Η αναζήτηση βρήκε 1785 εγγραφές
Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση
- Τετ Μαρ 06, 2024 10:51 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Ανοιχτή Μαθηματική Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 2004 (8η/9η τάξη)
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 218
Ανοιχτή Μαθηματική Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 2004 (8η/9η τάξη)
Ανοιχτή Μαθηματική Ολυμπιάδα Φυσικομαθηματικού Λυκείου 239, Αγίας Πετρούπολης Θέματα των τάξεων 8η και 9η για το έτος 2004. 1. Δίνεται ένα δευτεροβάθμιο τριώνυμο $f(x)=x^2+ax+b$ με διαφορετικές θετικές ρίζες. Προέκυψε, ότι μεταξύ των ριζών του πολυώνυμου $f(f(x))$ υπάρχουν δυο αρνητικές. Να αποδείξ...
- Δευ Μαρ 04, 2024 10:20 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΘΕΜΑ ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΕ ΓΕΡΜΑΝΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 474
Re: ΘΕΜΑ ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΕ ΓΕΡΜΑΝΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ
Έστω ότι δύο οποιεσδήποτε απέναντι ακμές ενός τετραέδρου είναι ορθογώνιες. Δείξτε ότι τα μέσα των έξη ακμών βρίσκονται πάνω σε σφαίρα. Όπως είδαμε π.χ. εδώ το εν λόγω τετράεδρο είναι ορθοκεντρικό. Η υπό εξέταση σφαίρα είναι μια από τις χαρακτηριστηκές σφαίρες σε ένα ορθοκεντρικό τετράεδρο. Η σφαίρα...
- Κυρ Μαρ 03, 2024 2:33 pm
- Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
- Θέμα: Ορθοκεντρικό τετράεδρο
- Απαντήσεις: 9
- Προβολές: 417
Re: Ορθοκεντρικό τετράεδρο
Εκκρεμεί η (5) . Να ευχαριστήσω τον κ.Γιώργο για τις λύσεις του και το χρόνο που διέθεσε. Νομίζω οι ιδιότητες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την λύση άλλων πιο σύνθετων θεμάτων για ορθοκεντρικά τετράεδρα, που έχουν εμφανιστεί στο :logo: ή θα εμφανιστούν αργότερα. Για την (5) η αλήθεια είναι έχω δια...
- Σάβ Μαρ 02, 2024 7:00 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024
- Απαντήσεις: 97
- Προβολές: 16860
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024
Για το τέταρτο θέμα των μικρών, γενικεύσεις του και τεχνικές για παρόμοιες διοφαντικές εξισώσεις (τομέα της θεωρίας αριθμών) μπορεί κανείς να δει στα παρακάτω άρθρα:
https://arxiv.org/pdf/2109.09639.pdf
https://arxiv.org/pdf/2201.10919.pdf
https://arxiv.org/pdf/2109.09639.pdf
https://arxiv.org/pdf/2201.10919.pdf
- Παρ Μαρ 01, 2024 10:03 pm
- Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
- Θέμα: Ορθοκεντρικό τετράεδρο
- Απαντήσεις: 9
- Προβολές: 417
Re: Ορθοκεντρικό τετράεδρο
Στην ελληνική βιβλιογραφία η ιδιότητα (2) είναι ο ορισμός του ορθοκεντρικού τετραέδρου, ενώ τα τρία ύψη που διέρχονται από το ίδιο σημείο αποτελεί ιδιότητα και χρειάζεται απόδειξη. Καλησπέρα κ. Γιώργο καλά κάνατε και το αναφέρατε σε περίπτωση, που θέλουν να το ψάξουν παραπέρα οι μαθητές. Εγώ διάλεξ...
- Παρ Μαρ 01, 2024 9:56 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2024 (7η τάξη)
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 143
Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2024 (7η τάξη)
LXXXVIΙ Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας XXXV Μαθηματική Γιορτή - 18 Φεβρουαρίου 2024 $\bullet $ 7η τάξη Πρόβλημα 1. Τοποθετήστε στα κελιά ενός $3 \times 3$ πίνακα διαφορετικούς θετικούς ακέραιους αριθμούς, όχι μεγαλύτερους του $25$, έτσι, ώστε σε οποιοδήποτε ζεύγος γειτονικών κατά πλευρά κελιών ο ένας ...
- Παρ Μαρ 01, 2024 1:40 pm
- Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
- Θέμα: Ορθοκεντρικό τετράεδρο
- Απαντήσεις: 9
- Προβολές: 417
Ορθοκεντρικό τετράεδρο
Ορισμός Το τετράεδρο, στο οποίο τα τέσσερα ύψη του διέρχονται από το ίδιο σημείο, ονομάζεται ορθοκεντρικό τετράεδρο και το σημείο τομής των υψών του ορθόκεντρο του τετράεδρου. Να αποδείξετε τις παρακάτω ιδιότητες: 1. Ένα τετράεδρο είναι ορθοκεντρικό αν και μόνο αν οι κάθετες προς τις έδρες από τα κ...
- Πέμ Φεβ 29, 2024 8:00 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024
- Απαντήσεις: 97
- Προβολές: 16860
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024
Τώρα νομίζω ότι προσπαθώ να αποδείξω τα προφανή! Ναι λοιπόν τα παιδιά που πάνε δουλεμένα γνωρίζουν ότι τα θέματα είναι 4. Την έννοια δουλεμένο παιδί δεν την καταναώ. Για τους σκοπούς του διαγωνισμού "Ο σκοπός των διαγωνισμών της ΕΜΕ είναι η διάδοση και καλλιέργεια της Μαθηματικής σκέψης, η ανάδειξη...
- Πέμ Φεβ 29, 2024 6:17 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024
- Απαντήσεις: 97
- Προβολές: 16860
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024
Εγώ δεν βλέπω κανένα στοιχείο θεωρίας αριθμών σε αυτό το θέμα... Από εκεί και πέρα εκτός του "προβλήματος" που θα μπορούσε να δημιουργήσει σε παιδιά που έγραφαν, το ακατάλληλο για διαγωνισμό που αναφέρθηκε, ειπώθηκε προφανώς από την εμπειρία μου και κάποια βάση πιθανώς θα έχει. Και αφού ανοίξαμε τη...
- Πέμ Φεβ 29, 2024 5:19 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024
- Απαντήσεις: 97
- Προβολές: 16860
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024
Τέλος το τέταρτο των μικρών είναι θεωρία αριθμών τελικά ή αλγεβρικό; Δεν έχει μεγάλη σημασία θα έλεγα. Ναι, είναι αλγεβρικό με κάποια στοιχεία θεωρίας αριθμών ή καλύτερα θεωρίας αριθμών, που λύνεται με αλγεβρικές τεχνικές. Στοιχεία θεωρίας αριθμών με την κλασική έννοια διαιρετότητα π.χ. υπάρχουν κα...
- Πέμ Φεβ 29, 2024 4:27 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024
- Απαντήσεις: 97
- Προβολές: 16860
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024
Νομίζω τα θέματα ήταν μια χαρά. Μάλιστα αν είναι και "εγχώριας παραγωγής", δηλαδή όχι από sortlist ή άλλους διαγωνισμούς θα τα χαρακτήριζα πετυχημένα. Δεν χρειάζεται να τρομάζουμε τους μαθητές με, ότι χρειάζεται π.χ. να ξέρει κανείς Vieta jumping, περίεργες ανισότητες κ.ο.κ Καλώς αν κάποιος τις γνωρ...
- Τρί Φεβ 27, 2024 11:35 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΘΕΜΑ ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΕ ΓΕΡΜΑΝΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 474
Re: ΘΕΜΑ ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΕ ΓΕΡΜΑΝΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ
Το θέμα που προτείνω τέθηκε στον 20ο Γερμανικό Ομοσπονδιακό Μαθηματικό Διαγωνισμό του 1989-1990 στον πρώτο γύρο. Αναδεικνύει ένα χαρακτηριστικό σημείο του τετραέδρου. Έστω ότι δύο οποιεσδήποτε απέναντι ακμές ενός τετραέδρου είναι ορθογώνιες. Δείξτε ότι τα μέσα των έξη ακμών βρίσκονται πάνω σε σφαίρ...
- Τρί Φεβ 27, 2024 3:21 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
- Θέμα: Ανισότητα
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 151
Re: Ανισότητα
Εαν για τους μη αρνητικούς αριθμούς $x,y,z$ ισχύει $x+y+z=2\sqrt{xyz}$ δείξτε ότι $yz\geq y+z$ Η εξίσωση, που ικανοποιούν οι αιρθμοί μπορεί να γραφεί ως $x+y+z=2\sqrt{yz} \sqrt{x}$. Θέτουμε $t=\sqrt{x}$ και η εξίσωση γίνεται $t^2-2\sqrt{yz}t+y+z=0$. Εφόσον υπάρχουν $t,y,z$ που την ικανοποιούν, η δι...
- Δευ Φεβ 26, 2024 8:10 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2024 (6η τάξη)
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 284
Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2024 (6η τάξη)
LXXXVIΙ Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας XXXV Μαθηματική Γιορτή - 18 Φεβρουαρίου 2024 $\bullet $ 6η τάξη Πρόβλημα 1. Η Κατερίνα και η Ελένη έχουν δυο χτένες ίσου μήκους. Σε κάθε χτένα όλα τα δόντια είναι ίδια και η απόσταση μεταξύ των δοντιών ίση με το πλάτος του δοντιού. Η χτένα της Κατερίνας έχει $11$...
- Σάβ Φεβ 24, 2024 10:54 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024
- Απαντήσεις: 97
- Προβολές: 16860
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024
Μικροί Πρόβλημα 2 Θεωρούμε οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ και τον περιγεγραμμένο κύκλο του $\omega$. Με κέντρο το σημείο $A$ γράφουμε κύκλο $\gamma$ που τέμνει το τόξο $AB$ του κύκλου $\omega$, που δεν περιέχει το $C$, στο σημείο $D$ και το τόξο $AC$, που δεν περιέχει το $B$, στο σημείο $E$. Υποθέτουμε ότι ...
- Σάβ Φεβ 24, 2024 6:57 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024
- Απαντήσεις: 97
- Προβολές: 16860
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024
Να λυθεί και το ακόλουθο Πρόβλημα 1 Αν οι $a, b, c$ είναι πραγματικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε δύο από αυτούς να έχουν διαφορά μεγαλύτερη του $\dfrac{1}{2\sqrt{3}}$, να αποδείξετε ότι υπάρχει ακέραιος αριθμός $x$, ώστε $x^2 -4(a+b+c)x+12(a+b+c) <0$. Εξετάζουμε το δευτεροβάθμιο τριώνυμο $x^2 -4(a+b+c)x...
- Σάβ Φεβ 24, 2024 5:02 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024
- Απαντήσεις: 97
- Προβολές: 16860
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024
Μεγάλοι Πρόβλημα 2 Δίνεται τρίγωνο $ABC$ με $ AB < AC < BC$, εγγεγραμμένο σε κύκλο $\Gamma_{1}$ με κέντρο το σημείο $Ο$. Θεωρούμε το κύκλο $\Gamma_{2}$ που έχει κέντρο σημείο $D$, το οποίο ανήκει στον κύκλο $\Gamma_{1}$, και εφάπτεται στη πλευρά $BC$ στο σημείο $E$ και στη προέκταση της πλευράς $AB$...
- Σάβ Φεβ 24, 2024 3:20 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024
- Απαντήσεις: 97
- Προβολές: 16860
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024
Μεγάλοι Πρόβλημα 1 Αν οι $a, b, c$ είναι πραγματικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε δύο από αυτούς να έχουν διαφορά μεγαλύτερη του $\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$, να αποδείξετε ότι υπάρχει ακέραιος αριθμός $x$, ώστε $x^2 -4(a+b+c)x+12(a+b+c) <0$. Λύση. Εξετάζουμε το δευτεροβάθμιο τριώνυμο $x^2 -4(a+b+c)x+12(a+b+c)$,...
- Τρί Φεβ 13, 2024 10:00 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
- Θέμα: Από την εστία
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 321
Re: Από την εστία
Απλά να σημειώσουμε ότι η ιδίοτητα, η ευθεία που διέρχεται από την εστία (μία από τις εστίες) και το σημείο τομής εφαπτομένων από δυο σημεία της παραβολής να είναι διχοτόμος της γωνίας που ορίζουν οι ευθείες που διέρχονται από αυτά τα σημεία και την εστία (μία από τις εστίες), ισχύει γενικά για κωνι...
- Δευ Φεβ 12, 2024 2:09 am
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
- Θέμα: Από την εστία
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 321
Re: Από την εστία
Από την εστία.png Οι εφαπτόμενες στα σημεία $A, B$ μιας παραβολής τέμνονται στο $S,$ ενώ οι εφαπτόμενες στα $A, B$ του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία $A, B, S$ τέμνονται στο $T.$ Να δείξετε ότι η $ST$ διέρχεται από την εστία $E$ της παραβολής. Έστω $A'$ και $B'$ οι προβολές των σημείων $A$ και ...