Η αναζήτηση βρήκε 6570 εγγραφές

από Demetres
Τρί Μαρ 28, 2017 11:43 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΚΛΟΓΩΝ ΣΤΗΝ ΕΜΕ
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 942

Re: ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΚΛΟΓΩΝ ΣΤΗΝ ΕΜΕ

Προσοχή! Η συγκεκριμένη συζήτηση άνοιξε πριν δύο χρόνια και τα αποτελέσματα που ανάρτησε ο Γιάννης είναι των προηγούμενων αρχαιρεσιών.

Τα αποτελέσματα για το 2017 βρίσκονται εδώ. Βλέπω βέβαια ότι ο Γιάννης έχει επανεκλεγεί. Συγχαρητήρια τόσο στον Γιάννη όσο και στους υπόλοιπους που έχουν εκλεγεί.
από Demetres
Δευ Μαρ 27, 2017 4:26 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Άθροισμα με γινόμενο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 120

Re: Άθροισμα με γινόμενο

Tolaso J Kos έγραψε:Δημήτρη , ευχαριστώ ... τη κύρια παρατήρηση δε την ήξερα .


Μα δεν είναι θέμα να την ξέρεις! Το \displaystyle{ \sum_{n=1}^m \prod_{k=1}^n \frac{a_k}{1+a_{k+1}} } εμφανίζεται από μόνο του. Αν μάλιστα υπολογίσεις τους πρώτους όρους θα υποψιαστείς ουσιαστικά και την κύρια παρατήρηση.
από Demetres
Δευ Μαρ 27, 2017 4:10 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Άθροισμα με γινόμενο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 120

Re: Άθροισμα με γινόμενο

Είναι απλό να δειχθεί επαγωγικά ότι \displaystyle{ \sum_{n=1}^m \prod_{k=1}^n \frac{a_k}{1+a_{k+1}} = a_1 - \frac{a_1a_2 \cdots a_m}{(1+a_1) \cdots (1+a_{m+1})}} Αυτή είναι και η κύρια παρατήρηση. Όλα τα υπόλοιπα γίνονται τώρα σχετικά εύκολα: Στην περίπτωσή μας, έχουμε a_k = 1 + k \l...
από Demetres
Σάβ Μαρ 25, 2017 7:16 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Ευχές
Απαντήσεις: 17
Προβολές: 234

Re: Ευχές

Χρόνια πολλά και από εμένα στους εορτάζοντές μας.
από Demetres
Σάβ Μαρ 25, 2017 7:16 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ισότητα συντελεστών
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 261

Re: Ισότητα συντελεστών

Θα υπολογίσουμε τον συντελεστή του x^{2n} στο ανάπτυγμα (1+x+x^2)^n(1-x+x^2)^n . Είναι \displaystyle{(1+x+x^2)^n(1-x+x^2)^n = (a_0 + a_1x + \cdots + a_{2n}x^{2n})(a_0 - a_1x + \cdots + a_{2n}x^{2n})} οπότε ο συντελεστής του x^{2n} ισούται με \displayst...
από Demetres
Σάβ Μαρ 25, 2017 2:48 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Με ψηφία...
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 96

Re: Με ψηφία...

Η μόνη πυθαγόρεια τριάδα με μονοψήφιους αριθμούς είναι η 3,4,5. Άρα το τελευταίο ψηφίο του δοσμένου αριθμού πρέπει να είναι ένα από αυτά. Όμως ο αριθμός ισούται με 2 σε περιττή δύναμη και άρα το τελευταίο ψηφίο του πρέπει να ισούται με 2 ή 8, άτοπο.
από Demetres
Παρ Μαρ 24, 2017 11:51 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: FMID
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 215

Re: FMID

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Ας δούμε τωρα λύση και με FMID...


