Μέγιστη τιμή παράστασης

Tolaso J Kos · #1

Έστω

τρίγωνο. Να υπολογιστεί η μέγιστη τιμή της παράστασης: $R= \sqrt{2} \sin A +\sqrt{5} \sin B + \sqrt{10} \sin C$ .

Δεν έχω λύση.

KARKAR · #2

Χρήση των διανυσμάτων : ( $\sqrt{2},\sqrt{5},\sqrt{10}$ ) , (sinA , sinB , sin(A +B))

;

#3

Tolaso J Kos έγραψε:Έστω τρίγωνο. Να υπολογιστεί η μέγιστη τιμή της παράστασης: $R= \sqrt{2} \sin A +\sqrt{5} \sin B + \sqrt{10} \sin C$ .

Είναι

$\displaystyle{R=\sqrt{2}\sin A+\sqrt{5}\sin B+\sqrt{10}\sin C=\sin A \cdot \sqrt{2} +1\cdot \sqrt{5}\sin B+\sin A\cdot \sqrt{10}\cos B+\sqrt{2}\cos A\cdot \sqrt{5}\sin B\stackrel{Cauchy-Schwarz}{\leq }}$

$\displaystyle{\leq \sqrt{\sin ^2A+1^2+\sin ^2A+2\cos ^2 A}\sqrt{\sqrt{2}^2+5\sin ^2 B+10\cos ^2 B+5\sin ^2B}=\sqrt{3}\sqrt{12}=6.}$

Η ισότητα ισχύει όταν οι τετράδες

$\displaystyle{(\sin A,1,\sin A,\sqrt{2}\cos A),\quad (\sqrt{2},\sqrt{5}\sin B,\sqrt{10}\cos B, \sqrt{5}\cos B)}$

είναι ανάλογες.

Εύκολα βλέπουμε ότι αυτό συμβαίνει όταν $\displaystyle{\tan A=2\quad \cos B=\frac{1}{\sqrt{5}}.}$

Άρα $\displaystyle{\boxed{\max R=6.}}$

$\displaystyle{\rule{600pt}{1pt}}$

KARKAR έγραψε:Χρήση των διανυσμάτων : ( $\sqrt{2},\sqrt{5},\sqrt{10}$ ) , ;

Δυστυχώς αυτή η προσέγγιση είναι ατελέσφορη. Ας δούμε το γιατί.

Από Cauchy-Schwarz σε αυτά τα διανύσματα προκύπτει

$\displaystyle{R\leq \sqrt{2+5+10}\sqrt{\sin ^2A+\sin ^2B+\sin ^2C}=\sqrt{17}\sqrt{\sin ^2A+\sin ^2B+\sin ^2C}.}$

Αν τώρα θυμηθούμε ότι σε κάθε τρίγωνο ισχύει

$\displaystyle{\sin ^2A+\sin ^2B+\sin ^2C\leq \frac{9}{4}}$

μπορούμε να συμπεράνουμε ότι $\displaystyle{R\leq \frac{3}{2}\sqrt{17}.}$

Είναι όμως αυτή η μέγιστη τιμή; Όχι! Ο λόγος είναι ότι στις δύο ανισότητες που χρησιμοποιήθηκαν η ισότητα ισχύει σε διαφορετικές περιπτώσεις.

Συγκεκριμένα, στην Cauchy-Schwarz η ισότητα ισχύει μόνο αν οι τριάδες $\displaystyle{(\sqrt{2},\sqrt{5},\sqrt{10}), (\sin A,\sin B,\sin C)}$ είναι ανάλογες, ενώ στη δεύτερη ανισότητα, ως γνωστόν, η ισότητα ισχύει αν-ν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.

Tolaso J Kos · #4

Θάνο, σε ευχαριστώ για τη λύση. Όμορφη προσέγγιση.

Μέγιστη τιμή παράστασης

Μέγιστη τιμή παράστασης

Re: Μέγιστη τιμή παράστασης

Re: Μέγιστη τιμή παράστασης

Re: Μέγιστη τιμή παράστασης

Μέλη σε σύνδεση