Tα λάθη συμβαίνουν και διορθώνονται. Επειδή η κριτική καλό είναι να γίνεται πολιτισμένα και με κόσμιο τρόπο υπάρχουν και τα pm. Οσοι βλέπουν ας κρίνουν.Αυτα που είδα εδώ, απο κάποιους, δεν προορίζονται για καλόπιστο διάλογο αλλά είναι ενδείξεις :twisted: ,.....Η ενασχόληση πλέον με μια σελίδα που αφ...

Eπειδή με τις συναρτησιακές συμβαίνει καμια φορά, την άλλαξα με μια γνωστή σχέση που δίνει την συνάρτηση που θέλουμε.

Δίνεται η παραγωγίσισμη συνάρτηση $f:[0,+\infty) \to R$ ώστε $\displaystyle{\bigstar f(0)=1 \\ \\ \bigstar \,\,\,\,\,\,\,\,f'(x)=2xf(x)$ 1) Nα αποδειχθεί οτι $\displaystyle{f(x)=e^{x^2}}$ Aν $F$ μία αρχική της $f$ στο $[0,+\infty)$ με $F(0)=0$ 2) Nα αποδειχθεί οτι είναι κυρτή και να βρεθεί η εφαπτομ...

Eνας αριθμός που βρίσκεται μεταξύ άλλων. Η λέξη ανω/κάτω φράγμα είναι ασύνηθης σε λύκειο. Τα max/min πιο κατανοητά. Το αποτέλεσμα το ίδιο λύθηκε όπως έπρεπε και βρέθηκαν. Απομένουν μόνο τα όρια.

Αρα . Οπότε θέτουμε ανάλογη συνάρτηση και αποδεικνύουμε οτι ισχύει λόγω μονοτονίας και αρα ισχύει και η αρχική

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση$f:(0,+\infty) \to R$ ώστε $\displaystyle{f(x)=\int_{0}^{1}\frac{t^x}{t+1}dt}$ 1) Να βρεθούν οι τιμές $f(1),f(2)$ 2) Δείξτε οτι $\displaystyle{f(x+1)+f(x)=\frac{1}{x+1},x>0}$ 3) $\displaystyle{\frac{1}{2(x+1)}<f(x)<\frac{1}{2x},x>1}$ 4) $\displaystyle{\lim_{x \to +\in...

Αγαπητέ Κώστα χαίρομαι που συμμετέχεις στις συζητήσεις. Εδώ διαίρεσα χωρίς να υποθέσω ότι δεν μηδενίζεται. Οταν πάμε να λύσουμε μια διαφορική εξίσωση η μια εξίσωση δεν κοιτάμε τους περιορισμούς. Προσπαθούμε να βρούμε την λύση.Αφου την βρούμε κοιτάμε αν όλα έχουν γίνει σωστά. Αυτή είναι η άποψη μου,...

Πλεόν μπορεί να συνεχιστεί κανονικά...

Η λύση που έχω είναι με απευθείας υπολογισμό τους.Ειδικά η πρωτη έχει παρα πολλές πράξεις αλλά ισχύει.Για την δεύτερη με αλλαγή μεταβλητής είναι κάπως πιο εύκολά τα πράγματα.

Δίνεται συνάρτηση $f:R \to R$ ώστε $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} f''(x)=2\left ( f(x)+xf'(x) \right ), x \in R\\ \\ f(x)>0\\ \\ f(0)=1\\ \\ \displaystyle{\lim_{x \to 0}\left ( f(x) \right )^{\frac{1}{x}}=1\\ \end{matrix}\right.}}$ 1) Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης 2) Να λυθεί η ανίσωση $\di...

Δίνεται συνάρτηση $f:(0,+\infty) \to R$ με τύπο $\displaystyle{f(x)=\frac{e^{x^2}}{x}}$ και $F$ μια παράγουσα ώστε $F(1)=0,5$. 1) Nα μελετηθεί και να σχεδιαστεί η γραφική της παράσταση της $f$ 2) Να αποδείξετε οτι η $F$ αντιστρέφεται 3) Να αποδειχθεί οτι $\displaystyle{F(x)>\frac{x^2}{2},x>1}$, $\di...

επαναφορά

Δίνεται παραγωγίσισμη συνάρτηση $f: R \to R$ ώστε $f^3(x)+f(x)+1=x, x \in R$. 1) Αποδείξτε οτι είναι γνήσια αύξουσα και να βρεθεί το πρόσημο της 2) Να μελετηθεί ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής 3) Να αποδειχθεί οτι αντιστρέφεται και να βρεθεί ο τύπος της 4) Δείξτε οτι $\displaystyle{4\left...

Αν ισχύει $f(x)-y^2 \leq f(x+y) \leq f(x)+y^2,x,y \in R$ τότε: 1) Ν.δ.ο. η $f$ σταθερή στο $R$. 2) Αν το εμβαδό που περικλείεται από $C_f,xx', x=1,x=3$ είναι 8 τ.μ. να βρεθεί η $f$. 3) Αν $g''(x)=f(x),g''(x)>0$ , η εφαπτομένη της $C_g$ στο σημείο $(0,g(0))$ σχηματίζει με τον $xx'$ γωνία $\frac{\pi}{...

Δίνεται συνάρτηση $f: R \to R$ δις παραγωγίσιμη ώστε $\displaystyle{f''(x)+f'(x)=\frac{1}{e^x}}$, και ο οριζόντιος άξονας εφάπτεται της $C_f$ στην αρχή των αξόνων. 1) Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης και το σύνολο τιμών της 2) Nα λυθεί η ανίσωση $\displaystyle{\frac{1+x^2}{3}>\frac{e^{x^2}}{e^2}, x ...

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f$ ώστε $e^{2x}-(f'(x)+f(x))e^x+f'(x)f(x)=0, x \in R, f(0)=1$ 1) Nα βρεθεί ο τύπος της 2) Να υπολογιστεί το εμβαδό $E(a)$ του χωρίου μεταξύ των $C_f,xx',yy',x=a \leq 0$ 3) Nα αποδείξετε οτι η εξίσωση $\displaystyle{\lim_{a \to 0}\left (\frac{sina}{E(a)}+sinz+1 \righ...

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση $f: R \to R$ , με σύνολο τιμών $f(R)=R$ για την οποία ισχύει: $\displaystyle{\lim_{t \to +\infty }\frac{f^3(x)t^2+3f(x)t\sqrt{t^2+1}}{t^2+2t+2}=x^3+4x+1, x \in R}$ 1) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{f^3(x)+3f(x)=x^3+4x+1}$ 2) Να αποδείξετε ότι: i) η συνάρτηση $f$ είναι γ...

Aπο το ερώτημα 3 για έχουμε οτι . Αρα πχ για εχουμε οτι . To το τελευταίο ολοκλήρωμα βγαίνει μηδενικό με τις προφανεις αντικαταστάσεις μεταβλητων.

Δίνεται συνεχής συνάρτηση $f:R \to R$ ώστε $\displaystyle{f'(x)=\frac{4x^2}{x^4+1}}$ με $f(1)=0, f(2)=\int_{1}^{2}\frac{4x^2}{x^4+1}dx$ 1) Nα αποδειχθεί οτι $-2 \leq f'(x) \leq 2$ 2) $|f(b)-f(a)| \leq 2|b-a|$ 3) $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{x^2}}$ 4) $\displaystyle{\exists a \in [-...

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f: R \to R$ και $F$ μια αρχική της $f$ ώστε $F(1-2x)+F(x^2+2)=x^4+5x^2+2x, x \in R$. 1) Να βρεθούν οι τιμές $f(1),f(3)$ 2) H $C_f$ τέμνει τον άξονα $xx'$ σε τουλάχιστον ένα σημείο $x_0 \in (1,3)$ 3) Yπάρχουν $x_1,x_2 \in (1,3), x_1<x_2$ ώστε $\displaystyle{\frac{1}{f'...