Δηλαδή; :?: :oops:
από Demetres
Πέμ Μαρ 23, 2017 3:49 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2015-16 (ΦΙΙ τάξη 8)
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 427

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2015-16 (ΦΙΙ τάξη 8)

4. Τετράγωνο διαστάσεων 50 \times 50 κελιών, διαμερίζεται σε πλακίδια διαστάσεων 2 \times 5 . Να αποδείξετε, ότι μπορούμε να ορίσουμε μια τέτοια διαμέριση του τετραγώνου σε ορθογώνια διαστάσεων 1 \times 3 , ώστε κάθε πλακίδιο 2 \times 5 να περιέχει τουλάχιστον ένα ολόκληρο ορθογώνιο. Μήπως κάτι πάε...
από Demetres
Πέμ Μαρ 23, 2017 3:46 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2015-16 (ΦΙΙ τάξη 8)
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 427

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2015-16 (ΦΙΙ τάξη 8)

5. Ο Βασίλης έγραψε σε μια γραμμή 100 διαδοχικούς αριθμούς. Στην δεύτερη γραμμή κάτω από κάθε αριθμό της πρώτης έγραψε ένα γνήσιο διαιρέτη του. Στην τρίτη γραμμή κάτω από κάθε αριθμό της δεύτερης γραμμής έγραψε έναν γνήσιο διαιρέτη του κ.ο.κ., χωρίς να φτάσει τις 1000 γραμμές. Είναι δυνατόν, κάθε γ...
από Demetres
Τετ Μαρ 22, 2017 11:21 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Άλυσος μηδενικών συνόλων
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 158

Re: Άλυσος μηδενικών συνόλων

Θα ρίξω αρκετά από τα μεγάλα όπλα. Έστω μια καλή διάταξη \prec του [0,1] ώστε κάθε αρχικό κομμάτι της \prec να έχει πληθικότητα μικρότερη του \mathbb{R} . Αν επιπλέον χρησιμοποιήσουμε και την υπόθεση του συνεχούς, τότε κάθε αρχικό κομμάτι της \prec είναι αριθμήσιμο. Για x \in [0,1] ορίζω A_x = \{y \...
από Demetres
Τετ Μαρ 22, 2017 10:57 am
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Επόμενος όρος ακολουθίας
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 225

Re: Επόμενος όρος ακολουθίας

Η ακολουθία περιέχει (σε αύξουσα σειρά) τους αριθμούς n για τους οποίους δεν μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα κανονικό n -γωνο με κανόνα και διαβήτη. Δηλαδή όλους τους αριθμούς οι οποίοι δεν μπορούν να γραφτούν στην μορφή 2^r p_1 p_2 \cdots p_k όπου k,r μη αρνητικοί ακέραιοι και p_1,\ldots,p_k διακεκρ...
από Demetres
Τρί Μαρ 21, 2017 1:55 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Να χωρίσετε τον μπακλαβά!
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 359

Re: Να χωρίσετε τον μπακλαβά!

Και μια δίκαιη αλλά μη γεωμετρική λύση: Βάζω την άκρη του μαχαιριού μου στο A και αρχίζω σιγά σιγά να την μετακινώ προς το C . Σε οποιαδήποτε στιγμή οποιοσδήποτε από τους Χάρη και Ορέστη επιτρέπεται να φωνάξει «στοπ». Αν την συγκεκριμένη στιγμή το μαχαίρι μου βρίσκεται στο σημείο Q , τότε θα κόψω το...
από Demetres
Τρί Μαρ 21, 2017 1:44 pm
Δ. Συζήτηση: ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
Θέμα: Μαθηματική Άνοιξη
Απαντήσεις: 85
Προβολές: 6614

Re: Μαθηματική Άνοιξη

Κύρια παρατήρηση: ακόμη και αν δεν πάρει μετάλλιο ... γιατί να μην μπορεί να εξασφαλίσει την είσοδο της σε εντός Αττικής σχολή της προτίμησης της ... μέσω πανελλαδικών εξετάσεων; Γιώργο, το κύριο θέμα είναι που πρέπει να δώσει έμφαση ο μαθητής/μαθήτρια. Για να πας καλά στις πανελλήνιες, όσο καλός κ...
από Demetres
Τρί Μαρ 21, 2017 12:20 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα...
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 245

Re: Ανισότητα...

Ας το δούμε και χωρίς την Popoviciu. Συνεχίζω από εδώ a+b+c+\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}\leq \sqrt{2(a^2+b^2)}+\sqrt{2(b^2+c^2)}+\sqrt{2(c^2+a^2)} Θα γράψω a+b+c = 3u και a^2+b^2+c^2 = 3v^2 . Παρατηρώ επίσης ότι 2(ab+bc+ca) = 9u^2-3v^2 Το αριστερό μέλος της ανισότητα...
από Demetres
Δευ Μαρ 20, 2017 5:41 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Δύσκολη;
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 234

Re: Δύσκολη;

Μάλλον κάτι δεν πάει καλά με την εκφώνηση.
από Demetres
Σάβ Μαρ 18, 2017 5:59 pm
Δ. Συζήτηση: B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Ταυτότητες
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 612

Re: Ταυτότητες

Έχουν ακουστεί οι διάφορες απόψεις για το αν σωστά άνοιξε το θέμα ή όχι. Ας μείνουμε μέχρι εδώ. Δεν τίθεται θέμα αμφισβήτησης για τα προσωπικά μηνύματα που ανταλλάγησαν μεταξύ του Νικόλα και του Ορέστη.

Το θέμα κλειδώνεται.
από Demetres
Πέμ Μαρ 16, 2017 2:48 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Απλή!
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 180

Re: Απλή!

Θα την μεταφέρω στους Seniors. Αν χρειαζόμαστε lifting the exponent για την επίλυση τότε δεν είναι τόσο κατάλληλη για Juniors. Σκεφτείτε πόσα πρέπει να μάθει ένας Junior προτού να είναι έτοιμος να την αντιμετωπίσει. Πιθανώς τέτοια άσκηση να μην έμπαινε ούτε στον Αρχιμήδη των Seniors! Έχουν βέβαια εμ...
από Demetres
Πέμ Μαρ 16, 2017 2:22 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά
Θέμα: U 397 ΑΠΟ ΜATHEMATICAL REFLECTIONS
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 169

Re: U 397 ΑΠΟ ΜATHEMATICAL REFLECTIONS

Εφόσον δεν διευκρινίζει, θα υποθέσω ότι είναι από n=1 έως άπειρο. Ας θυμηθούμε ότι \displaystyle{T_n = \binom{n+1}{2} = \frac{n^2+n}{2}} άρα 8T_n-3 = 4n^2+4n-3 και 8T_{n+1}-3 = 4n^2+12+5 . Μπορούμε εύκολα να ελέγξουμε ότι \displaystyle{ \frac{n}{6}(4n^2+12n+5) - \frac{n+2}{6}(4n^2+4n-3&#...
από Demetres
Πέμ Μαρ 16, 2017 2:05 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Επιλογή Αριθμών.
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 240

Re: Επιλογή Αριθμών.

Είναι αρκετά σημαντική άσκηση μιας και τέτοιες απαριθμήσεις με διάφορες παραλλαγές εμφανίζονται πολύ συχνά ως κομμάτια ασκήσεων. Αν και το έχει καλύψει ο Δημήτρης, ας το δούμε και ελάχιστα διαφορετικά: Θα αποφασίσουμε πόσους αριθμούς θα αφήσουμε πριν τον πρώτο αριθμό, πόσους μεταξύ του πρώτου και το...
από Demetres
Πέμ Μαρ 16, 2017 12:44 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2017 (10η τάξη)
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 341

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2017 (10η τάξη)

Πρόβλημα 6. Στο Σικάγο δρουν 36 εγκληματικές συμμορίες μερικές από τις οποίες έχουν διενέξεις μεταξύ τους. Κάθε γκάγκστερ είναι μέλος μερικών συμμοριών, εξάλλου οποιοιδήποτε δυο γκάγκστερ είναι μέλη διαφορετικών ομάδων (συνόλων) συμμοριών. Είναι γνωστό ότι κανένας γκάγκστερ δεν είναι μέλος δυο συμμ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση