Η αναζήτηση βρήκε 6874 εγγραφές

από Demetres
Σάβ Αύγ 19, 2017 11:27 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2007(ΦΙΙΙ τάξη 9)
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 128

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2007(ΦΙΙΙ τάξη 9)

5. Στον πίνακα είναι γραμμένο το τριώνυμο x^2+25x+425 . Παίζουν δυο: με μια κίνηση επιτρέπεται να αφαιρεθεί μια μονάδα είτε από τον συντελεστή του x , είτε από τον σταθερό συντελεστή. Κερδίζει αυτός, μετά την κίνηση του οποίου πρώτη φορά θα εμφανιστεί τριώνυμο, που έχει πραγματική ρίζα. Ποιος κερδί...
από Demetres
Σάβ Αύγ 19, 2017 11:03 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2015 (ΦΙ τάξη 8)
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 277

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2015 (ΦΙ τάξη 8)

3. Στο διαγαλαξιακό φεστιβάλ «Ουράνιο Τόξο» προσήλθαν 107 πράσινα και μωβ ανθρωπάκια. Τα πράσινα ανθρωπάκια αντιλαμβάνονται σωστά τα χρώματα, δυστυχώς όμως τα μωβ αντιλαμβάνονται το πράσινο ως μωβ και το ανάποδο. Κοιτώντας γύρο, γύρο, κάθε συμμετέχων του φεστιβάλ πλησίασε κάποιον και είπε «Μα τι μω...
από Demetres
Σάβ Αύγ 19, 2017 10:29 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Putnam 2013/A2
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 114

Re: Putnam 2013/A2

Σωστά. Χρειάζεται όμως μια επιπλέον λεπτομέρεια. Ότι ο μικρότερος από τους πρώτους όρους παραμένει στο γινόμενο.
από Demetres
Παρ Αύγ 18, 2017 1:10 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Πυθαγόρεια Τριάδα
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 215

Re: Πυθαγόρεια Τριάδα

Αν a^2+b^2=c^2 τότε \exists m,n: a=2mn, b=m^2-n^2, c=m^2+n^2 . Έτσι είμαστε σίγουροι ότι δεν υπάρχουν άλλες τριάδες. Αυτό περίμενα να δω. Υπάρχει όμως μια μικρή παράληψη. Αυτά είναι για τριάδες όπου ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των a,b,c ισούται με 1 . Για την γενική περίπτωση οι τριάδες είναι της μ...
από Demetres
Παρ Αύγ 18, 2017 10:44 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Putnam 2013/A2
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 114

Putnam 2013/A2

Έστω S το σύνολο όλων των θετικών ακεραίων οι οποίοι δεν είναι τέλεια τετράγωνα. Για n \in S θεωρούμε όλες τις πιθανές επιλογές ακεραίων a_1,\ldots,a_r ώστε \displaystyle{ n < a_1 < \cdots < a_r } και το \displaystyle{n a_1 \cdots a_r} είναι τέλειο τετράγωνο. Ορίζουμε το f(n) να είναι η ελάχ...
από Demetres
Παρ Αύγ 18, 2017 10:32 am
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Putnam 2013/A1
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 139

Re: Putnam 2013/A1

Μπορούμε να τελειώσουμε την άσκηση και ως εξής, αποφεύγοντας να σχεδιάσουμε το εικοσάεδρο:

Αν έχουμε 5 έδρες με τον ίδιο αριθμό, δύο από αυτές θα έχουν κοινή κορυφή αφού σε διαφορετική περίπτωση το εικοσάεδρο θα είχε τουλάχιστον 3 \times 5 = 15 κορυφές, άτοπο.
από Demetres
Πέμ Αύγ 17, 2017 7:35 pm
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΡΙΖΕΣ
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 590

Re: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΡΙΖΕΣ

mikemoke έγραψε:Γιατί δεν μπορούμε να το πούμε ;


Εκ παραδρομής έδωσα λανθασμένο παράδειγμα. Δες το γράφημα της f(x) = \sin(1/x). Υπάρχουν θετικές τιμές του x στις οποίες μηδενίζεται αλλά δεν υπάρχει μικρότερη τέτοια.
από Demetres
Πέμ Αύγ 17, 2017 6:00 pm
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΡΙΖΕΣ
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 590

Re: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΡΙΖΕΣ

Εστω f:I\rightarrow \mathbb{R} παραγωγίσιμη I ανοικτό διάστημα και a\in I Εστω g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} συνεχής. Ισχύει ότι f'(x)=g(f(x)+x)f(x) Αν f(a)=1 τότε η εξίσωση f(x)=0 δεν έχει ρίζα στο I Έστω t\in I με t>a ώστε f(t)=0 (π...
από Demetres
Πέμ Αύγ 17, 2017 3:12 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Euler 2014-2
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 332

Re: Euler 2014-2

Αν z θετικός πραγματικός, τότε προφανώς δεν υπάρχει τέτοιο πολυώνυμο. Θα δείξουμε ότι σε όλες τις άλλες περιπτώσεις υπάρχει. Για z = r \in \mathbb{R}_{\leqslant 0} παίρνουμε P_z(x) = x-r . Οπότε μπορούμε να υποθέσουμε ότι z = a + bi με b \neq 0 . Για θετικό ακέραιο n , ορίζουμε πραγματικά πο...
από Demetres
Τετ Αύγ 16, 2017 2:42 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
Απαντήσεις: 2745
Προβολές: 208322

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Άσκηση 1367 Να συγκρίνετε τους αριθμούς A,B : A=( -1)^{2}\cdot (-2)^{3}\cdot(-3)^{4}\cdot ... \cdot (-2015)^{2016} και B=(-1)^{-1}\cdot(-3)^{-3}\cdot(-5)^{-5}\cdot\!...\cdot(-2015)^{-2015} Για το A έχουμε (2015-1)/2 = 1007 περι...
από Demetres
Τετ Αύγ 16, 2017 12:18 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Putnam 2013/A1
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 139

Putnam 2013/A1

Η άσκηση μπήκε στον φοιτητικό Διαγωνισμό Putnam αλλά δεν χρειάζεται ιδιαίτερες γνώσεις για να λυθεί οπότε την βάζω εδώ. Υπενθυμίζουμε ότι ένα κανονικό εικοσάεδρο είναι ένα κυρτό πολύεδρο με 12 κορυφές και 20 έδρες. Οι έδρες είναι ισόπλευρα τρίγωνα. Σε κάθε έδρα ενός κανονικού εικασοέδρου, γράφουμε έ...
από Demetres
Τετ Αύγ 16, 2017 12:09 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Putnam 2014/B5
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 47

Putnam 2014/B5

Στους 75ους ετήσιους αγώνες Putnam οι συμμετέχοντες διαγωνίζονται σε μαθηματικά παιγνίδια. Ο Γιώργος και ο Κώστας παίζουν ένα παιγνίδι όπου επιλέγουν εναλλάξ αντιστρέψιμους n \times n πίνακες με στοιχεία στο σώμα \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} των ακεραίων modulo p . Εδώ, ο n είναι θετικός ακέραιος και ο p ...
από Demetres
Τετ Αύγ 16, 2017 11:50 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Πυθαγόρεια Τριάδα
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 215

Re: Πυθαγόρεια Τριάδα

Panagiotis11 έγραψε:Ύστερα αναγράφουμε όλες τις πυθαγόρειες τριάδες που ικανοποιούν την παραπάνω συνθήκη.


Πώς επιβεβαίωσες ότι δεν υπάρχουν άλλες;
από Demetres
Τρί Αύγ 15, 2017 11:44 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2017/2/3
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 177

Re: IMC 2017/2/3

Για ένα διάνυσμα v = (v_1,\ldots,v_k) , θα γράφουμε v^+ = (v_1,\ldots,v_k,v_1,\ldots,v_k) και v^- = (v_1,\ldots,v_k,-v_1,\ldots,-v_k) . Παρατηρούμε ότι αν το v είναι ιδιοδυάνυσμα του A_n με ιδιοτιμή \lambda , τότε το v^+ είναι ιδιοδυάνυσμα του A_{n+1} με ιδιοτιμή \lambda+1 , ...
από Demetres
Δευ Αύγ 14, 2017 11:16 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ανισότητα!
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 150

Re: Ανισότητα!

Έχουμε

\displaystyle{ a^6 - 5 = a \cdot a^5 - 5 = a^4 - a^2 + 3a - 5.}

Άρα είναι και

\displaystyle{ a(a^6-5) = a^5 - a^3 + 3a^2 - 5a = 3a^2 - 6a + 3 = 3(a-1)^2.}

Οπότε

\displaystyle{ a^6 - 5 = \frac{3(a-1)^2}{a} \geqslant 0.}
από Demetres
Δευ Αύγ 14, 2017 12:24 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Στρατηγική Νίκης
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 469

Re: Στρατηγική Νίκης

Τελικά παραδέχομαι ότι ήταν δύσκολο. :) Η πρώτη μου απόδειξη ήταν ουσιαστικά εντελώς λανθασμένη. :( Μου πήρε αρκετό χρόνο να βρω σωστή ελπίζω λύση. Μάλιστα, επειδή είχα ρίξει μια ματιά στις λύσεις στο AOPS για να δω αν υπάρχει παρόμοια λύση με την δική μου, ήξερα πως η λύση είναι επαγωγική. Αλλιώς ί...
από Demetres
Κυρ Αύγ 13, 2017 2:06 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Στρατηγική Νίκης
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 469

Re: Στρατηγική Νίκης

Δείτε και εδώ: https://artofproblemsolving.com/community/c6h289051p1562840 Δημήτρη, με μια ματιά δεν είδα τη λύση σου να εμφανίζεται μεταξύ αυτών. Για να είμαι ειλικρινής ψάχνω να βρω αν υπάρχει κάποιο κενό. Είναι ουσιαστικά η ίδια με αυτήν εδώ . Εν τέλει όμως υπάρχει πρόβλημα με την λύση. (Αν και ...
από Demetres
Σάβ Αύγ 12, 2017 6:50 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2017/2/2
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 221

Re: IMC 2017/2/2

Χωρίς βλάβη της γενικότητας, μπορούμε να υποθέσουμε ότι το p(x) είναι μονικό. Γράφουμε p(x) = x^m + ax^{m-1} + bx^{m-2} + \cdots . [Επιτρέπεται m=1 . Σε αυτήν την περίπτωση είναι b=0 .] Υπολογίζουμε τώρα τους τρεις μεγιστοβάθμιους όρους του q_n(x) . Μετά από πράξεις, είναι οι...
από Demetres
Σάβ Αύγ 12, 2017 5:50 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: 4 ασκήσεις για διαγωνισμούς!
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 349

Re: 4 ασκήσεις για διαγωνισμούς!

3.Δίνεται το σταθερό κανονικό εννεάγωνο A_1 A_2…A_9 στο επίπεδο. 3 κορυφές του εννεάγωνο λέγονται «κανονική τριάδα» όταν σχηματίζουνε μία ισόπλευρο τρίγωνο. Σημειώνουμε κάθε κορυφή του εννεάγωνου με τους αριθμούς 0 ή 1 . Ένα εννεάγωνο λέγεται «τακτοποιημένο» όταν δεν έχει 3 διαδοχικές κορυφές σημει...
από Demetres
Σάβ Αύγ 12, 2017 5:43 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: 4 ασκήσεις για διαγωνισμούς!
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 349

Re: 4 ασκήσεις για διαγωνισμούς!

2. Αν a,b,c είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί έτσι ώστε a+b+c=1 να δείξετε ότι \frac{1}{a+bc}+\frac{1}{b+ca}+\frac{1}{c+ab}+4abc<\frac{5}{16abc} Είναι \dfrac{1}{a+bc}=\dfrac{1}{1-b-c+bc}=\dfrac{1}{(1-b)(1-c)}=\dfrac{1}{(a+c)(a+b)} , οπότε \displaystyle \rm {LHS} = \d...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση