των μονάδων του αριθμού :
Συνεχίζω (όσο εσείς λύνετε) με δύο ακόμα ασκήσεις που η μία έχει τεθεί σε διαγωνισμό της ΕΜΕ για την Γ ΄Γυμνασίου:
ΑΣΚΗΣΗ 8:
Να αποδείξετε ότι ο αριθμός: δεν είναι τέλειο τετράγωνο (ακεραίου)
ΑΣΚΗΣΗ 9.:
Να βρεθεί το ψηφίο των μονάδων του αριθμού :
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί
Τον αριθμό Α μπορώ να τον γράψω και με τη μορφή:ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε: ΑΣΚΗΣΗ 8:
Να αποδείξετε ότι ο αριθμός: δεν είναι τέλειο τετράγωνο (ακεραίου)
Άρα το τελευταίο ψηφίο του Α είναι που σημαίνει ότι σίγουρα δεν είναι τέλειο τετράγωνο κανενός ακέραιου αριθμού.
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί
Το ψηφίο των μονάδων του είναι ίσο με:ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 9.:
Να βρεθεί το ψηφίο των μονάδων του αριθμού :
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί
επειδη το 129 τελειώνει σε 9 οταν πολλαπλασιάζουμε τα εννιαρια περνουμε 1 αν τα εννιαρια ειναι αρτιος αριθμος και 9 αν ταΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 7 Να βρείτε το ψηφίο των μονάδων του αριθμού
εννιαρια ειναι περιτος αριθμος
π.χ 9.9.=81 81.9=729 729.9=6561
εδω το 129 το έχουμε 500ιες φορες αρά ο αριθμός τελειώνει σε 1
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4770
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί
Ένα μπράβο και στο μικρό "αστεράκι" του mathematica, T-rex.
Από τις επόμενες δύο ασκήσεις που ακολουθούν, η μία έχει τεθεί σε διαγωνισμό της ΕΜΕ για την Γ Γυμνασίου
ΑΣΚΗΣΗ 10:
Να εξετάσετε αν ο αριθμός διαιρείται
(α) με το 2
(β) με το 5
ΑΣΚΗΣΗ 11:
Οι ακέραιοι και είναι ανάλογοι προς τον αριθμητή και τον παρονομαστή αντίστοιχα του κλάσματος που προκύπτει από την μετατροπή σε κλασματική μορφή του δεκαδικού περιοδικού αριθμού α=4,333...
Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:
Από τις επόμενες δύο ασκήσεις που ακολουθούν, η μία έχει τεθεί σε διαγωνισμό της ΕΜΕ για την Γ Γυμνασίου
ΑΣΚΗΣΗ 10:
Να εξετάσετε αν ο αριθμός διαιρείται
(α) με το 2
(β) με το 5
ΑΣΚΗΣΗ 11:
Οι ακέραιοι και είναι ανάλογοι προς τον αριθμητή και τον παρονομαστή αντίστοιχα του κλάσματος που προκύπτει από την μετατροπή σε κλασματική μορφή του δεκαδικού περιοδικού αριθμού α=4,333...
Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5956
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί
Επειδή ο ΔΗΜΗΤΡΗΣ ξεκίνησε μία πολύ ωραία παρέμβαση ουσίας κόντρα στις λέξεις και επί του πρακτέου, θα προτείνω μία άσκηση από τις σημειώσεις του προπονητικού team της Εθνικής Βουλγαρίας για Juniors υπό τον καθηγητή Ivan Tonov.
ΑΣΚΗΣΗ 12 :
Να υπολογιστεί το ελάχιστο της παράστασης
προσδιορίζοντας ταυτόχρονα και τις τιμές των για τις οποίες το έχουμε.
S.E.Louridas
ΑΣΚΗΣΗ 12 :
Να υπολογιστεί το ελάχιστο της παράστασης
προσδιορίζοντας ταυτόχρονα και τις τιμές των για τις οποίες το έχουμε.
S.E.Louridas
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί
Καλησπέρα...ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 10:
Να εξετάσετε αν ο αριθμός διαιρείται
(α) με το 2
(β) με το 5
Ο αριθμός λήγει:
Ο μπορεί να γραφτεί ώς: .Το λήγει σε 1 άρα όλος ο αριθμός θα λήγει σε 1
Ο αριθμός μπορεί να γραφτεί ώς: .το λήγει σε 6, άρα όλος ο αριθμός θα λήγει σε 6.
Τέλος: 6+1=7 άρα όλος αυτός ο αριθμός θα λήγει σε 7.Το 7 όμως δε διαιρεί ούτε το 2 ούτε το 5.
Μερικές φορές είναι τα μικρότερα πράγματα αυτά,
που γεμιζουν το μεγαλύτερο κομμάτι της καρδιάς μας...
που γεμιζουν το μεγαλύτερο κομμάτι της καρδιάς μας...
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί
Λοιπόν ας ονομάσουμε Α την παράσταση .Έτσι .Συνεπώς η ελάχιστη τιμή της παράστασης είναι το 0 και λαμβάνεται όταν και όταν ,δηλαδή ότανS.E.Louridas έγραψε: ΑΣΚΗΣΗ 12.
« Να υπολογιστεί το ελάχιστο της παράστασης
προσδιορίζοντας ταυτόχρονα και τις τιμές των x, y για τις οποίες το έχουμε»
S.E.Louridas
Δημήτρης.
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5956
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί
ΑΣΚΗΣΗ 13 : (Από την ίδια πηγή)
Έστω Μ,Ν τα μέσα των πλευρών DC, AB ενός τετράπλευρου ABCD.
Υπολογίστε την τιμή της παράστασης:
(*) όταν έχουμε ευθύγραμμο σχήμα μέσα σε παρένθεση εννοούμε το εμβαδόν του.
S.E.Louridas
Έστω Μ,Ν τα μέσα των πλευρών DC, AB ενός τετράπλευρου ABCD.
Υπολογίστε την τιμή της παράστασης:
(*) όταν έχουμε ευθύγραμμο σχήμα μέσα σε παρένθεση εννοούμε το εμβαδόν του.
S.E.Louridas
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5956
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί
ΑΣΚΗΣΗ 14 : (Ομοίως από την ίδια πηγή)
Έστω
Να αποδειχθεί ότι :
S.E.Louridas
Έστω
Να αποδειχθεί ότι :
S.E.Louridas
τελευταία επεξεργασία από S.E.Louridas σε Πέμ Μάιος 19, 2011 7:04 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες