Η αναζήτηση βρήκε 6448 εγγραφές

από Demetres
Δευ Ιαν 16, 2017 11:19 am
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ
Θέμα: Απορία σε παραδειγμα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 130

Re: Απορία σε παραδειγμα

Χρήστο, στην αγγλική τέταρτη έκδοση που έχω μπροστά μου υπάρχει όντως λάθος. Το τελικό αποτέλεσμα πρέπει να είναι \displaystyle{ \frac{1}{3} \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0.7 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}}
από Demetres
Δευ Ιαν 16, 2017 11:01 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014-15 (ΦΙ τάξη 10)
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 219

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014-15 (ΦΙ τάξη 10)

4. Ο Αλέξανδρος έχει έναν υπολογιστή τσέπης με 3 πλήκτρα τα οποία είναι προγραμματισμένα να υπολογίζουν τρεις συναρτήσεις: \dfrac{x+2}{2x+3} , \dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{6} και \sin {5x} (για x=-3/2 το πρώτο πλήκτρο δεν λειτουργεί). Οποιαδήποτε άλλη λειτουργία αυτός ο υπολογιστής δεν μ...
από Demetres
Δευ Ιαν 16, 2017 10:55 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014-15 (ΦΙ τάξη 10)
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 219

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014-15 (ΦΙ τάξη 10)

Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014-2015 5. Σε πίνακα 8 \times 10 κελιών είναι σημειωμένα τα κελιά των δυο πιο αριστερών στηλών και των δυο τελευταίων (κάτω) γραμμών, συνολικά 32 κελιά. Ο νεαρός σκακιστής Αλέξης, κάνοντας κίνηση σκακιστικού βασιλιά θέλει να διατρέξει όλα αυτά τα κελιά με την μι...
από Demetres
Πέμ Ιαν 12, 2017 3:02 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ο μικρότερος αριθμός
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 732

Re: Ο μικρότερος αριθμός

Ας το δούμε λοιπόν. Κατ' αρχάς να κάνουμε μια διόρθωση στην εκφώνηση: Να βρεθεί ο μικρότερος αριθμός n για τον οποίον υπάρχουν ψηφία a,b ώστε ο n διαιρούμενος με τους αριθμούς ab,\ aba,\ abab αφήνει υπόλοιπο a,\ ab,\ aba αντίστοιχα. Θα δείξουμε ότι ο μικρότερος n είναι ο 4696 . [Με τα ψηφία a=1,b=5 ...
από Demetres
Τετ Ιαν 11, 2017 9:58 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Θεωρία Αριθμών
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 253

Re: Θεωρία Αριθμών

Αρχικά γράφω το άθροισμα ως \displaystyle{ \sum_{k=1}^{(p-1)/2} \left( \frac{1}{k} + \frac{1}{p-k}\right) = p \sum_{k=1}^{(p-1)/2} \frac{1}{k(p-k)}} Μένει λοιπόν να δείξω ότι για p > 3 ο αριθμητής του \displaystyle{ \sum_{k=1}^{(p-1)/2} \frac{1}{k(p-k)...
από Demetres
Τετ Ιαν 11, 2017 9:05 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Δυνατές διαδρομές και πρώτοι
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 167

Re: Δυνατές διαδρομές και πρώτοι

Βάζουμε συντεταγμένες ώστε κάτω αριστερά να έχουμε συντεταγμένες (0,0) και πάνω δεξιά (p,p) . Γράφουμε A(m,n) για το πλήθος των δυνατών διαδρομών ώστε να φτάσουμε στο σημείο (m,n) . Παρατηρούμε ότι: A(0,n) = 1 για κάθε n \in \{0,1,\ldots,p\} A(m,0) = 2...
από Demetres
Τετ Ιαν 11, 2017 9:55 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Διοφαντική!!
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 352

Re: Διοφαντική!!

Βρήκα μια λύση αρκετά μακροσκελή μεν, αλλά που βασίζεται μόνο σε γνώσεις ολυμπιάδων. (Μεταφέρω λοιπόν το θέμα στο Προχωρημένο Επίπεδο των Seniors.) Η λύση ακολουθεί το μοτίβο της απόδειξης ότι το μόνα τέλεια τετράγωνα στην ακολουθία Fibonacci είναι το 1 και το 144 . Σκιαγραφώ τα σημεία της απόδειξης...
από Demetres
Δευ Ιαν 09, 2017 7:16 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
Απαντήσεις: 2721
Προβολές: 199319

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Τσιαλας Νικολαος έγραψε:Μήπως και κάποιος άλλος μαθητής η' μαθηματικός θέλει να παρουσιάσει μια πιό απλή λύση? :D


Υπόδειξη: Φέρτε παράλληλες προς τις (κάθετες λ.χ.) πλευρές του τετραγώνου οι οποίες να περνούν από τις κορυφές του τριγώνου.
από Demetres
Δευ Ιαν 09, 2017 3:28 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Παίγνιο με κέρματα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 191

Re: Παίγνιο με κέρματα

Γράφουμε T_{n} για το πλήθος τον π-καλών ακολουθιών μήκους n . Έχουμε \displaystyle{ T_{2n+1} = 2T_{2n}} . Πράγματι είναι απλό ότι αν η ακολουθία x_1 , \ldots x_{2n} , x_{2n+1} είναι π-καλή το ίδιο ισχύει και για την ακολουθία x_1 , \ldots x_{2n} . Αντιστρόφως αν η x_1 , \ldots x_{2n} είναι π-καλή τ...
από Demetres
Δευ Ιαν 09, 2017 2:48 pm
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Τριγωνομετρικό άθροισμα με ακέραιο μέρος
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 125

