Η αναζήτηση βρήκε 676 εγγραφές

από raf616
Κυρ Σεπ 25, 2016 3:39 pm
Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θέμα: Τριγωνομετρικό όριο
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 411

Re: Τριγωνομετρικό όριο

Να υπολογίσετε το \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos x\sqrt {\cos x} \sqrt[3]{{\cos x}}}}{{{x^2}}}} Καλησπέρα! Μία προσπάθεια: Είναι: \displaystyle{\lim_{x \to 0} \dfrac{{1 - \cos x\sqrt {\cos x} \sqrt[3]{{\cos x}}}}{{{x^2}}}} = \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - (\cos x)...
από raf616
Δευ Αύγ 15, 2016 6:36 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Μια ενδιαφέρουσα ακολουθία.
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 244

Re: Μια ενδιαφέρουσα ακολουθία.

Να αποδειχθεί ότι η ακολουθία \displaystyle{{a_n} = \left[ {n + \sqrt n + \frac{1}{2}} \right]\;,\;n \in N*} είναι η ακολουθία των μη τετράγωνων φυσικών αριθμών, δηλαδή \displaystyle{2,3,5,6,7,8,10,..} Καλησπέρα, μια προσπάθεια: Έστω k^2 \leq n < (k+1)^2 . Έχουμε δύο περιπτώσεις: \bullet k^...
από raf616
Κυρ Ιουν 12, 2016 11:08 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Παραλληλία και μέσο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 425

Re: Παραλληλία και μέσο

Γεια σας κ. Νίκο! Είναι γνωστό πως οι AD, BE, CZ συντρέχουν στο σημείο Gergonne(αποδεικνύεται εύκολα με Ceva). Επομένως, η σειρά (P, D, B, C) είναι αρμονική. Τώρα με παράλληλη στην AD παίρνουμε τρία σημεία τομής πάνω στις ευθείες της δέσμης A(P, D, B, C) εκ των οποίων το ένα είναι μέ...
από raf616
Δευ Ιουν 06, 2016 12:58 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ γιά μαθητές
Θέμα: Εύρεση συνάρτησης
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 323

Re: Εύρεση συνάρτησης

Γ' Λυκείου , ως 10/06/2016 Βρείτε την παραγωγίσιμη συνάρτηση f:(0,+ \infty) \rightarrow (- \infty, 0) , με f'(1)= - \frac{1}{2} , για την οποία xf'(x)+1=e^{f(x)} Καλησπέρα κ. Λάμπρο! Μία προσπάθεια: Αφού x > 0 είναι f'(x) = \dfrac{e^{f(...
από raf616
Τρί Μάιος 17, 2016 6:04 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Κέρασμα-3-
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 379

Re: Κέρασμα-3-

Καλησπέρα!

Είναι (ab+bc+ca)^2 \geq 3abc(a+b+c) = 3abc \implies \sqrt{3abc} \leq ab+bc+ca

Άρα a^2 + b^2 + c^2 + 2\sqrt{3abc} \leq a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab+bc+ca) = (a+b+c)^2 = 1 και έτσι το ζητούμενο εδείχθη.

Η ισότητα πιάνεται όταν a=b=c = 1/3
από raf616
Τετ Μάιος 04, 2016 3:36 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Μια πράξη!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 253

Re: Μια πράξη!

Θεωρούμε την πράξη \displaystyle{\ominus :\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\to \mathbb{Z},} \displaystyle{a\ominus b=\frac{a-b}{\gcd (a,b) }.} Να αποδείξετε ότι ακέραιος \displaystyle{n>1} είναι δύναμη πρώτου αν και μόνο αν για όλους τους θετικούς ακέραιους \displaystyle{m} με \displaystyle{m<n} ...
από raf616
Σάβ Απρ 30, 2016 8:49 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Συναρτησιακή εξίσωση - Κροατία 2015
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 302

Re: Συναρτησιακή εξίσωση - Κροατία 2015

Καλημέρα! Μία προσπάθεια: Έστω P(x,y) ο ισχυρισμός. Η συνάρτηση δεν είναι η μηδενική και επομένως υπάρχει a τέτοιο ώστε f(a) \neq 0 . P(0,a) \implies -f(f(0))f(a) = f(0)f(a) \implies f^2(f(0)) = f^2(0) . P(f&...
από raf616
Πέμ Απρ 28, 2016 10:51 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Απολλώνιο ημικύκλιο
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 201

Re: Απολλώνιο ημικύκλιο

Καλημέρα! Μία αντιμετώπιση εκτός φακέλου: Συμπληρώνουμε τον κύκλο και έστω CT η άλλη εφαπτόμενη από το C . Αν B' \equiv ST \cap DC τότε είναι SB' \perp DC ενώ είναι γνωστό ότι (C, B', E, D) = -1 . Είναι όμως (C, B, E, D) = -1 και άρα B' \equiv B που δίνει το ζητούμενο.
από raf616
Τρί Μαρ 22, 2016 8:28 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Συναρτησιακή ανίσωση...
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 596

Re: Συναρτησιακή ανίσωση...

Καλησπέρα σε όλους! Έστω P(x,y) ο ισχυρισμός. Τότε P(0,a) \implies f(0)=0 . P(a, a) \implies a+a^2 \geq 1 + a^2 \iff a \geq 1 . P(-1, -1) \implies f^3(-1) + 1 \leq 0 \iff f(-1) \leq -1 < 0 . P(a, -1) \implies f(-1)(a-1) ...
από raf616
Παρ Μαρ 18, 2016 6:57 pm
Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θέμα: Συναρτησιακή!
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 777

Re: Συναρτησιακή!

Καλησπέρα! Έστω P(x,y) ο ισχυρισμός. Τότε για P(1, y-1) παίρνουμε f(f(y)) = f^2(1) + y-1 από όπου η f είναι 1-1 και επί. Υπάρχει επομένως a τέτοιο ώστε f(a)=0 . P(a, 0) \implies f(0) = 0 . Τότε για P(x,-x) παίρνουμε f^2(x...
από raf616
Τρί Μαρ 08, 2016 5:28 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Μικρές αλλά ίσες
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 252

Re: Μικρές αλλά ίσες

Καλησπέρα κ. Θανάση! Πολύ όμορφη άσκηση! Έστω T, U τα μέσα των AP, AS αντιστοίχως. Αρκεί \angle NMP = \angle NLB . Όμως \angle NMP = \angle NMT + \angle TMP = \angle NMT + \angle ASB= \angle NMT + \angle ALB . Αρκεί επομένως \angle NLA = \angle NMT . Θα δείξω ότι τα τρίγωνα ALN, NTM είναι όμοια από ...
από raf616
Τρί Μαρ 08, 2016 10:54 am
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Και όμως είναι!
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 297

Re: Και όμως είναι!

2+2^2 = 1+2+3
από raf616
Πέμ Μαρ 03, 2016 8:43 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Περιττοί και τετράγωνο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 299

Re: Περιττοί και τετράγωνο

Καλησπέρα! Μία προσπάθεια:

Έστω ότι b^2-4ac = k^2 για κάποιο k. Τότε είναι απλό να δούμε ότι k περιττός και άρα αφού και b περιττός, θεωρώντας την εξίσωση \pmod8 έχουμε

1 - 4ac \equiv 1 \pmod8 \implies 8 \mid 4ac \implies 2 \mid ac, άτοπο αφού και οι δύο είναι περιττοί.
από raf616
Τρί Φεβ 23, 2016 5:29 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Νέα διχοτόμος
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 219

Re: Νέα διχοτόμος

Καλησπέρα! Μία προσπάθεια: Έστω O_1, O_2 οι κύκλοι και έστω T το δεύτερο σημείο τομής τους. Έστω επίσης P \equiv OS \cap (O_1) και Q \equiv OS \cap (O_2) και τα σημεία τομής της πάνω εφαπτομένης με τους κύκλους τα K, L . Ισχύει \angle OSN = \angle STP και \angle OSM = \angle STQ . Αρ...
από raf616
Δευ Φεβ 22, 2016 8:12 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Vojtech Jarnik 1993/3 Category I
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 144

Re: Vojtech Jarnik 1993/3 Category I

Καλησπέρα! Μου φάνηκε απλή: Η συνθήκη γράφεται 4f^2(x) - 4f(x^2) + 1 \leq 0 . Για x=0 παίρνουμε (2f(0)-1)^2 \leq 0 \implies f(0) = 1/2 και όμοια για x=1 παίρνουμε f(1)=1/2 , άτοπο αφού η f είναι 1-1 . Άρα, δεν υπάρχει συνάρτηση με τις ζητούμενες ιδιότη...
από raf616
Δευ Φεβ 22, 2016 6:16 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Τέλειο τετράγωνο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 209

Re: Τέλειο τετράγωνο

Καλησπέρα Θανάση! Μία προσπάθεια: Έστω \displaystyle{(19a + b)^{18} + (a+ b)^{18}+ (a +19b)^{18}} = k^2 . Έστω S το σύνολο των λύσεών της στους ακεραίους και έστω (a, b, k) η λύση με το άθροισμα |a| + |b| + |k| ελάχιστο. Αν ο 19 δεν διαιρεί κανέναν από τους a,b διακρί...
από raf616
Κυρ Φεβ 21, 2016 5:47 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Αδύνατες διοφαντικές
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 305

Re: Αδύνατες διοφαντικές

(β) Να δείξετε ότι δεν υπάρχουν πρώτοι p και q και θετικός ακέραιος n ώστε \displaystyle{p^{q−1} − q^{p−1} = 4n^3.} Μία προσπάθεια και γι' αυτή, μιας και το θέμα ξεχάστηκε: Αν ένας ήταν άρτιος, θα ήταν και ο άλλος και άρα p=q=2 που δε δίνει λύση. Έστω τώρα και οι δύο περιττοί με p > q . Η εξίσωση γ...
από raf616
Κυρ Φεβ 21, 2016 9:33 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ντόμινο σε σκακιέρα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 279

Re: Ντόμινο σε σκακιέρα

Καλημέρα Θανάση! Η προσπάθειά μου: Αρχικά, θα δείξω ότι δεν μπορούμε να καλύψουμε τον πίνακα πλήρως χρησιμοποιώντας 32 ντόμινο. Για να το δείξω αυτό θα διπλομετρήσω τα διατεταγμένα ζεύγη (τετράγωνο, ντόμινο) όπου το τετράγωνο είναι 2\times 2 και το ντόμινο περιέχεται πλήρως σ' αυτό. Έστω T το πλήθος...
από raf616
Τετ Φεβ 17, 2016 12:49 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Κύκλοι που συντρέχουν - Σημείο Far Out
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 369

Re: Κύκλοι που συντρέχουν - Σημείο Far Out

Γεια σε όλους! Μία προσπάθεια εκτός φακέλου: Εφαρμόζω αντιστροφή κέντρου O και ακτίνας R όπου R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του \triangle{ABC} . Το D θα πάει σε σημείο D' τέτοιο ώστε OD \cdot OD' = R^2 και άρα θα είναι το σημείο τομής των εφαπτόμενων του (O, R) στα B, C . Άρα...
από raf616
Τρί Φεβ 16, 2016 7:30 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
Απαντήσεις: 2722
Προβολές: 200946

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

ΑΣΚΗΣΗ 1332 Σε ένα διαγωνισμό συμμετέχουν 25 μαθητές. Δόθηκαν για λύση τέσσερα προβλήματα. Κάθε πρόβλημα είτε λύθηκε από κάποιο μαθητή είτε όχι. Να δείξετε ότι είτε υπάρχουν υπάρχουν τέσσερις μαθητές που έλυσαν ακριβώς τα ίδια προβλήματα (ίσως και κανένα) είτε υπάρχουν δύο μαθητές από τους οποίους ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση