Διαγώνισμα 10 Επίπεδο: Προκριματικός Seniors Πρόβλημα 1 Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα $f:\mathbb{R^{+}}\rightarrow\mathbb{R^{+}}$ και οι μη σταθερές συναρτήσεις $g:\mathbb{R^{+}}\rightarrow\mathbb{R^{+}}$ που ικανοποιούν την σχέχη: $f(x+y+g(y))+g(y+f(z))=g(z+f(y))+g(y)+f(x+(y+1)g(y))}$ για κάθε θετικ...

Η ομάδα αξίζει υπερβολικά πολλά συγχαρητήρια για την επίδοση της, και άλλα τόσα αξίζει ο Βασίλης ο οποίος κατάφερε να γράψει άριστα! Μπράβο στα παιδιά!

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2017 4. Σε μια γειτονιά βρίσκονται 5 πολυκατοικίες, στις οποίες κατοικούν 5, 15, 25, 35, 45 άτομα. Είναι γνωστό, ότι ο καθένας τους έχει τουλάχιστον δυο συνονόματους μεταξύ των κατοίκων της γειτονιάς. Να αποδείξετε, ότι κάποιος έχει συνονόματο στην πολυκατοικί...

Προβλημα 3 Η αρχική σχέση γίνεται: $\frac{f(n)-n^2}{n+f(m)}\in\mathbb{Z}$ Προφανή λύση: $f(n)=n^2$. Έστω ότι υπάρχει $c$ τέτοιος ώστε $f(c)\not=c^2$. Η συνάρτηση πρέπει να είναι άνω και κάτω φραγμένη. Διαφορετικά για αρκετά μεγάλα $m$ ο παρονομαστής γίνεται μεγαλύτερος από τον αριθμητή. Παίρνοντας ...

Πρόβλημα 1 Η εξίσωση αλλιώς γράφεται: $(x+y)(x^2-xy+y^2)=x^2+42xy+y^2$ Οπότε ο $\frac{x^2+42xy+y^2}{x^2-xy+y^2}$ είναι ακέραιος. Άρα θα είναι και ο $\frac{43xy}{x^2-xy+y^2}$. Έστω $gcd(x,y)=d$. Τότε $x=ad$ και $y=bd$ με $gcd(a,b)=1$. Η παραπάνω γράφεται: $\frac{43ab}{a^2-ab+b^2}$ ακέραιος. Όμως $gc...

Καλή επιτυχία στην ομάδα! Εύχομαι τα καλύτερα!

Διαγώνισμα 7 Επίπεδο: Αρχιμήδης/Προκριματικός Juniors Πρόβλημα 2 Αν οι $x,y,z$ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί με άθροισμα $1$ να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης: $\displaystyle{(\frac{y-y^2}{1+z+2x}+\frac{z-z^2}{1+x+2y}+\frac{x-x^2}{1+y+2z})(\frac{1}{(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx})^2})}$ Π...

Διαγώνισμα 7 Επίπεδο: Αρχιμήδης/Προκριματικός Juniors Πρόβλημα 1 Να βρεθούν όλοι οι μη αρνητικοί ακέραιοι $a,b,c$ που ικανοποιούν την παρακάτω εξίσωση: $2^a+150=(c-b)(c+b)$ Αν $a \geqslant 2$, τότε με $(\bmod4)$, πρέπει $c^2-b^2=(c-b)(c+b) \equiv 2^a+150 \equiv 2(\bmod4)$, άρα $c^2-b^2 \equiv 2(\bm...

Διαγώνισμα 7 Επίπεδο: Αρχιμήδης/Προκριματικός Juniors Πρόβλημα 1 Να βρεθούν όλοι οι μη αρνητικοί ακέραιοι $a,b,c$ που ικανοποιούν την παρακάτω εξίσωση: $2^a+150=(c-b)(c+b)$ Πρόβλημα 2 Αν οι $x,y,z$ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί με άθροισμα $1$ να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης: $\display...

Επαναφορά.

Πρόβλημα 3 Έστω $N$ θετικός ακέραιος αριθμός. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $N^{3}$ μπορεί να γραφτεί ως διαφορά τετραγώνων δύο θετικών ακεραίων αριθμών. Ψάχνουμε $x,y$ τέτοια ώστε $x^2-y^2=N^3$ Άρα $(x+y)(x-y)=N^3$ Επιλέγουμε $x+y=N^2$ και $x-y=N$ απ'όπου με πρόσθεση και αφαίρεση κατά μέλη έχουμε: $...

Πρόβλημα 1 Να βρείτε όλες τις τριάδες $(a,b,c)$ θετικών ακεραίων που ικανοποιούν τις ισότητες: $a^{3}-b^{3}-c^{3}=3abc$ $a^{2}=2(a+b+c)$ Η πρώτη εξίσωση γίνεται: $(a-b-c)(a^2+b^2+c^2+ab+ac-bc)=0$ διακρίνοντας τις περιπτώσεις: (1) $a=b+c$ αντικαθιστώντας στην 2η έχουμε: $a^2=4a$ οπότε προκύπτουν οι ...

Πρόβλημα 1 Να βρείτε τον μεγαλύτερο θετικό ακέραιο $\displaystyle{\nu}$, ο οποίος διαιρεί τον $\displaystyle{p^6-1}$ για όλους τους πρώτους $\displaystyle{p>7}$. Παίρνοντας $p=11$ και $p=13$ έχουμε: $11^6-1=2^3\times 3^2\times 5\times 7\times 19\times 37$ $13^6-1=2^3\times 3^2\times 7\times 61\time...

Καλησπέρα, μια λύση. Μάλλον απλή για seniors, θα χρησιμοποιήσουμε ανισότητες, αρχικά είναι από AM-ΓΜ: $\displaystyle{x^{y}+y^{z}+z^{x}\geq 3(xyz)^{\frac{x+y+z}{3}}\Rightarrow 2xyz\geq 3(xyz)^{\frac{x+y+z}{3}}}$ προφανώς αδύνατη αφού: $\displaystyle{x,y,z\geq 1\Rightarrow \frac{x+y+z}{3}\geq 1 \Left...

Άλυτες παραμένουν οι ασκήσεις:
Διαγώνισμα 1: (2)
Διαγώνισμα 2: (2)
Διαγώνισμα 10: (2)(4)
Διαγώνισμα 12: (2)(4)
Διαγώνισμα 13: (4)

Για $x=P(y)$ έχουμε: $\displaystyle{(P(2P(y))^2-c^2=4P(P(y))P(y)}$ όπου $P(0)=c$. Θεωρούμε $ay^n$ τον μεγιστοβάθμιο όρο του $P(y)$ και υποθέτουμε ότι $n\ge 1$ και $a\not=0$. Οπότε: $(a(2ay^n)^n)^2=4a(ay^n)^nay^n$ $a^2(2a)^{2n}y^{2n^2}=4a^{n+2}y^{n^2+n}$ Άρα: $2n^2=n^2+n$ οπότε $n=1$ Και $4a^4=4a^3$ ...

Διαγώνισμα 6 Επίπεδο: Αρχιμήδης/Προκριματικός Seniors Πρόβλημα 1 Δίνονται δύο κύκλοι $c_1,c_2$ οι οποίοι τέμνονται στα $A,T$ και $BC$ (με $B$ σημείο του $c_1$ και $C$ σημείο του $c_2$) η κοινή τους εφαπτομένη έτσι ώστε το $T$ να βρίσκεται στο εσωτερικό του τριγώνου $ABC$. Η $AB$ τέμνει τον $c_2$ στ...

Διαγώνισμα 6 Επίπεδο: Αρχιμήδης/Προκριματικός Seniors Πρόβλημα 1 Δίνονται δύο κύκλοι $c_1,c_2$ οι οποίοι τέμνονται στα $A,T$ και $BC$ (με $B$ σημείο του $c_1$ και $C$ σημείο του $c_2$) η κοινή τους εφαπτομένη έτσι ώστε το $T$ να βρίσκεται στο εσωτερικό του τριγώνου $ABC$. Η $AB$ τέμνει τον $c_2$ στ...

Πρόβλημα 4: Αν $\displaystyle{a,b,c\in R}$ , $\displaystyle{a\neq b+c}$ και $\displaystyle{a^3 =b^3 +c^3}$, να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{A=\frac{bc(b+c)}{b+c-a}}$ είναι ακέραιος Αν πάρουμε $b=c=1$ και $a=\sqrt[3]{2}$ τότε δεν ισχύει η πρόταση. Καλημέρα. Προφανώς είναι τυπογραφικό λάθο...

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: Πρόβλημα 2: Να αποδείξετε ότι:

Μία άλλη λύση: