Είναι γνωστό ότι $\displaystyle \widehat B = 2\widehat C \Leftrightarrow {b^2} = c(a + c).$ Αναρωτήθηκα τι μπορεί να συμβαίνει αν $\displaystyle 2{b^2} = c(a + c)$ και έτσι προέκυψε η παρακάτω άσκηση. Σχέση πλευρών ειδικού τριγώνου.png $CM$ είναι η διάμεσος τριγώνου $ABC$ με $\displaystyle 2{b^2} =...

2024.04.07 mathematica.jpg Στο τετράγωνο του σχήματος, αν τα τμήματα $a, b$ είναι περιττοί αριθμοί με $a> b\geq 3$, δείξτε ότι το εμβαδόν $S$, του σκιασμένου τριγώνου είναι άρτιος αριθμός Καλημέρα Σάκη, Eστω $AB=x,TL//AD,IJ//AB,OT=\upsilon _{1},OI=\upsilon_{2}$ Τότε $S=\dfrac{x^{2}}{2}-(ODC)-(OBC)=...

Δίνεται παραλληλόγραμμο $ABCD$ και σημείο $E$ στην προέκταση της πλευράς $AB$ προς το $B$ τέτοιο ώστε $BE=BC$. Έστω $X$ το σημείο τομής της μεσοκαθέτου του τμήματος $AE$ με την ευθεία που διέρχεται από το $A$ και είναι κάθετη στην ευθεία $CE$. Να δείξετε ότι τα σημεία $A$, $B$, $D$, και $X$ είναι ο...

Αποπροσανατολισμός.pngΣημείο $P$ κινείται στο τόξο του κύκλου $x^2+y^2=r^2$ , που βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο . Η $SP$ τέμνει τον $Ox$ στο $T$ , ενώ η $WP$ τον $Oy$ , στο $Q$ . Δείξτε ότι : $(WNQ)=(QST)$ . Εστω $\hat{NWQ}=\phi,\hat{OWS}=45=\hat{WSO},\hat{WST}=45+\phi =WQS,$ Οπότε τα τρίγωνα $W...

Τετραλογία.pngΣημείο $S$ κινείται στην πλευρά $BC=a$ , τετραγώνου $ABCD$ , με : $BS=d$ . Σε σημείο $T$ της $AS$ φέρουμε κάθετη , η οποία τέμνει την $AD$ στο σημείο $P$ . Εντοπίστε την θέση του $T$ , για την οποία προκύπτει : $TP=TS$ και εκφράστε τον λόγο : $\dfrac{SC}{PD}$ , συναρτήσει των $a , d$ ...

Απλή ισεμβαδικότητα.png$\bigstar$ Στην πλευρά $CD$ , του παραλληλογράμμου $ABCD$ , θεωρούμε τυχόν σημείο $S$ . Φέρουμε την $AS$ και την $BS$ , της οποίας η προέκταση τέμνει την ευθεία $AD$ στο $T$ . Δείξτε ότι : $(TSC)=(ASD)$ . Θα αποδειχθεί ότι $\dfrac{SC}{SD}=\dfrac{KA}{TM},$ είναι $\dfrac{KA}{TM...

Επαναφορά με αλλαγή εκφώνησης :wink: Το ύψος $AD$ και η διχοτόμος $BE$ ορθογωνίου τριγώνου $ABC (\widehat A=90^\circ)$ τέμνονται στο $S.$ Αν $(ASE)^2=(BSD),$ να δείξετε ότι $(a-c)^5=4(a+c).$ Εστω ότι $SE=y,BS=x,(ASE)^{2}=(SBD)\Rightarrow AS=\dfrac{2}{c}\dfrac{x^{2}}{y^{2}}$ Στο τρίγωνο $BEC$ με τέμ...

Κορυφαίο τμήμα.pngΣτο τόξο $\overset{\frown}{AB}$ του κυκλικού τμήματος του σχήματος κινείται σημείο $S$ . Σχεδιάζω ισόπλευρο τρίγωνο $ASP$ , με την κορυφή $P$ άνωθεν του τόξου και ισόπλευρο τρίγωνο $BST$ με την κορυφή $T$ κάτωθεν της χορδής . Για τις διάφορες θέσεις του $S$ , υπολογίστε το τμήμα $...

Δίνεται αμβλυγώνιο τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma $$\left( {\widehat {\rm B} > {{90}^0}} \right)$με βάση ${\rm B}\Gamma = 4$ και ${\rm A}{\rm B} = 6$. Έστω σημείο $\Delta $της πλευράς ${\rm A}\Gamma $, ώστε: ${\rm B}\Delta = 3$και $\widehat {\Gamma {\rm B}\Delta } = 2\widehat {\rm A} = 2\theta $. Να...

Από τη μέση και κάτω.pngΗ $DC$ εφάπτεται του ημικυκλίου διαμέτρου $AB$ , στο σημείο $S$ . Δείξτε ότι : $(SAB)\leq \dfrac{(ABCD)}{2}$ . Αν η λύση σας , σας φαίνεται καλή , κυνηγήστε και μια καλύτερη ! Η αποδεικτέα σχέση γράφεται $(SAB)\leq (ADS)+(SCB)$ δηλαδή $KS.DK+SL.CL\geq 2KS.SL\Leftrightarrow K...

