Η αναζήτηση βρήκε 6699 εγγραφές

από Demetres
Τρί Μάιος 23, 2017 6:33 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Όμορφη Ανισότητα
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 209

Re: Όμορφη Ανισότητα

Αν για τα μήκη \displaystyle{a, b, c} των πλευρών ενός τριγώνου \displaystyle{\vartriangle{ABC}} ισχύει η σχέση \displaystyle{a^ab^bc^c \ge (a+b-c)^a(b+c-a)(c+a-b)^c} , να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο. Φαντάζομαι χάθηκε ένα b από τον εκθέτη στο δεξί μέλος και η ...
από Demetres
Δευ Μάιος 22, 2017 9:46 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά
Θέμα: ΒΕΛΤΙΣΤΗ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΟΘΟΝΗΣ
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 105

Re: ΒΕΛΤΙΣΤΗ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΟΘΟΝΗΣ

Κάθε ταινία είναι μια σειρά από καρέ. Ζητάμε από τον ιδιοκτήτη, τα περιττά καρέ να τα βλέπουμε μόνο στο αριστερό μισό της οθόνης και τα άρτια καρέ στο δεξί μισό. Επειδή κάθε δευτερόλεπτο περνούν από την οθόνη αρκετά καρέ, απλά θα χάσουμε λίγο από την ποιότητα.
από Demetres
Δευ Μάιος 22, 2017 11:40 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Κωνσταντίνου και Ελένης
Απαντήσεις: 38
Προβολές: 447

Re: Κωνσταντίνου και Ελένης

Χρόνια πολλά και από εμένα στους χθεσινούς μας εορτάζοντες.
από Demetres
Παρ Μάιος 19, 2017 9:21 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Σταθερό κινητό
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 140

Re: Σταθερό κινητό

αρκεί να δείξουμε AS\cdot AP + BS \cdot BP σταθερό. Έστω P' το αντιδιαμετρικό του P . Τότε αρκεί να δείξουμε ότι \displaystyle{ (AS)(BP') + (BS)(AP')} σταθερό. Από το θεώρημα του Πτολεμαίου αυτό είναι ισοδύναμο με το να δείξουμε ότι το (AB)(SP...
από Demetres
Παρ Μάιος 19, 2017 9:08 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα!
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 429

Re: Ανισότητα!

\displaystyle \ell^2(3\ell^2-2(3k^2-9k+5))-(2k+3)(18k^2-32k+15) \mathop \leqslant \limits^{\ell \leqslant k} k^2(3k^2-2(3k^2-9k+5))-(2k+3)(18k^2-32k+15)= Ορέστη, υπάρχει πρόβλημα στην πιο πάνω γραμμή. Τουλάχιστον ως προς την δικαιολόγη...
από Demetres
Πέμ Μάιος 18, 2017 3:35 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 8
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 832

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 8

Διαγώνισμα 8 Επίπεδο: Αρχιμήδης/Προκριματικός Seniors Πρόβλημα 1 Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη ακεραίων (m,n) τα οποία ικανοποιούν τη σχέση \displaystyle{3\cdot 5^m - 2 \cdot 6^n = 3.} Για n \leqslant 2 παίρνουμε τις λύσεις (1,1) και (2,2) . Έστω τώρα n \geqslant 3 . Οπότε 2...
από Demetres
Πέμ Μάιος 18, 2017 2:47 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Τέλειο τετράγωνο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 351

Re: Τέλειο τετράγωνο

Αρκεί να βρω έναν θετικό ακέραιο N ο οποίος να γράφεται με τρεις διαφορετικούς τρόπους ως άθροισμα άρτιων τετραγώνων: Αν π.χ. N = x^2+y^2 = u^2+v^2 = r^2+s^2 με x,y,u,v,r,s άρτιους, τότε μπορώ να πάρω \displaystyle{a = (x^2+u^2-s^2)/2, b = (x^2+s^2-u^2)/2, c = (y^2 + u^2 - r^2...
από Demetres
Πέμ Μάιος 18, 2017 9:00 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMC Stage-II 2016
Απαντήσεις: 45
Προβολές: 1168

Re: IMC Stage-II 2016

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:
socrates έγραψε:Nικόλα, αν αντί δύο άσσων αφαιρέσεις τα δύο πρώτα ψηφία (23) ο αριθμός θα είναι 571... που είναι μεγαλύτερος ;)


:oops: Το διόρθωσα...


Πρέπει να είσαι πιο προσεκτικός. Δεν είναι αυτή η σωστή απάντηση.
από Demetres
Τετ Μάιος 17, 2017 5:09 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMC Stage-II 2016
Απαντήσεις: 45
Προβολές: 1168

Re: IMC Stage-II 2016

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:
Οι 10 πρώτοι που έγραψε σχημάτισαν τον αριθμό 2357111317192327. Αν του αφαιρέσει 7 ψηφία, προκύπτει ο αριθμός 235711131.


Μπορεί να αφαιρέσει όποια 7 ψηφία θέλει.
από Demetres
Τετ Μάιος 17, 2017 5:05 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Προετοιμασία για JBMO (2)
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 541

Re: Προετοιμασία για JBMO (2)

Το πρόβλημα 2 ήταν εδώ https://artofproblemsolving.com/community/c6h20513p815736 Η λύση βέβαια δεν είναι καθόλου κομψή. :shock: Αναρωτιέμαι ποια είναι η λύση που έχει ο Datis - Kalali. Γιατί είναι απαραίτητο να έχει λύση; Αν είναι σωστή η απάντηση στον σύνδεσμο, είναι ακατάλληλη και για Seniors. Πό...
από Demetres
Τετ Μάιος 17, 2017 3:30 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Συνδυαστική Γεωμετρία
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 112

Συνδυαστική Γεωμετρία

Δίνονται 6 σημεία στο επίπεδο ανά τρία μη συνευθειακά καθώς και ένας πραγματικός αριθμός k.

Γνωρίζουμε ότι για κάθε τέσσερα από αυτά τα σημεία, υπάρχει ένα ώστε η δύναμη αυτό του σημείου ως προς τον κύκλο που ορίζουν τα άλλα τρία να ισούται με k.

Να δειχθεί ότι τα 6 σημεία είναι ομοκυκλικά.
από Demetres
Τετ Μάιος 17, 2017 9:55 am
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Ακολουθία ακεραίων
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 231

Re: Ακολουθία ακεραίων

ksofsa έγραψε:Εύκολα δείχνουμε ότι επειδή οι ακολουθίες έχουν ανά δύο την ιδιότητα Α, υπάρχουν 2017 όροι της ακολουθίας α, ώστε ανά δύο να είναι διαφορετικοί.


Δεν είμαι σίγουρος γι' αυτό. Π.χ. αν όλες ακολουθίες πάνε εναλλάξ 1,2 τότε έχουν ανά δύο την ιδιότητα Α αλλά δεν ισχύει το συμπέρασμα.
από Demetres
Τρί Μάιος 16, 2017 8:03 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 6
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 639

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 6

b]Πρόβλημα 4[/b] Τετράγωνο ABCD πλευράς n όπου n θετικός ακέραιος διαιρείται σε n^2 μοναδιαία τετράγωνα όπως στο σχήμα. (Περίπτωση για n=4 ) Στην συνέχεια φέρνουμε την διαγώνιο του κάθε μοναδιαίου τετραγώνου που είναι παράλληλη με την BD . Μία αράχνη ξεκινάει από το A θέλοντας να φτάσει στο C μέσω ...
από Demetres
Τρί Μάιος 16, 2017 7:59 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 6
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 639

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 6

Πρόβλημα 3 Δίνεται το σύνολο S=1,2,3, ... το οποίο περιλαμβάνει όλους τους θετικούς ακεραίους. Ο μικρός Θανάσης έχει στην διάθεσή του 2 σημειωματάρια, ένα κόκκινο και ένα πράσινο. Σε κάθε κίνηση, ο Θανάσης επιλέγει έναν αριθμό από το σύνολο S (τον οποίο δεν έχει ξαναεπιλέξει προηγουμένως) και ψάχνε...
από Demetres
Τρί Μάιος 16, 2017 7:20 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 7
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 370

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 7

Πρόβλημα 4 Ο μικρός Θανάσης, χωρίζει τον πίνακα σε 4 στήλες (έστω R_1, R_2, R_3, R_4 αντίστοιχα η 1η, 2η, 3η, 4η στήλη). Στην συνέχεια γράφει 4 διαδοχικούς θετικούς ακέραιους στον πίνακα, (έστω a_1, a_2, a_3, a_4 με a_1<a_2<a_3<a_4 ) έτσι ώστε ο a_i να βρίσκεται στην R_i στήλη. Σε κάθε κίνηση, ο Θα...
από Demetres
Τρί Μάιος 16, 2017 6:28 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 7
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 370

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 7

Πρόβλημα 4 Ο μικρός Θανάσης, χωρίζει τον πίνακα σε 4 στήλες (έστω R_1, R_2, R_3, R_4 αντίστοιχα η 1η, 2η, 3η, 4η στήλη). Στην συνέχεια γράφει 4 διαδοχικούς θετικούς ακέραιους στον πίνακα, (έστω a_1, a_2, a_3, a_4 με a_1<a_2<a_3<a_4 ) έτσι ώστε ο a_i να βρίσκεται στην R_i στήλη. Σε κάθε κίνηση, ο Θα...
από Demetres
Τρί Μάιος 16, 2017 6:00 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 9
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 493

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 9

Πρόβλημα 4 Κάθε σημείο του επιπέδου χρωματίζεται είτε κόκκινο, είτε πράσινο, είτε μπλε. Να δείξετε ότι υπάρχει ισοσκελές τρίγωνο με κορυφές του ίδιου χρώματος . Χωρίς βλάβη της γενικότητας το (0,0) είναι μπλε. Κοιτάζω τους κύκλους με κέντρο το (0,0) και ακτίνες 1,2,\sqrt{8} και 3 αν...
από Demetres
Τρί Μάιος 16, 2017 1:17 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Έντομο σε σκακιέρα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 131

Re: Έντομο σε σκακιέρα

Ωραίο! Έχουμε πηγή; Έστω ότι υπάρχει περίπτωση ώστε το έντομο να μην ξεφεύγει ποτέ από την σκακιέρα. Τότε θα υπάρξει μια πρώτη φορά στην οποία το έντομο επανέρχεται σε ένα τετραγωνάκι στο οποίο βρέθηκε και πριν και επιπλέον με όλα τα βέλη σε όλα τα τετραγωνάκια να έχουν την ίδια φορά όπως και την πρ...
από Demetres
Τρί Μάιος 16, 2017 1:07 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: όμορφο γινόμενο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 253

Re: όμορφο γινόμενο

Δεν είναι ξεκάθαρο ποιος είναι ο γενικός όρος.
από Demetres
Κυρ Μάιος 14, 2017 12:06 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ίδιος βαθμός το πολύ σε ένα πρόβλημα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 143

Re: Ίδιος βαθμός το πολύ σε ένα πρόβλημα

Δες το ξανά διότι δεν είναι η σωστή απάντηση.

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση