Η αναζήτηση βρήκε 6747 εγγραφές

από Demetres
Κυρ Ιουν 25, 2017 12:57 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO Shortlist 2016
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 103

Re: JBMO Shortlist 2016

Ας δούμε τα θέματα της περσινής Shortlist: A1: Οι θετικοί πραγματικοί a,b,c είναι τέτοιοι ώστε abc=8 . Να δείξετε ότι \displaystyle\frac{ab+4}{a+2}+\frac{bc+4}{b+2}+\frac{ac+4}{c+2}\geq 6. Καλό. Παρατηρώ ότι \displaystyle{ a+2 = \frac{abc+2bc}{bc} = \frac{8+2bc}{bc} = \frac{2}{bc} (bc+4)} Ο...
από Demetres
Κυρ Ιουν 25, 2017 11:48 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO 2017
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 217

Re: JBMO 2017

Καλή επιτυχία!
από Demetres
Κυρ Ιουν 25, 2017 11:47 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Κόψτε τετράγωνο 10x10 σε 100 ἴσα τετράπλευρα εγγράψιμα σὲ κύκλο διαμέτρου √3
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 47

Re: Κόψτε τετράγωνο 10x10 σε 100 ἴσα τετράπλευρα εγγράψιμα σὲ κύκλο διαμέτρου √3

Το είχα δει που το είχες βάλει στο facebook αλλά αμέλησα να το απαντήσω. Παίρνουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα \sqrt{3} και μήκη πλευρών \sqrt{3/2} και \sqrt{3/2} . Παίρνουμε ένα άλλο ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα \sqrt{3} και μήκη πλευρών 1+\sqrt{2}/2 και 1 - \sqrt{2}/2 . Κολλάμε αυτά τ...
από Demetres
Κυρ Ιουν 25, 2017 11:21 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ELMO 2017 Ημέρα Πρώτη
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 398

Re: ELMO 2017 Ημέρα Πρώτη

Πρόβλημα 3 . O Νίκος ζωγραφίζει το γράμμα K στα κελιά ενός τετράγωνου πλέγματος.Παρόλα αυτά δεν θέλει να ζωγραφίσει το K σε 3 συνεχόμενα κελιά(οριζόντια,κάθετα ή διαγώνια).Να βρείτε όλους τους πραγματικούς αριθμούς d > 0 τέτοιοι ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n ,ο Νίκος να μπορέσει να σημειώσει τουλά...
από Demetres
Τρί Ιουν 20, 2017 10:29 am
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Άθροισμα πρώτων
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 234

Re: Άθροισμα πρώτων

Ο wolframalpha λέει ότι είναι 142913828922 . Ας δούμε κάτι πιο ενδιαφέρον για αυτόν τον φάκελο: Ας γράψουμε S(n) για το άθροισμα όλων των πρώτων οι οποίοι είναι μικρότεροι ή ίσοι του n . Να δειχθεί ότι \displaystyle{ S(n) \sim \frac{n^2}{2\log{n}}} Επιτρέπεται η χρήση του θεωρήματος ...
από Demetres
Κυρ Ιουν 18, 2017 10:03 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Άθροισμα μηδέν
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 185

Re: Άθροισμα μηδέν

Για n=1 προφανώς δεν γίνεται. Για n=3 επίσης δεν γίνεται αφού τότε τα x_i θα είναι ρίζες του πολυωνύμου x^3 - x_1x_2x_3 το οποίο όμως έχει μόνο μία πραγματική ρίζα. (Εδώ χρησιμοποιήσαμε τους τύπους του Vieta και το γεγονός ότι x_1+x_2+x_3 = 0 = x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1 .) Θα δείξουμε ότι γίνεται για κάθ...
από Demetres
Κυρ Ιουν 18, 2017 9:46 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Χρωματισμός ακεραίων
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 115

