Σελίδα 1 από 1

Πλήθος και τιμές ριζών εξίσωσης

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιαν 10, 2017 3:25 pm
από DreamingMaths
Έστω η εξίσωση 2+\sqrt[5]{2x}+\sqrt[5]{\left (2x  \right )^2}+\sqrt[5]{\left (2x  \right )^3}-\sqrt[5]{\left (2x  \right )^4}=0

Θα ήθελα πολύ τη βοήθειά σας σε δύο ερωτήματα. Κάνω μία μελέτη σε εξισώσεις τέτοιου είδους και θα ήθελα να σας ρωτήσω:

1) Υπάρχει μήπως κάποια ειδική ονομασία για εξισώσεις τέτοιου είδους;
2) Μπορείτε να μου πείτε αναφορικά κάποιες μεθόδους με τις οποίες μπορούμε να βρούμε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης καθώς και τις τιμές τους; Με ενδιαφέρει πολύ και θέλω κατόπιν να ψάξω στο διαδίκτυο για περισσότερες πληροφορίες.

Σας ευχαριστώ εκ των προτέρων για το χρόνο σας, καλό σας απόγευμα!!!

Re: Πλήθος και τιμές ριζών εξίσωσης

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιαν 10, 2017 4:30 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Για το 1) δεν γνωρίζω.
Για το 2)

Θέτουμε t=\sqrt[5]{2x}

και γίνετε 2+t+t^{2}+t^{3}-t^{4}=0

αυτή είναι πολυωνυμική 4ου βαθμού οπότε υπάρχει μέθοδος λύσης.(αν δεν την γνωρίζεις υπάρχει στο διαδίκτυο)

Re: Πλήθος και τιμές ριζών εξίσωσης

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιαν 10, 2017 5:57 pm
από DreamingMaths
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Για το 1) δεν γνωρίζω.
Για το 2)

Θέτουμε t=\sqrt[5]{2x}

και γίνετε 2+t+t^{2}+t^{3}-t^{4}=0

αυτή είναι πολυωνυμική 4ου βαθμού οπότε υπάρχει μέθοδος λύσης.(αν δεν την γνωρίζεις υπάρχει στο διαδίκτυο)
Σας ευχαριστώ πολύ για την ανταπόκρισή σας, αυτό τον απλό μετασχηματισμό δεν τον σκέφτηκα...

Και όσο αφορά μία πιο σύνθετη, την εξίσωση

3+\sqrt[5]{x+\sqrt{x^2-1}}+\sqrt[5]{x-\sqrt{x^2-1}}+\sqrt[5]{\left (x+\sqrt{x^2-1}  \right )^2}+\sqrt[5]{\left (x-\sqrt{x^2-1}  \right )^2}=0

μπορούμε να απαντήσουμε στο δεύτερο ερώτημα;

Σας ευχαριστώ θερμά και πάλι!!

Re: Πλήθος και τιμές ριζών εξίσωσης

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιαν 10, 2017 6:13 pm
από dement
Παρατήρησε ότι \displaystyle x + \sqrt{x^2 - 1} = \frac{1}{x - \sqrt{x^2 - 1}} και η εξίσωση γίνεται και αυτή τεταρτοβάθμια (δευτεροβάθμια με λίγη δουλίτσα).

Re: Πλήθος και τιμές ριζών εξίσωσης

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιαν 10, 2017 6:43 pm
από Mihalis_Lambrou
DreamingMaths έγραψε: 2) Μπορείτε να μου πείτε αναφορικά κάποιες μεθόδους με τις οποίες μπορούμε να βρούμε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης καθώς και τις τιμές τους;
Οι δύο στάνταρ τρόποι είναι ο Κανόνας των Προσήμων του Descartes και το Θεώρημα Sturm.

Θα βρεις άπειρο υλικό σε βιβλία με τίτλο Theory of Equations και στο διαδίκτυο (π.χ με αναζήτηση στα
Descartes' Rule of Signs και Sturm's Theorem)

Και οι δύο μέθοδοι είναι εξαιρετικές.

