Θέτουμε $g(x)=x^5+x$, η οποία αντιστρέφεται (το είδαμε). Έχουμε λοιπόν για κάθε $x$ ότι $ g( f(x)) = f^5(x) +f(x)= χ$. Άρα $f= g^{-1}$. Δηλαδή η $f$ όχι μόνο υπάρχει, αλλά βρήκαμε και την μορφή της. Από αυτό έπεται και η απάντηση στο δεύτερο ερώτημα: Ναι είναι συνεχής ως αντίστροφη συνεχούς, και μά...

Αν θέσουμε $\displaystyle a_N=\dfrac {1\cdot 3 \cdot 5 \cdot ... \cdot (2N-1) }{2\cdot 4 \cdot 6 \cdot ... \cdot (2N )}$ τότε χρησιμοποιώντας το https://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation έχουμε $a_N\sim \frac{1}{\sqrt{\pi N}}$ Με επαγωγή μπορεί να δειχθεί ότι $a_N<\frac{1}{\sqrt{\pi N...

Για το κάνω φράγμα αρκεί να δείξουμε ότι



Η απόδειξη γίνεται με επαγωγή.

Δίνεται το Π.Α.Τ $\displaystyle y'(t)+(\ln (e+t^2))^2y(t)=e^{-y(t)}-1,t\geq 0$ $y(0)=y_0$ Ποια από τα παρακάτω ισχύουν ; 1)$\displaystyle \int_{0}^{t}\ln(e+t^2)y^2(t)dt\leq \frac{1}{2}(|y_0|^2-|y(t)|^2),t>0$ 2)$\displaystyle \int_{0}^{\infty }(\ln(e+t^2))^2y^2(t)dt\leq \frac{1}{2}|y_0|^2$ 3)$\displa...

Εστω $\displaystyle I\subseteq \mathbb{R}$ ανοικτό διάστημα και $\displaystyle f:I\times \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής συνάρτηση που πληρεί τα παρακάτω Για κάθε $[c,d]\subseteq I$ υπάρχουν σταθερές $M_{cd},C_{cd}$ ώστε 1)Για $(x,y)\in [c,d]\times \mathbb{R}$ είναι $|f(x,y)|\leq M_{cd}$ 2...

https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_t ... identities

https://en.wikipedia.org/wiki/Exact_tri ... ric_values

Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{f:R\to R}$, δυο φορές παραγωγίσιμη με την ιδιότητα : υπάρχει $\displaystyle{c\in R}$ ώστε για κάθε $\displaystyle{a,b\in R}$ με $\displaystyle{a\ne b}$ να ισχύει : $\displaystyle{\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\ne {f}'(c)}$. Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{{f}''(c)=0}$ . Χωρί...

Επαναφορά.

Δίνεται το πρόβλημα αρχικών τιμών $\displaystyle y'(x)=\frac{(2x+2)\,{\rm{e}}^{-y^2}\cos{y}+2023}{x^2-2x-35}\,,\qquad y(0)=0\,.$ Να εξετασθεί η αλήθεια των προτάσεων: Το π.α.τ. έχει ακριβώς μια λύση $y_0$ η οποία ορίζεται σε ολόκληρο το διάστημα $I = (-5, 7)$. Ισχύει $x\,y_0\leqslant 0\,,\; x\in I$...

Έστω $g \in \mathbb{H}^1(0, \pi)$ όπου $\mathbb{H}$ χώρος Sobolev. Να δειχθεί ότι: $\displaystyle{\int_{0}^{\pi} g^2(x) \, \mathrm{d}x \leq \int_{0}^{\pi} \left ( g'(x) \right )^2 \, \mathrm{d}x + \left ( \int_{0}^{\pi} g(x) \, \mathrm{d}x \right )^2}$ Η ανισότητα βελτιώνεται. Συγκεκριμένα $\displa...

Έστω $f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ με $f(\mathbf{x}) = \varphi \left ( \left \| \mathbf{x} \right \|^2 \right )$ όπου $\varphi(r) = \left\{\begin{matrix} e^{1/(r-1)} & , & r<1 \\ 0 & , & r \geq 1 \end{matrix}\right.$. Να δειχθεί ότι $f \in \mathcal{C}^\infty \left ( \mathbb{R}^n \right )$...

Δύο παρόμοια ερωτήματα: 1) Υπάρχει συνάρτηση $f$, π.χ. στο $(0, \infty)$, που να είναι συνεχής σε κάθε άρρητο αριθμό και συνεχής σε κάθε ρητό; 2) Το ανάποδο; Μάλλον θες να πεις ότι 1) Υπάρχει συνάρτηση $f$, π.χ. στο $(0, \infty)$, που να είναι συνεχής σε κάθε άρρητο αριθμό και ασυνεχής σε κάθε ρητό;

α) Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, η οποία δεν είναι 1-1, αλλά ο περιορισμός της στους άρρητους είναι 1-1. β) Έχουμε το ίδιο συμπέρασμα αν αντικαταστήσουμε τους άρρητους με ρητούς; (Για το δεύτερο ερώτημα δεν έχω λύση) Φιλικα α)Έστω οτι δεν είναι 1-1. ...

Αν $\displaystyle a,b,c \in \Re $ , δείξετε ότι $\displaystyle ac + bc + {c^2} < 0 \Rightarrow {b^2} > 4ac$ Καλησπέρα. Μια προσπάθεια. Θεωρώ την συνάρτηση $f(x)=x^2+ bx +c $. Είναι $\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=+\infty$. Συνεπώς υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί $k<c...

Γνωρίζουμε αν $\displaystyle a \ne 0;$ (ας πούμε ότι ο τίτλος είναι παραπλανητικός ) Γνωρίζουμε αν $\displaystyle c \ne 1$ ; Δεν χρειάζεται να γνωρίζουμε τίποτα. Αν $\displaystyle f(x)=ax^2+bx+c$ και $f(\kappa )f(\lambda )<0$ τότε $\displaystyle {b^2} > 4ac$ Επαναλαμβάνω το ερώτημα. Τι σχέση έχει μ...

Αν $\displaystyle a,b,c \in \Re $ , δείξετε ότι $\displaystyle ac + bc + {c^2} < 0 \Rightarrow {b^2} > 4ac$ Εστω $\displaystyle f(x)=ax^2+bx+c$ Η σχέση $\displaystyle ac + bc + {c^2} < 0$ γράφεται $\displaystyle f(1)f(c)<0$ Αρα από θεωρία τριωνύμου $\displaystyle {b^2} > 4ac$ Απορία. Τι σχέση έχει ...

Σας προτείνω το θέμα U620 από το 2ο τεύχος του 2023 των Mathematical Reflections. H προθεσμία υποβολής λύσεων παρήλθε και έτσι μπορώ να την προτείνω. Το θέμα πρότεινε ο Vasile Lupulescu από τη Ρουμανία. Να υπολογιστεί το $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{k=1}^{n}\frac{k^{2}}{2k^{2}-2n...

Εστω το σημείο που τέμνει η τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου.
Απο δύναμη σημείου είναι
Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι (φέρουμε από τα καθέτους στην )
Αρα

Εστω συνεχής συνάρτηση.
Να δειχθεί ότι το σύνολο στο οποίο έχει παράγωγο είναι Borel.

Η $f$ έχει μοναδικό σημείο καμπής με τετμημένη $x_0$ επομένως μπορούμε να υποθέσουμε ότι είναι κυρτή στο $(-\infty,x_0]$ και κοίλη στο $[x_0,+\infty)$. Δεν είναι σωστό το παραπάνω. Πάρε $\displaystyle f(x)=e^{-\frac{1}{x}}$ για $\displaystyle x>0$ $\displaystyle f(x)=0 $ για $\displaystyle x\leq 0$