Re: Χρωματισμός ακεραίων

Αν ο m είναι άσπρος, τότε και ο m+20 είναι άσπρος και άρα και ο m+40 είναι άσπρος. Οπότε και ο m+5 είναι άσπρος αφού αν ήταν μαύρος, θα ήταν και ο m+40 μαύρος. Επίσης αν ο m είναι άσπρος, βρίσκουμε διαδοχικά ότι οι m+20,m+25,m+30,m-5 είναι επίσης άσπροι. Άρα δύο αριθμοί ισότιμοι modulo 5 πρέπει να έ...
από Demetres
Κυρ Ιουν 18, 2017 9:24 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Συνδυαστική ή άλγεβρα;
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 236

Re: Συνδυαστική ή άλγεβρα;

Την άσκηση την πήρα από εδώ . Βάζω μια συνδυαστική απόδειξη που μπήκε εκεί: Στο πρώτο βήμα βάζουμε n νομίσματα στο σημείο (1,1) . Στο βήμα k , για k \geqslant 2 , κοιτάζουμε όλα τα σημεία της μορφής (a,b) με a+b = k . Αν το σημείο έχει άρτιο αριθμό νομισμάτων, μεταφέρουμε τα μισά νομ...
από Demetres
Κυρ Ιουν 18, 2017 8:35 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Με διαιρέτες
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 166

Re: Με διαιρέτες

Datis-Kalali έγραψε:Αν p είναι ο μικρότερος του περιττός (πρώτος) διαρέτης, τότε d_3=p


Δεν θα μπορούσε να είναι d_3 = 4;
από Demetres
Κυρ Ιουν 18, 2017 1:11 pm
Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θέμα: Υπαρξιακό από Β' Προσανατολισμού
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 385

Re: Υπαρξιακό από Β' Προσανατολισμού

Υπάρχει και λύση χωρίς καθόλου πράξεις. Ας βάλω και αυτό που είχα υπόψη. Έστω O η αρχή των αξόνων και A,B τέτοια ώστε τα \mathbf{a} και \mathbf{b} είναι τα διανύσματα θέσεώς τους αντίστοιχα. Επειδή (AO)=1 , μπορούμε να βρούμε (μοναδικό) σημείο C στην ευθεία που περνάει από τα Ο,Β , από την ...
από Demetres
Σάβ Ιουν 17, 2017 10:50 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Πρόβλημα με πίνακα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 501

Re: Πρόβλημα με πίνακα

Ας δούμε πρώτα ότι δεν γίνεται να έχουμε j=4 : Σίγουρα μόνο ένας από τους αριθμούς 1,2,\ldots,10 μπορεί να είναι σε ένα από τέσσερα γωνιακά τετράγωνα. Επίσης, μόνο ένας από τους αριθμούς 91,\ldots,100 μπορεί να είναι σε ένα από τέσσερα γωνιακά τετράγωνα. Σίγουρα λοιπόν σε ένα από τα τέσσερα γωνιακά ...
από Demetres
Σάβ Ιουν 17, 2017 2:10 pm
Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θέμα: Υπαρξιακό από Β' Προσανατολισμού
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 385

Re: Υπαρξιακό από Β' Προσανατολισμού

Υπάρχει και λύση χωρίς καθόλου πράξεις.
από Demetres
Παρ Ιουν 16, 2017 2:05 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Δύσκολο πρόβλημα!!
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 426

Re: Δύσκολο πρόβλημα!!

Μου φαίνεται εύκολο για πρόβλημα 3. Ιδίως για σχετικά πρόσφατη ολυμπιάδα. Από την άλλη το αρχικό πρόβλημα φαίνεται εξαιρετικά δύσκολο. Έχω μια ιδέα η οποία πρέπει να δουλεύει αλλά θέλει θεώρημα πρώτων αριθμών και μάλιστα με μη τετριμμένο τρόπο. Γνωρίζουμε αν το πρόβλημα έχει πιο στοιχειώδη λύση ή αν...
από Demetres
Πέμ Ιουν 15, 2017 12:29 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Τετράγωνο απόστασης
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 116

Τετράγωνο απόστασης

Να βρεθεί ο ελάχιστος φυσικός n ώστε αν έχουμε n σημεία με ακέραιες συντεταγμένες στο επίπεδο τότε υπάρχουν δύο που το τετράγωνο της απόστασής τους είναι πολλαπλάσιο του 2016.
από Demetres
Πέμ Ιουν 15, 2017 10:43 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Δύσκολο πρόβλημα!!
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 426

Re: Δύσκολο πρόβλημα!!

Ας δείξουμε πρώτα το ευκολότερο: Υπάρχουν άπειροι n ώστε ο n^2+1 να έχει πρώτο διαιρέτη μεγαλύτερο από 2n+\sqrt{2n} . Έστω p = 4k+1 πρώτος. Γνωρίζουμε ότι υπάρχει x ώστε x^2 \equiv -1 \bmod p . Επιπλέον στο διάστημα \{1,2,\ldots,4k\} υπάρχουν ακριβώς δύο τέτοια x . Το άθροισμά τους ισούται με p οπό...
από Demetres
Πέμ Ιουν 15, 2017 10:31 am
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Μεσογειακά σύνολα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 104

Re: Μεσογειακά σύνολα

Θα δείξω ότι αυτό ισχύει μόνο για n=203 . Αυτό είναι άμεση συνέπεια των Λημμάτων 1-4 Λήμμα 1: Αν n \geqslant 204 τότε το \{1,2,\ldots,n\} έχει ένα υποσύνολο 100 στοιχείων που δεν είναι βαλεαρικό. Απόδειξη: Μπορούμε να πάρουμε το A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4 \cup A_5 \cup B όπου: \displaystyle{A_1 ...
από Demetres
Πέμ Ιουν 15, 2017 9:56 am
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Αντιπαράδειγμα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 174

Re: Αντιπαράδειγμα

Βάζω και ένα προγραμματάκι που είχα φτιάξει πριν κάποιο καιρό για αυτήν την συνάρτηση. Δείτε εδώ . Μπορείτε να ζουμάρετε όσο θέλετε μέσα στην συνάρτηση επιλέγοντας το αριστερό και το δεξί άκρο. Μόνο που η συνάρτηση που σχεδιάζει το πρόγραμμα δεν είναι η Weierstrass αλλά μια αρκετά καλή προσέγγισή τη...
από Demetres
Τετ Ιουν 14, 2017 9:53 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Θήκη συνόλου
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 97

Re: Θήκη συνόλου

Και να το αποδείξουμε μπορούμε και προφανές είναι. Το \bar{A} είναι κλειστό ως τομή κλειστών συνόλων. Έστω τώρα κλειστό σύνολο G με A \subseteq G . Τότε G \in \{F:F \text{ closed and } A \subseteq F \} . Άρα \bar{A} \subseteq G . Δηλαδή το \bar{A} είναι το μικρότερο κλειστό σύνολο που περιέχει το A ...
από Demetres
Τετ Ιουν 14, 2017 5:23 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Τετραγωνική
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 325

Re: Τετραγωνική

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:
Για τις εφαπτόμενες δεν αναφέρω τίποτα γιατί η λύση γράφτηκε πολύ βιαστικά.


Νικόλα, πολλοί από εμάς σε έχουμε παροτρύνει κατά καιρούς να μην βιάζεσαι να γράφεις. Προσπάθησε να το τηρήσεις.
από Demetres
Τετ Ιουν 14, 2017 5:18 pm
Δ. Συζήτηση: Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Μέσος Όρος Ηλικίας
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 424

Re: Μέσος Όρος Ηλικίας

Προκαλώ τους μαθητές μας να δώσουν (εκτός της αλγεβρικής λύσης) και λύση με πρακτική αριθμητική. Έχω στο νου μου μια λύση μισής γραμμής. (Εντάξει, με μικρά γράμματα εννοώ...). Δεν ξέρω τι έχει στο μυαλό του ο Γιώργος αλλά ας δούμε το πιο κάτω: Αν προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε κάποια χρόνια σε όλους του...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση