Η ωραία εφαπτομένη.pngΤα σημεία $M,N$ είναι τα μέσα των πλευρών $BC , CD$ αντίστοιχα , του ρόμβου $ABCD$ . Αν $\widehat{MAN}=90^0$ , υπολογίστε την $\tan\widehat{BAM}$ και τον λόγο των διαγωνίων του ρόμβου . Η ωραία εφαπτομένη.png Η $MO$ διέρχεται από το μέσο $P$ του $AN$ και είναι $\displaystyle A...

Ακέραιο Εμβαδόν ρόμβου.png Για το εσωτερικό σημείο $S$ του ρόμβου $ABCD$, η $AS$ διχοτομεί τη γωνία $\widehat {BAD}$. Η προβολή του $S$ στη $DC$ είναι το $K$. Αν $KS = 1\,,\,\,KC = 2\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KD = 3$ να βρείτε το εμβαδόν του ρόμβου . Έστω $DH$ το ύψος του ρόμβου. Εμβαδον ειδικού ρ...

... Να διαχωριστεί το ως άνω τρίγωνο $ABC$ σε τρία ισοσκελή τρίγωνα των οποίων όλες οι κορυφές να είναι πάνω στις πλευρές του $ABC$ . Ευχαριστώ και πάλι , Γιώργος. Καλησπέρα σε όλους! Ratio.a.png Ο κύκλος $(B, BA)$ τέμνει τις $AC, BC$ στα $D, F$ αντίστοιχα. Tα τρίγωνα $ABD, BDF, DFC$ είναι ισοσκελή.

Από το μέσο της πλευράς ισοπλεύρου τριγώνου φέρνω παράλληλη στην

που τέμνει το μικρό τόξο του περιγεγραμμένου κύκλου στο Να βρείτε το λόγο

Για το β) ερώτημα ακολουθώ την ίδια διαδικασία, όπως στην ανάρτησή μου εδώ : Ratio.png Πρώτα βρίσκω $\displaystyle b = \sqrt {{c^2} + ac} = x\sqrt {{k^2} + k} $ και στη συνέχεια με κριτήριο καθετότητας, $\displaystyle {x^2}(1 - {k^2}) = x\sqrt {{k^2} + k} \left( {EC - AE} \right)$ με $EC+AE=x\sqrt{k...

Διχοτόμηση τμήματος..png Από τις κορυφές $B, C$ ορθογωνίου τριγώνου $ABC$ φέρνω εκτός του τριγώνου κάθετες στην υποτείνουσα $BC$ και θεωρώ επί αυτών τα σημεία $Q, P$ αντίστοιχα ώστε $BQ=BA$ και $CP=CA.$ Οι $BP, CQ$ τέμνονται στο $S$ και οι $AP, AQ$ τέμνουν την $BC$ στα $M, N.$ Να δείξετε ότι η $AS$...

Στο σχήμα δεν φαίνεται τίποτα! Ακόμα όμως και να το μεγεθύνει κανείς χρειάζονται διευκρινίσεις.
π. χ Τι είναι η καμπύλη που φαίνεται; Τι έχει μήκος

Γειά σας ! Είναι $\widehat{C}=180^{\circ}-18^{\circ}-138^{\circ}=24^{\circ}$ και $\widehat{ABE}=180^{\circ}-120^{\circ}-18^{\circ}=42^{\circ}$. Ακόμη, $B_{\varepsilon \xi }=18^{\circ}+24^{\circ}=42$. Δηλαδή οι $BF$ και $EF$ είναι εξωτερικές διχοτόμοι του τριγώνου $EBC$, άρα $F$ παράκεντρο, οπότε η ...

Στο τρίγωνο είναι Τα σημεία βρίσκονται πάνω στις πλευρές

αντίστοιχα, ώστε Να βρείτε το μέτρο της γωνίας

Αλλιώς για το πρώτο ερώτημα σε κάθε οξυγώνιο τρίγωνο (ανεξάρτητα από τη συνθήκη ).

Το περίκεντρο είναι εσωτερικό σημείο και τα τρίγωνα είναι ισοσκελή.

Καλημέρα σε όλους. Λόγος ρητός..κανόνας μνημονιακός.PNG Στο τρίγωνο $ABC$ είναι $3BC=5AB$ και $A\widehat{B}C=2\widehat{C}$ ενώ το $BE$ ύψος του. Να υπολογιστεί ο λόγος $\dfrac{AE}{EC}$. Ευχαριστώ , Γιώργος. Καλημέρα Γιώργο! Αν $AB=3x,$ τότε $BC=5x.$ Ένας λόγος ...για δάκτυλα.png $\displaystyle \wid...

Παντού υπάρχει ένας κύκλος.pngΣτο παραλληλόγραμμο $ABCD$ , η πλευρά $AB$ είναι διπλάσια της $AD$ α) Υπάρχει περίπτωση να είναι και η διαγώνιος $AC$ διπλάσια της $BD$ ; Αν απαντήσατε ναι , προχωρήστε : Ο κύκλος $( A,D,O)$ τέμνει την $AB$ στο $T$ . β1) Δείξτε ότι η $OB$ διχοτομεί την γωνία $\widehat{...

Από σταθερό σημείο 27.pngΣτο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ το ημικύκλιο διαμέτρου $BC$ τέμνει τις πλευρές $AB,AC$ στα $E,D$ αντίστοιχα . Θεωρώ δύο κινητά σημεία $P,Q$ των $AB,AC$ . Οι κύκλοι $(P,E,C) $ και $ (Q,D,B)$ , τέμνονται στα σημεία $S,T$ . Δείξτε ότι η ευθεία $ST$ διέρχεται από σταθερό σημείο...

shape.pngΣτο εσωτερικό ισοπλεύρου τριγώνου $ABC$, παίρνουμε σημείο $P$ και φέρουμε τις προβολές $PD,PE$ στις πλευρές $AB,AC$ αντίστοιχα. Αν $AD = 3\sqrt 3 ,\,PE = 2$ και $\angle PBC = {15^ \circ }$, να βρείτε το μήκος του τμήματος $PB$ Καλησπέρα σε όλους! Αν $a$ είναι η πλευρά του ισοπλεύρου, τότε ...

Αλλιώς με N. συνημιτόνων στο :

Ώρα για ημίτονο.pngΟι διαγώνιοι $AC=6$ και $BD=8$ , του ρόμβου $ABCD$ τέμνονται στο $O$ . Φέρω $AS \perp BC$ . Υπολογίστε το $\sin\widehat{BOS}$ . Άλλος τρόπος ; Εύκολα η πλευρά του ρόμβου είναι $BC=5.$ 1 ημίτονο.png $\displaystyle 5AS = (ABCD) = \frac{{6 \cdot 8}}{2} = 24 \Leftrightarrow AS = \fra...

Να ευχαριστήσω τον Νίκο και τον Γιώργο για την υπομονή τους να ασχοληθούν με τις χρονοβόρες αυτές πράξεις. Η λύση μου είναι ίδια με του Γιώργου και δίνει τελικό τύπο: $\boxed{D{F_{\min }} = \left( {4\sqrt {3 - \sqrt 3 } + \sqrt 3 - 6} \right)a}$ Όποιος έχει το κουράγιο ( :lol: ) ας ταυτοποιήσει αυτό...

Το πρόβλημα είναι το εξής και η ερωτησή μου αφορά το δεύτερο σκέλος. 10. Οι 90 μαθητές μιας κατασκήνωσης χωρίστηκαν σε 3 ομάδες. Η πρώτη ομάδα είχε 35 μαθητές και η δεύτερη ομάδα είχε 15 μαθητές περισσότερους από την τρίτη ομάδα. α) Πόσους μαθητές είχε η δεύτερη και πόσους η τρίτη ομάδα; β) Τα 2/3 ...

Στο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , τα μήκη των πλευρών $AB$ και $BC , (BC>AB)$ είναι σταθερά , ενώ εκείνο της $AC$ μεταβάλλεται . Βρείτε τη θέση της κορυφής $A$ , για την οποία η γωνία $\hat{C}$ μεγιστοποιείται . Αφού λύσετε το θέμα για τις δοθείσες τιμές , γενικεύστε . Καλύτερα να αποφύγετε την παρ...

Εμβαδόν ρόμβου.ΜΝ.png $\displaystyle (ABCD) = {a^2}\sin \omega $ και με τον τύπο του Ήρωνα βρίσκω $\displaystyle (DMN) = 4\sqrt 3. $ Είναι ακόμα $\displaystyle (ADM) = (CDN) = \frac{{{a^2}}}{4}\sin \omega = 2(BMN) = \frac{1}{4}(ABCD),$ απ' όπου παίρνω: $\displaystyle \left( {\frac{1}{4} + \frac{1}{...