Η αναζήτηση βρήκε 132 εγγραφές
Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση
- Σάβ Ιουν 11, 2022 1:32 pm
- Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
- Θέμα: Σε ισόπλευρο τρίγωνο...
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 407
Re: Σε ισόπλευρο τρίγωνο...
Δίνεται το ισόπλευρο τρίγωνο $ABC$ κέντρου $O$. Ευθεία, που διέρχεται από την κορυφή $A$, τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου $BOC$ στα σημεία $D$ και $E$. Να αποδείξετε ότι τα σημεία $B$, $O$ και τα μέσα $M$, $N$ των ευθυγράμμων τμημάτων $CD$, $CE$ αντίστοιχα, ανήκουν στον ίδιο κύκλο. iso...
- Τετ Σεπ 08, 2021 8:53 pm
- Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
- Θέμα: Για να δούμε τι θα δούμε
- Απαντήσεις: 19
- Προβολές: 1313
Re: Για να δούμε τι θα δούμε
Το διορθώνω
- Τετ Σεπ 08, 2021 8:30 pm
- Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
- Θέμα: Για να δούμε τι θα δούμε
- Απαντήσεις: 19
- Προβολές: 1313
Re: Για να δούμε τι θα δούμε
Διορθωμένη λύση
- Τετ Σεπ 08, 2021 5:31 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
- Θέμα: Εγγράψιμο τετράπλευρο και τομή διαγωνίων
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 470
Εγγράψιμο τετράπλευρο και τομή διαγωνίων
Έστω εγγράψιμο τετράπλευρο $ABCD$ και εστω οτι 2 απέναντι πλευρές του τέμνονται στο σημείο $P$. Επίσης οι ευθείες $AC$ και $BD$ τεμνονται στο σημείο $X$. Αν οι εφαπτόμενες απο το σημείο $P$ προς τον περιγεγραμμένο κύκλο του $ABCD$ τέμνουν τον κύκλο στα σημεία $M$ και $N$, να αποδείξετε ότι τα σημεία...
- Τρί Σεπ 07, 2021 10:42 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
- Θέμα: Δύο άγνωστοι και μία παράμετρος
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 502
Re: Δύο άγνωστοι και μία παράμετρος
Αν $a>0$ να βρείτε τους θετικούς αριθμούς $x,y$ για τους οποίους ισχύει η σχέση: $\displaystyle \frac{{{x^2}}}{{3ay}} + \frac{{3a}}{{{y^2}}} + \frac{{{y^3}}}{{{x^2}}} = 3.$ 24 ώρες για μαθητές. Απο ΑΜ-ΓΜ έχουμε $\frac{x^2}{3ay}+\frac{3a}{y^2}+\frac{y^3}{x^2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{3ax^2y^3}{3ax^2y^3}}...
- Τρί Ιουν 29, 2021 6:30 pm
- Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
- Θέμα: Εκθετική - Βάσανο!
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 3657
Re: Εκθετική - Βάσανο!
Να και άλλη μια που προέκυψε χθες το βράδυ μετά από συζήτηση με φίλους... Να λυθεί στους φυσικούς η $17^{x} + 2^{y} = 19^{z}$. Καλησπέρα, Εύκολα βλέπουμε με $mod 3$ οτι οι $x,y$ είναι περιττοί.Με $mod 4$ έχουμε οτι ο $z$ έιναι άρτιος για $y\geq 2$. Επίσης αφού $ord_{17}(2)=8$ κανωντας $mod17$ έχουμ...
- Πέμ Μάιος 20, 2021 3:33 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2021
- Απαντήσεις: 13
- Προβολές: 1908
Re: Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2021
Για το 4 Στο σχήμα του Διονύση ευκολα παρατηρούμε ότι $T\widehat{M}K=M\widehat{T}A$ και $K\widehat{M}L=T\widehat{A}P$ αφού $MK //AT$ και $ML//AP$ που προκύπτει απο το οτι τα $M,K$ και $\varLambda$ τα μέσα των τμημάτων $PT,PB$ και $\varGamma T$ αντίστοιχα. Οπότε πρέπει να δείξουμε ότι τα τρίγωνα $MKL...
Re: ανισότητα
$\displaystyle{ABCD}$ κυρτό τετράπλευρο εγγεγαμένο σε κύκλο $\displaystyle{(O,r=1)}$ Aν $\displaystyle{(AB)(BC)(CD)(DA)\ge 4}$ να δείξετε ότι το $\displaystyle{ABCD}$ ειναι είναι τετράγωνο. Απο Θ.Πτολεμαίου $AB\cdot CD+AD\cdot BC=AC\cdot BD\leq 2\cdot 2=4(1)$ επειδή οι χορδές είναι μικρότερες ή ίσε...
- Δευ Νοέμ 30, 2020 6:20 pm
- Δ. Συζήτηση: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
- Θέμα: Τελευταίο ψηφίο
- Απαντήσεις: 7
- Προβολές: 1237
Re: Τελευταίο ψηφίο
Μια αφιέρωση στα νεαρά μέλη μας aggeliki 260807 και Filippos Athos , που με χαρά βλέπω ότι ασχολούνται με διαγωνιστικά μαθηματικά: Να βρεθεί το τελευταίο ψηφίο του αριθμού $\displaystyle{7^{3^{22}}}$. Αλλη μία παρατηρούμε ότι υπάρχει περιοδικότητα στις δυνάμεις του $7$. το $7^{x}$ τελειώνει σε $7$ ...
- Κυρ Νοέμ 29, 2020 10:20 pm
- Δ. Συζήτηση: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
- Θέμα: Τελευταίο ψηφίο
- Απαντήσεις: 7
- Προβολές: 1237
Re: Τελευταίο ψηφίο
Μια αφιέρωση στα νεαρά μέλη μας aggeliki 260807 και Filippos Athos , που με χαρά βλέπω ότι ασχολούνται με διαγωνιστικά μαθηματικά: Να βρεθεί το τελευταίο ψηφίο του αριθμού $\displaystyle{7^{3^{22}}}$. Ευχαριστώ για την αφιέρωση! Θα δώσω την πρώτη λύση που μου ήρθε στο μυαλό χρησιμοποιώντας την συνά...
- Τρί Νοέμ 17, 2020 2:01 pm
- Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
- Θέμα: Δυνάμεις ακεραίων κοντά η μία στην άλλη.
- Απαντήσεις: 11
- Προβολές: 1255
Re: Δυνάμεις ακεραίων κοντά η μία στην άλλη.
ελέγχωντας $mod8$ στις περιπτώσεις οπου $n$ αρτιος και περιττός, πάντα $B\equiv 1mod8$ Φίλιππε, το λάθος κρύβεται στην παραπάνω! Έμμεσα έχεις χρησιμοποιήσει τη συνεπαγωγή: $a\equiv b\pmod{n} \Rightarrow |a|\equiv |b|\pmod{n}$ που δεν είναι αληθής (δες το με ένα αντιπαράδειγμα). Έτσι, το minimum της...
- Κυρ Νοέμ 15, 2020 8:44 pm
- Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
- Θέμα: Δυνάμεις ακεραίων κοντά η μία στην άλλη.
- Απαντήσεις: 11
- Προβολές: 1255
Re: Δυνάμεις ακεραίων κοντά η μία στην άλλη.
Δύο ασκήσεις στο ίδιο πνεύμα: Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή κάθε μίας από τις παραστάσεις (η πρώτη πιο απλή, η δεύτερη πιο σύνθετη): α) $A=\displaystyle{ |20^m −9^n|,}$ , όπου $m,\,n \in \mathbb N^*$. β) $B=\left|3^n+7^n-25^m\right|$, όπου $m,\,n \in \mathbb N^*$. Αλέξανδρος Για το β) Προφανώς $B\equiv...
- Κυρ Νοέμ 15, 2020 6:31 pm
- Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
- Θέμα: Έκτη δύναμη από τα ψηφία του αριθμού
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 519
Re: Έκτη δύναμη από τα ψηφία του αριθμού
Η έκτη δύναμη ενός φυσικού αριθμού αποτελείται, σε αύξουσα σειρά, από τα ψηφία $0,\, 2,\,3, \,4,\,4, \,7,\, 8,\,8,\,9$. Ποιος είναι ο αρχικός φυσικός; Ας την αφήσουμε $24$ ώρες στους μαθητές μας Γυμνασίου, Λυκείου. Μπορούμε να ελεξουμε οτι ο αριθμός μας είναι $22\leq x\leq 31$ $(1)$ Οι αριθμοί που ...
- Πέμ Νοέμ 12, 2020 10:04 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Εγκλωβίζοντας την ρίζα
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 741
Re: Εγκλωβίζοντας την ρίζα
Είναι γνωστό ότι $a^5-a^3+a=2$. Να αποδείξετε, ότι $3< a^6 < 4$. Είναι πολύ ευκολο να αποδειχθεί ότι το $a$ έιναι θετικός οπότε απο ΑΜ-ΓΜ $2=(a^5+a)-a^3\geq 2a^{3}-a^{3}=a^{3}$ υψώνοντας στο τετράγωνο εχουμε $a^{6}< 4$ (η ισότητα προφανώς δεν ισχύει). Αφού $a^5-a^3+a=2\Rightarrow a^{6}-a^{4}+a^{2}=...
- Τετ Νοέμ 11, 2020 9:08 pm
- Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
- Θέμα: Καλούτσικη.
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 673
Re: Καλούτσικη.
77.png Καλησπέρα . Στο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ του παραπάνω σχήματος, η $AM$ είναι διάμεσος. Αν $DE=2$, να υπολογιστεί το μήκος της πλευράς του $AB$. Απο τα όμοια τρίγωνα $ABE$ και $ABC$ εχουμε ότι $A\widehat{B}E=A\widehat{C}B=B\widehat{A}D\Rightarrow AD=DB ,A\widehat{B}M=90^{\circ}\Rightarrow AD=D...
- Κυρ Νοέμ 08, 2020 7:14 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Τεστ εξάσκησης (2) - ΘΑΛΗΣ 2020
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 914
Re: Τεστ εξάσκησης (2) - ΘΑΛΗΣ 2020
ΘΕΜΑ 1 Να βρείτε όλα τα ζεύγη ακεραίων $(x,y)$ για τα οποία ισχύει $\displaystyle{x^2+4y^2-2xy-2x-4y-8=0.}$ Γεια σας! Λύνοντας ως προς τον $x$ έχουμε $x^2-x(2y+2)-4y-8+4y^2=0$ Για να έχει λύσεις η εξίσωση πρέπει $\Delta \geq 0\Leftrightarrow 4(y+1)^2+4(4y+8-4y^2)\geq 0\Leftrightarrow -3y^2+6y+9\geq...
- Κυρ Νοέμ 08, 2020 7:09 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Τεστ εξάσκησης (2) - ΘΑΛΗΣ 2020
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 914
Re: Τεστ εξάσκησης (2) - ΘΑΛΗΣ 2020
ΘΕΜΑ 1 Να βρείτε όλα τα ζεύγη ακεραίων $(x,y)$ για τα οποία ισχύει $\displaystyle{x^2+4y^2-2xy-2x-4y-8=0.}$ Απο τα δεδομένα $x$ άρτιος , $x=2k$. Η εξίσωση γράφεται $4k^{2}+4y^{2}-4ky-4k-4y-8=0\Rightarrow k^{2}+y^{2}-(ky+k)-y-8=0\Rightarrow k^{2}-k(y+1)+y^{2}-y-8=0$ που έχει διακρίνουσα $(y+1)^{2}-4...
- Πέμ Νοέμ 05, 2020 2:39 pm
- Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
- Θέμα: Άθροισμα ψηφίων πολλαπλάσιο του 5
- Απαντήσεις: 7
- Προβολές: 1077
Re: Άθροισμα ψηφίων πολλαπλάσιο του 5
Σας ευχαριστώ πάρα πολύ για τα ωραία σας λόγια!Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Τετ Νοέμ 04, 2020 9:40 pm
Σε διαβάζω πάντα με προσοχή και με χαρά. Παρατηρώ ότι έχεις ώριμο γράψιμο, πολύ πέρα από την ηλικία σου, και έχεις εξαιρετική Μαθηματική ικανότητα.
Τα θερμά μου συγχαρητήρια.
- Τετ Νοέμ 04, 2020 8:46 pm
- Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
- Θέμα: Άθροισμα ψηφίων πολλαπλάσιο του 5
- Απαντήσεις: 7
- Προβολές: 1077
Re: Άθροισμα ψηφίων πολλαπλάσιο του 5
Βασικά αν το άθροισμα των ψηφίων των αριθμών είναι $x_{k}+x_{k-1}+.....+x_{1}\equiv 0mod5$ και $x_{k}+x_{k-1}+.....+x_{1}+1\equiv 0mod5$ αυτό είναι άτοπο εκτός και αν υπάρχει υπερπίδηση δηλαδή $x_{1}=9$ $x_{k}+x_{k-1}+.....+x_{2}+9\equiv 0mod5$ $x_{k}+x_{k-1}+.....+(x_{2}+1)\equiv 0mod5$ με τον ίδιο...
- Τετ Νοέμ 04, 2020 2:37 pm
- Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
- Θέμα: Άθροισμα ψηφίων πολλαπλάσιο του 5
- Απαντήσεις: 7
- Προβολές: 1077
Re: Άθροισμα ψηφίων πολλαπλάσιο του 5
Ένας μαθητής έγραψε στην σειρά τους φυσικούς αριθμούς που το άθροισμα των ψηφίων τους είναι πολλαπλάσιο του $5$. Έτσι, η συλλογή του αρχίζει ως $\,5,\, 14,\, 19, \, 23,\, 28,\, ... $ Ποια είναι η μικρότερη δυνατή διαφορά μεταξύ δύο διαδοχικών αριθμών της συλλογής; (Ας την αφήσουμε 24 ώρες στους μαθ...