Re: Τριγωνομετρικό άθροισμα με ακέραιο μέρος

Έχουμε \displaystyle{ \sum_{k=1}^{359} [n\sin(k^{\circ})] = \sum_{k=1}^{179} \left( [n\sin(k^{\circ})] + [-n\sin(k^{\circ})] \right)= -179 + a_n } όπου a_n είναι το πλήθος των k \in \{1,2,\ldots,179\} για τα οποίο ο [n\sin(k^{\circ})] + [-n\sin(k^{\circ}&#...
από Demetres
Σάβ Ιαν 07, 2017 3:59 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Ευχές σε Γιάννη, Ιωάννα
Απαντήσεις: 21
Προβολές: 238

Re: Ευχές σε Γιάννη, Ιωάννα

Χρόνια πολλά στους εορτάζοντές μας.
από Demetres
Σάβ Ιαν 07, 2017 12:03 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ
Θέμα: Τάξη του AB
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 175

Re: Τάξη του AB

Πολλαπλασιάζοντας δύο πίνακες AB = C , έχουμε ότι AB_i = C_i , δηλαδή κάθε στήλη του C είναι γραμμικός συνδυασμός των στηλών του A , σωστά; Το \text{Rank}(AB) είναι ο αριθμός των γραμμικά ανεξάρτητων στηλών του AB . Ισχύει ότι ο αριθμός αυτός είναι μικρότερος από τον αριθμό των γραμμικά ανε...
από Demetres
Παρ Ιαν 06, 2017 12:50 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Για τον Φώτη και την Φωτεινή
Απαντήσεις: 30
Προβολές: 51

Re: Για τον Φώτη και την Φωτεινή

Χρόνια πολλά στους εορτάζοντές μας!
από Demetres
Παρ Ιαν 06, 2017 11:50 am
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Τριγωνοποίηση πολυγώνου
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 115

Τριγωνοποίηση πολυγώνου

Δίνεται κυρτό πολύγωνο. Κάποιος έφερε κάποιες διαγωνίους του πολυγώνου, μη τεμνόμενες εσωτερικά, ώστε να το χωρίσει σε τρίγωνα. Ακολούθως σε κάθε κορυφή έγραψε τον αριθμό των τριγώνων στα οποία ανήκε. Έπειτα έσβησε τις διαγώνιους και άφησε γραμμένους τους αριθμούς στις κορυφές. Μπορείτε να βρείτε πο...
από Demetres
Παρ Ιαν 06, 2017 11:39 am
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Πύργοι σε σκακιέρα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 151

Re: Πύργοι σε σκακιέρα

Ακόμη μία λύση: Κάθε πύργος κάνει 3 βήματα. Οπότε είτε οριζόντια είτε κάθετα κάνει περιττό αριθμό βημάτων. Επειδή έχουμε περιττό αριθμό πύργων, είτε οριζόντια είτε κάθετα θα έχουμε περιττό αριθμό πύργων που κάνουν περιττό αριθμό βημάτων. Έστω χωρίς βλάβη της γενικότητας οριζόντια. Κάθε φορά που κάνο...
από Demetres
Παρ Ιαν 06, 2017 11:22 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Πρώτος γύρος Ελβετίας, 2004
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 747

Re: Πρώτος γύρος Ελβετίας, 2004

Πρώτος γύρος Ελβετίας, 2004 2. Στη συνήθη σκακιέρα ( 8\times 8 ) βρίσκονται 17 πύργοι. Δείξτε ότι υπάρχουν τρεις από αυτούς που δεν απειλούνται μεταξύ τους. Διαγράφουμε τις πέντε γραμμές με τους λιγότερους πύργους. Από τις τρεις γραμμές που έμειναν η μία έχει τουλάχιστον τρεις πύργους και οι άλλες ...
από Demetres
Πέμ Ιαν 05, 2017 11:07 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Στοίβες με νομίσματα
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 107

Στοίβες με νομίσματα

Έχουμε τρεις στοίβες με 51,49 και 5 νομίσματα αντίστοιχα. Σε κάθε κίνηση μπορούμε να πάρουμε δύο στοίβες και να τις ενώσουμε, ή να πάρουμε μια στοίβα με άρτιο αριθμό νομισμάτων και να την χωρίσουμε σε δυο ίσες στοίβες. Να εξεταστεί αν μπορούμε να καταλήξουμε σε 105 στοίβες με ένα νόμισμα η κάθε μία.
από Demetres
Πέμ Ιαν 05, 2017 9:55 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Πύργοι σε σκακιέρα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 151

Πύργοι σε σκακιέρα

Σε μια 15 \times 15 σκακιέρα είναι τοποθετημένοι 15 πύργοι ώστε να μην απειλούνται μεταξύ τους.

Κάθε ένας από αυτούς τους πύργους κάνει μία κίνηση όπως ένας ίππος. Να δειχθεί ότι μετά από αυτό υπάρχουν δυο πύργοι που απειλούνται μεταξύ τους. (Ή που βρίσκονται στην ίδια θέση.)
από Demetres
Πέμ Ιαν 05, 2017 9:51 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Αριθμοί στον πίνακα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 96

Re: Αριθμοί στον πίνακα

:coolspeak:

Μπορούμε να το κάνουμε και με «λίγες» κινήσεις;
από Demetres
Πέμ Ιαν 05, 2017 9:30 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Αριθμοί στον πίνακα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 96

Αριθμοί στον πίνακα

Στον πίνακα είναι αρχικά γραμμένος ο αριθμός 22. Σε κάθε βήμα, αν στον πίνακα είναι γραμμένος ο n να επιλέξουμε δυο φυσικούς a,b με a+b=n, να διαγράψουμε τον n, και να γράψουμε στην θέση του τον ab.

Μπορούμε με μια ακολουθία κινήσεων να γράψουμε στον πίνακα τον αριθμό 2001;

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση