Η αναζήτηση βρήκε 216 εγγραφές
Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση
- Τρί Απρ 09, 2019 1:19 am
- Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
- Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 2
- Απαντήσεις: 16
- Προβολές: 3980
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 2
Τέλος πάντων Διάβασα την λυση της Χριστινας και κατάλαβα την λυση Ο άλλος την έχει λύσει εντελώς ακαταλαβίστικα Θα ξεχάσουμε και αυτά που ξέρουμε Είναι και φοιτητής τρομάρα του! Ανεπιθύμητα σχόλια, δημιουργούν ανεπιθύμητους χώρους. Δεν είναι κρίμα να χάσουμε μία παραπάνω λύση από έναν μαθητή που φο...
- Δευ Ιαν 28, 2019 4:22 pm
- Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
- Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 1
- Απαντήσεις: 17
- Προβολές: 3943
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 1
Θα μπορούσε κάποιος να ανεβάσει μια λυση ή υπόδειξη στο πρόβλημα 2 γιατί έχω κολλήσει; Καλησπέρα Αλέξανδρε, εάν $P(x)=x^n+ax^{n-1}+R_1(x)$ με $\deg(R_1)<n-1$ και $Q(x)=x^m+R_2(x)$ με $\deg(R_2)<m$ δείξε ότι ο μεγιστοβάθμιος όρος του πολυωνύμου $P(x+p)-P(x-p)$ είναι ανεξάρτητος του $R_1(x)$ καθώς κα...
- Σάβ Ιαν 12, 2019 2:25 pm
- Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
- Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 2
- Απαντήσεις: 16
- Προβολές: 3980
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 2
Διαγώνισμα 2 Επίπεδο: Αρχιμήδης Πρόβλημα 1 Να λυθεί στους πρώτους αριθμούς η εξίσωση: $2^{p+4}+q^2=r^3$ Πρόβλημα 2 Αν για τα πολυώνυμα: $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ και $Q(x)=(a-b)x^3+(b-c)x^2+(c-d)x+(d-a)$ όπου $a,b,c,d$ μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί ισχύει ότι: (1) Το κάθε ένα από αυτά έχει 3 διαφορε...
- Παρ Ιαν 11, 2019 12:56 pm
- Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
- Θέμα: 2019, ένας ενδιαφέρων αριθμός
- Απαντήσεις: 13
- Προβολές: 1686
Re: 2019, ένας ενδιαφέρων αριθμός
Να πάμε και στις πολυαγαπημένες μου δυνάμεις ακεραίων, μιας και το άθροισμα των πρώτων $22$ τέλειων δυνάμεων ισούται με $2019$! (Όχι παραγοντικό :D ) $2019 = 1 + 4 + 8 + 9 + 16 + 25 + 27 + 32 + 36 + 49 + 64 + 81 +$ $+ 100 + 121 + 125 + 128 + 144 + 169 + 196 + 216 + 225 + 243$ Μετά υπομονή μέχρι το $...
- Παρ Ιαν 11, 2019 12:39 pm
- Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
- Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 2
- Απαντήσεις: 16
- Προβολές: 3980
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 2
Διαγώνισμα 2 Επίπεδο: Αρχιμήδης Πρόβλημα 1 Να λυθεί στους πρώτους αριθμούς η εξίσωση: $2^{p+4}+q^2=r^3$ Πρόβλημα 2 Αν για τα πολυώνυμα: $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ και $Q(x)=(a-b)x^3+(b-c)x^2+(c-d)x+(d-a)$ όπου $a,b,c,d$ μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί ισχύει ότι: (1) Το κάθε ένα από αυτά έχει 3 διαφορε...
- Σάβ Αύγ 25, 2018 1:23 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
- Θέμα: Μόνο εκεί μηδενίζεται;
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 1260
Re: Μόνο εκεί μηδενίζεται;
Επαναφορά!
- Δευ Αύγ 20, 2018 5:20 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: Κινήσεις στο επίπεδο
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 925
Κινήσεις στο επίπεδο
Στο επίπεδο, ονομάζουμε "ακέραια" τα σημεία που έχουν ακέραιες συντεταγμένες. Ο Νίκος και ο Θανάσης παίζουν το εξής παιχνίδι: Αρχικά, ο Νίκος επιλέγει ένα ακέραιο σημείο, και στην συνέχεια επιλέγει και ο Θανάσης ένα ακέραιο σημείο, διαφορετικό από αυτό του Νίκου. Ο σκοπός του παιχνιδιού είναι ο Νίκο...
- Τετ Μάιος 09, 2018 8:08 pm
- Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
- Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 2
- Απαντήσεις: 16
- Προβολές: 3980
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 2
Διαγώνισμα 2 Επίπεδο: Αρχιμήδης Πρόβλημα 4 Οι αριθμοί $1,2, ... ,n$ είναι γραμμένοι σε έναν πίνακα όπου $n$ θετικός ακέραιος. Σε κάθε κίνηση, μπορούμε να διαγράψουμε $2$ αριθμούς από τον πίνακα, και στην θέση τους να τοποθετήσουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιό τους. Ύστερα από $k$ κινήσεις, εκτελού...
- Σάβ Απρ 21, 2018 2:07 pm
- Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
- Θέμα: Προετοιμασία για Διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 14
- Απαντήσεις: 12
- Προβολές: 2915
Re: Προετοιμασία για Διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 14
Διαγώνισμα 14 Επίπεδο: Αρχιμήδης/Προκριματικός Seniors Πρόβλημα 4 Δίνεται το σύνολο $S=\{1, 2, ...,n\}$. Ένα υποσύνολο του $S$ (έστω $A=\{a_1, a_2, ..., a_k\}$ με $a_1<a_2<...<a_k$) θα ονομάζεται "προοπτικό" εάν: (1) $gcd(a_i,a_{i+1})|a_{i+2} , \forall i=1, 2, ..., k-2$. (2) $a_i|lcm(a_{i+1},a_{i+2...
- Παρ Απρ 06, 2018 7:38 pm
- Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
- Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 10
- Απαντήσεις: 12
- Προβολές: 3671
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 10
Διαγώνισμα 10 Επίπεδο: Προκριματικός Seniors Πρόβλημα 3 Να βρεθούν όλες οι τριάδες ακεραίων $(x,y,z)$ που ικανοποιούν την εξίσωση: $2x^3+2y^3=3x^2y^2+4^z+1$ Προφανώς, $z \geqslant 0$. Έστω $z \geqslant 1$. Είναι $3x^2y^2=2x^3+2y^3-4^z-1 \Rightarrow xy \equiv 1 \pmod 2 \Rightarrow x=2x_1+1, \, y=2y_...
- Κυρ Απρ 01, 2018 7:36 am
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ 2018
- Απαντήσεις: 38
- Προβολές: 9718
Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ 2018
Καλή επιτυχία στους συμμετέχοντες!
- Δευ Μαρ 19, 2018 4:02 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
- Θέμα: Μόνο εκεί μηδενίζεται;
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 1260
Μόνο εκεί μηδενίζεται;
Έστω όπου είναι πραγματικές σταθερές, και επιπλέον το πολυώνυμο έχει ακέραιους συντελεστές. Να αποδείξετε ότι: για κάθε
Πηγή: Aops
Πηγή: Aops
- Κυρ Μαρ 04, 2018 4:19 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2017-2018
- Απαντήσεις: 28
- Προβολές: 11124
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2017-2018
Για τα θέματα των μεγάλων μπορείτε να δείτε και διαφορετικές (ίσως) λύσεις εδώ:
Πρόβλημα 1
Πρόβλημα 2
Πρόβλημα 3
Πρόβλημα 4
Πρόβλημα 1
Πρόβλημα 2
Πρόβλημα 3
Πρόβλημα 4
- Παρ Δεκ 29, 2017 8:35 pm
- Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: Μέγιστη τιμή ακεραίου
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 1252
Μέγιστη τιμή ακεραίου
Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του θετικού ακεραίου για την οποία ισχύει ότι ο αριθμός:
είναι πρώτος.
είναι πρώτος.
- Παρ Δεκ 29, 2017 6:47 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
- Απαντήσεις: 190
- Προβολές: 51605
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
ΑΣΚΗΣΗ 23 Να αποδειχθεί ότι για φυσικούς $m,n$ με $m < n$, το $x^m-a^m$ διαιρεί το $x^n-a^n$ αν και μόνον $m|n$. Έστω $m,n$ φυσικοί τέτοιοι ώστε: $x^m-a^m|x^n-a^n$. Έστω $n=km+u$ με $0\leq u<m$. Τότε $x^m-a^m|x^{km+u}-a^{km+u}$. (1) Όμως $x^m-a^m|x^u(x^{km}-a^{km})=x^{km+u}-x^ua^{km}$. (2) Αφαιρώντ...
- Παρ Δεκ 29, 2017 7:37 am
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Ακολουθία και σύγκλιση
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 924
Ακολουθία και σύγκλιση
Εάν για την ακολουθία ισχύει ότι:
να υπολογίσετε το άθροισμα:
.
να υπολογίσετε το άθροισμα:
.
- Παρ Δεκ 29, 2017 5:37 am
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
- Απαντήσεις: 190
- Προβολές: 51605
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
ΑΣΚΗΣΗ 22 Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{ 1 + x + \frac {x(x+1)}{2!}+ ... \, + \frac {x(x+1)...(x+n-1)}{n!}=0}$ Καλησπέρα σας κ.Λάμπρου και χρόνια πολλά! Ορίζουμε $P_n(x)=1+x+...+\frac{x(x+1)...(x+n-1)}{n!}$. Αρχικά θα δείξουμε ότι: $P_n(-n)=0$. Πράγματι: $P_n(-n)=1+(-n)+\frac{(-n)(-n+1)}{2!}+.....
- Τετ Δεκ 27, 2017 3:44 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Υπολογισμός ορίου
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 707
Υπολογισμός ορίου
Έστω δύο φορές παραγωγίσιμη και .
Να υπολογίσετε το όριο:
Να υπολογίσετε το όριο:
- Πέμ Σεπ 28, 2017 10:43 pm
- Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
- Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 15
- Απαντήσεις: 8
- Προβολές: 1141
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 15
Διαγώνισμα 15 Επίπεδο: Ευκλείδης Α' Λυκείου Πρόβλημα 3 Να λυθεί στους πραγματικούς η εξίσωση: $(x^2-x+1)(x^2+1)(x^2+x+1)=6x^3$. $(x^2-x+1)(x^2+1)(x^2+x+1)\ge 0$ για κάθε πραγματικό χ Άρα θα δουλέψουμε για μη αρνητικά χ Όμως τότε $x^2-x+1\ge x$ $x^2+1 \ge 2x$ $x^2+x+1 \ge 3x$ Και πολλαπλασιάζοντας $...
- Πέμ Σεπ 28, 2017 8:30 pm
- Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
- Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 15
- Απαντήσεις: 8
- Προβολές: 1141
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 15
Πρόβλημα 1 α) Να διατάξετε τους αριθμούς $A_1, A_2, ..., A_{10}$ σε αύξουσα σειρά εάν $\displaystyle{A_n=\frac{13na+12}{na+1}}$ όπου $a$ θετικός πραγματικός αριθμός. β) Υπάρχει άραγε θετικός ακέραιος $n$ και θετικός πραγματικός $a$ έτσι ώστε μεταξύ των $A_1$ και $A_n$ να υπάρχει ακέραιος αριθμός; Γ...