Βλέπε π.χ. τα

http://www.purplemath.com/modules/drofsign.htm

https://en.wikipedia.org/wiki/Descartes'_rule_of_signs

https://www.math.hmc.edu/funfacts/ffiles/20001.1.shtml

και αντίστοιχα τα

https://en.wikipedia.org/wiki/Sturm's_theorem

http://web.math.ucsb.edu/~padraic/mathc ... _Day_2.pdf

http://www2.washjeff.edu/users/mwolterm ... rie/24.pdf


Όσο για το ερώτημα εύρεσης των ριζών, εάν εννοείς με κλειστό τύπο, τότε πάμε σε βαθειά νερά: Επειδή οι ρίζες της πεμπτοβάθμιας και άνω δεν εκφράζονται με αλγεβρική παράσταση, βλέπε π.χ.

https://en.wikipedia.org/wiki/Abel%E2%8 ... ni_theorem

https://www.maa.org/sites/default/files ... /Rosen.pdf

http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/abel.pdf (βιβλίο)

χρειαζόμαστε Μαθηματικά πέρα από τα στοιχειώδη. Π.χ. για τις πεμπτοβάθμιες προσφεύγουμε στις ελλειπτικές συναρτήσεις. Δεν δίνω παραπομπή γιατί θέλουν πολύ καλό Μαθηματικό υπόβαθρο και μάλλον ξεφεύγουν.

Re: Πλήθος και τιμές ριζών εξίσωσης

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιαν 11, 2017 1:00 pm
από DreamingMaths
dement έγραψε:Παρατήρησε ότι \displaystyle x + \sqrt{x^2 - 1} = \frac{1}{x - \sqrt{x^2 - 1}} και η εξίσωση γίνεται και αυτή τεταρτοβάθμια (δευτεροβάθμια με λίγη δουλίτσα).
Σας ευχαριστώ από καρδιάς για το μετασχηματισμό που μου δώσατε, ο οποίος κάνει και αυτός στη σειρά, πιο εύκολο το ζητούμενο, όντως και με οδήγησε σε κάποια συμπεράσματα που θα ήθελα να έχω...
Mihalis_Lambrou έγραψε:
DreamingMaths έγραψε: 2) Μπορείτε να μου πείτε αναφορικά κάποιες μεθόδους με τις οποίες μπορούμε να βρούμε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης καθώς και τις τιμές τους;
Οι δύο στάνταρ τρόποι είναι ο Κανόνας των Προσήμων του Descartes και το Θεώρημα Sturm.

Θα βρεις άπειρο υλικό σε βιβλία με τίτλο Theory of Equations και στο διαδίκτυο (π.χ με αναζήτηση στα
Descartes' Rule of Signs και Sturm's Theorem)

Και οι δύο μέθοδοι είναι εξαιρετικές.

Βλέπε π.χ. τα

http://www.purplemath.com/modules/drofsign.htm

https://en.wikipedia.org/wiki/Descartes'_rule_of_signs

https://www.math.hmc.edu/funfacts/ffiles/20001.1.shtml

και αντίστοιχα τα

https://en.wikipedia.org/wiki/Sturm's_theorem

http://web.math.ucsb.edu/~padraic/mathc ... _Day_2.pdf

http://www2.washjeff.edu/users/mwolterm ... rie/24.pdf


Όσο για το ερώτημα εύρεσης των ριζών, εάν εννοείς με κλειστό τύπο, τότε πάμε σε βαθειά νερά: Επειδή οι ρίζες της πεμπτοβάθμιας και άνω δεν εκφράζονται με αλγεβρική παράσταση, βλέπε π.χ.

https://en.wikipedia.org/wiki/Abel%E2%8 ... ni_theorem

https://www.maa.org/sites/default/files ... /Rosen.pdf

http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/abel.pdf (βιβλίο)

χρειαζόμαστε Μαθηματικά πέρα από τα στοιχειώδη. Π.χ. για τις πεμπτοβάθμιες προσφεύγουμε στις ελλειπτικές συναρτήσεις. Δεν δίνω παραπομπή γιατί θέλουν πολύ καλό Μαθηματικό υπόβαθρο και μάλλον ξεφεύγουν.
Θέλω να σας δώσω πολλές θερμές ευχαριστίες για όλο αυτό το μαθηματικό υλικό που μπήκατε στον κόπο, με την ευγενή σας καρδιά να μου δώσετε!!!
Τα αγγλικά μου δεν είναι πολύ καλά, όμως θα τα διαβάσω οπωσδήποτε γιατί με ενδιαφέρουν πολύ...

Να είσαστε όλοι πάντα καλά, εύχομαι, καλή και όμορφη σας μέρα!!!

Ζητώ ειλικρινά συγνώμη από όλους σας και από όποια μέλη του mathematica.gr διάβασαν την αμέσως προηγούμενη απάντησή μου, λίγα δευτερόλεπτα πριν τη διαγράψω. Για κάποιους λόγους λόγω απροσεξίας μου, η απάντησή μου δεν ήταν η πρέπουσα...