πεπερασμενες ομαδες πινακων

pioni1 · #1

Έστω

πεπερασμένη υποομάδα της $GL_n(\mathbb C)$ (των αντιστρέψιμων $n \times n$ πινάκων με στοιχεία από το $\mathbb C$ ).
Αν $\sum _{g \in G}Tr(g) =0$ , τότε $\sum _{g \in G}g =0$

#2

Έστω $\displaystyle{k = \left| G \right|}$ και $\displaystyle{x = \frac{1}{k}\sum\limits_{g \in G} g .}$ Παρατηρούμε ότι για κάθε $\displaystyle{h \in G}$ η απεικόνιση $\displaystyle{G \to G:g \mapsto gh}$ είναι 1-1 και επί. Άρα, είναι:

$\displaystyle{{x^2} = {\left( {\frac{1}{k}\sum\limits_{g \in G} g } \right)^2} = \frac{1}{{{k^2}}}\sum\limits_{g \in G} {\sum\limits_{h \in G} {gh} } = \frac{1}{{{k^2}}}\sum\limits_{g \in G} {\sum\limits_{h \in G} g } = \frac{1}{k}\sum\limits_{h \in G} {\left( {\frac{1}{k}\sum\limits_{g \in G} g } \right)} = \frac{1}{k}\sum\limits_{h \in G} x = \frac{1}{k}kx = x.}$

Έτσι, ο πίνακας $\displaystyle{x}$ είναι ταυτοδύναμος (idempotent), οπότε το ίχνος του ισούται με την τάξη του (αφού εργαζόμαστε στο $\mathbb{C}$ και γενικότερα σε σώμα χαρακτηριστικής

). Επομένως,

$\displaystyle{{\rm{rank}}\left( x \right) = {\rm{tr}}\left( x \right) = \frac{1}{k}\sum\limits_{g \in G} {{\rm{tr}}\left( g \right)} = 0,}$

οπότε $\displaystyle{x = 0}$ και άρα $\displaystyle{\sum\limits_{g \in G} g = 0.}$

Σημείωση: Ευχαριστώ πολύ το Σταύρο Παπαδόπουλο για την επισήμανση μιας αβλεψίας.

πεπερασμενες ομαδες πινακων

πεπερασμενες ομαδες πινακων

Re: πεπερασμενες ομαδες πινακων

Μέλη σε σύνδεση