Τριχοτόμηση διαμέσου.png Σε τρίγωνο $ABC$ είναι $AB=a+2, BC=a, AC=a+3.$ Αν το ύψος $AD$ και η διάμεσος $AM$ τριχοτομούν τη διάμεσο $BN,$ να υπολογίσετε τη γωνία $\widehat C.$ Έστω $GT\perp BC$ τότε $BD=DT=x,BF=FT=FG=GN$ $GT//AD,\dfrac{GT}{AD}=\dfrac{1}{3}=\dfrac{MT}{MD}, TM+x=3MT\Rightarrow TM=\dfr...

Σε τετράγωνο $\displaystyle {\rm K}\Lambda {\rm M}{\rm N}$, το ${\rm A}$ είναι το μέσο της πλευράς ${\rm K}{\rm N}$. Φέρνω το ${\rm A}\Lambda $και έστω ${\rm B}$ το μέσον του. Φέρνω το ${\rm M}{\rm B}$και έστω $\Gamma $ το μέσον του. Φέρνω το $\Gamma {\rm N}$και έστω $\Delta $ το μέσον του. Αν το ε...

Αφύσικη συνευθειακότητα.pngΣε σημείο $T$ της ακτίνας $OA$ ενός κύκλου , υψώνω το κάθετο τμήμα $TP$ . Στο "κάτω" τμήμα του εντός του κύκλου , ημικυκλίου διαμέτρου $PA$ , κινείται σημείο $Q$ . Η ευθεία $AQ$ τέμνει τον κύκλο (και) στο σημείο $S$ . Δείξτε ότι το μέσο $M$ της $SP$ και τα $T , Q $ είναι ...

Υπολογίσιμη προέκταση.pngΣτην πλευρά $CD$ του - πλευράς $a$ - τετραγώνου $ABCD$ , πήραμε σημείο $N$ , τέτοιο ώστε : $CN=\dfrac{a}{3}$ . Η προέκταση της $AN$ τέμνει τον περίκυκλο του τετραγώνου στο $T$ , ενώ οι προεκτάσεις των $CT , AD$ τέμνονται στο σημείο $S$ . Υπολογίστε το τμήμα $DS$ . Από τα όμ...

605.png Στο παραπάνω σχήμα η $AB$ είναι διάμετρος του κύκλου $(O)$, το τρίγωνο $ACD$ ισόπλευρο και $E\equiv DA\cap (O)$. Αν $K, L, M, N$ τα μέσα των τμημάτων $OB, OE, DE, DB$ αντίστοιχα, να δείξετε ότι το $KLMN$ είναι ρόμβος. Xρόνια Πολλά, Καλή Χρονιά Εστω $AC=d,OA=R,$ Είναι $OD$ μεσοκάθετος του τμ...

Ώρα εφαπτομένης 171.pngΤα σημεία $M , N$ , είναι τα μέσα των κάθετων πλευρών του ορθογωνίου τριγώνου $ABC$ , ενώ το $S$ είναι σημείο της υποτείνουσας $BC$ , τέτοιο ώστε : $SB=2SC$ . Αν $MS \perp SN$ , υπολογίστε την : $\tan\theta$ . Το σημείο [tex]S[/tex ] είναι το βαρύκεντρο του τριγωνου $ALB,LT=T...

Νέο ορθογώνιο.pngΕίναι : $OAS=2r$ και το $ST$ εφαπτόμενο τμήμα . Από σημείο $P$ το οποίο κινείται στο $ST$ φέρουμε την ημιευθεία $PA$ , η οποία τέμνει τον κύκλο στο $Q$ και $PN\perp OS$ , η οποία τέμνει την παράλληλη από το $Q$ προς την $OS$ , στο σημείο $K$ . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του ορθο...

Χρόνια Πολλά στον Λευτέρη Πρωτοπαπά,με υγεία και αισιοδοξία

shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να βρείτε το εμβαδόν του τετραγώνου $ABCD.$ Εστω $ET=x,DC=a,EK//CB,$ $CB//EK\Rightarrow \dfrac{CB}{EA}=\dfrac{MB}{MK}\Rightarrow KB=\dfrac{x}{2}=CT,$ Για τις γωνίες στα ορθογώνια τρίγωνα $ADM,ADK,CET,\hat{ADM}=\hat{MDK}=\hat{CDE}= \hat{CET}=\omega$ Από Θ.Δ στο τρίγωνο $...

Ευλογημένη τεταγμένη.pngΥπολογίστε την τεταγμένη του ίχνους $D$ , της διχοτόμου $AD$ , αν η διχοτόμος της γωνίας $\widehat{ADB}$ , διέρχεται από το σημείο $S$ . To $OPST$ είναι τετράγωνο και $DI=IS$ Αν $OD=x_{1},TI=\psi$ Τότε από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα $ODA,ATI,y=\dfrac{x_{1}}{6},SI=7+\psi , $ ...