Η αναζήτηση βρήκε 161 εγγραφές

από Γιάννης Μπόρμπας
Σάβ Ιουν 17, 2017 9:58 am
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Henderson - Hasselbalch
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 200

Re: Henderson - Hasselbalch

Χημεία: Δ4, Δ5 (Ρυθμιστικά διαλύματα, υπολογισμός pH).
από Γιάννης Μπόρμπας
Πέμ Ιουν 15, 2017 3:55 pm
Δ. Συζήτηση: ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
Θέμα: Ισόπλευρο τρίγωνο σε κύκλο
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 107

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο σε κύκλο

Το iv αποτελούσε το 3ο πρόβλημα στην φετινή μεσογειάδα οπότε αναρτώ την λύση μου. Αρχικά επιλέγουμε P\equiv C . Έτσι αν a είναι η πλευρά του ισόπλευρου τριγώνου τότε S_n(P)=2a^n . Μετά επιλέγουμε το P να βρίσκεται στο μέσο τόξου BC . Έτσι έχουμε: S_n(P)=(2+2^n)(\frac{a}{\...
από Γιάννης Μπόρμπας
Πέμ Ιουν 15, 2017 3:45 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ελάχιστος ακέραιος
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 121

Re: Ελάχιστος ακέραιος

Καλησπέρα, το παραπάνω πρόβλημα ήταν το 2ο πρόβλημα της φετινής μεσογειάδας. Για n=3 η εξάδα: (a_1,a_2,a_3,x_1,x_2,x_3)=(1,2,3,-3,5,-2) αποτελεί λύση του προβλήματος. Για n=2 : (1) x_1=-x_2 και: (2) (a_2-a_1)x_2>0 (3) (a_2-a_1)(a_2+a_1)x_2<0 που δεν γίνεται αφ...
από Γιάννης Μπόρμπας
Κυρ Ιουν 11, 2017 8:50 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Συναρτησιακή με μέγιστο κοινό διαιρέτη
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 125

Συναρτησιακή με μέγιστο κοινό διαιρέτη

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N} οι οποίες ικανοποιούν τις παρακάτω σχέσεις:
(1): gcd(nm,f(nm))=gcd(nf(m),mf(n)) για όλους τους θετικούς ακεραίους n,m.
(2): p|f(p!) για όλους τους πρώτους αριθμούς p.
από Γιάννης Μπόρμπας
Κυρ Ιουν 11, 2017 5:12 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Βρείτε τις συναρτήσεις!
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 1989

Re: Βρείτε τις συναρτήσεις!

Χμμμ... Τελικά είχε μείνει ένα απλό βήμα στην λύση μου... Ωραίες και οι άλλες λύσεις!
από Γιάννης Μπόρμπας
Κυρ Ιουν 11, 2017 12:26 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Βρείτε τις συναρτήσεις
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 1608

Re: Βρείτε τις συναρτήσεις

Με βάση την υπόδειξη: Αρχικά θα δείξουμε πως η f είναι άνω και κάτω φραγμένη ως εξής: P(x,y,z): f(x+y)+f(x+z)\ge 1+f(x)f(y+z) , P(2y,y,y): 2f(3y)\ge 1+(f(2y))^2\ge 1 οπότε f(x)\ge \frac{1}{2} , P(z,z,z): 2f(z...
από Γιάννης Μπόρμπας
Σάβ Ιουν 10, 2017 12:43 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Διαιρετότητα με πρώτους
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 305

Re: Διαιρετότητα με πρώτους

Επίσης, από Θ.Wolstenholme's: \displaystyle{\binom{2p-1}{p-1}\equiv 1 (\mod p^3)}
Για πρώτους μεγαλύτερους ή ίσους του 5
από Γιάννης Μπόρμπας
Παρ Ιουν 09, 2017 2:57 pm
Δ. Συζήτηση: Πανελλήνιες Εξετάσεις
Θέμα: Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2017
Απαντήσεις: 99
Προβολές: 10234

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017

Θα ήθελα και εγώ με την σειρά μου, κρίνοντας αντικειμενικά, να αναφέρω τις απόψεις μου περί των σημερινών θεμάτων: ΘΕΜΑ Α: Αρκετά απλή η θεωρία. ΘΕΜΑ Β: Βασικές μεθοδολογίες, χωρίς ιδιαίτερες δυσκολίες. ΘΕΜΑ Γ: Τα Γ1,Γ2 δεν ήταν εύκολα ούτε δύσκολα. Πάλι όμως οι μεθοδολογίες είναι οι ίδιες οπότε ένα...
από Γιάννης Μπόρμπας
Δευ Ιουν 05, 2017 12:20 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Βρείτε τις συναρτήσεις!
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 1989

Re: Βρείτε τις συναρτήσεις!

Υποθέτουμε πως υπάρχει θετικός πραγματικός t τέτοιος ώστε: h(t)>2t (1) Από την παραπάνω συναρτησιακή σχέση έχουμε πως: h(2a+b)\ge 2h(a) για κάθε θετικούς πραγματικούς a,b (2). Η (1) γράφεται ισοδύναμα: h(t)+2t+2y\ge 4t+2y=2(2t+y) . Βάζοντας στην (2) a=2t+y και...
από Γιάννης Μπόρμπας
Κυρ Ιουν 04, 2017 11:47 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Βρείτε τις συναρτήσεις!
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 1989

Re: Βρείτε τις συναρτήσεις!

Ας κάνω μία αρχή. P(x,y): f(f(x)+2y)=f(2x+y)+2y Αν για κάποιο c ισχύει ότι: 2c>f(c) τότε: P(c,2c-f(c)): 2c=f(c) άτοπο. Οπότε f(x)\ge 2x \forall x\in\mathbb{R^{+}} . Θεωρούμε την συνάρτηση: h(x)=f(x)-2x όπου h:\ma...
από Γιάννης Μπόρμπας
Κυρ Ιουν 04, 2017 8:49 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Εξίσωση με εκθέτες 7,8,9
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 202

Re: Εξίσωση με εκθέτες 7,8,9

Θα δείξουμε ότι υπάρχουν χρησιμοποιώντας δυνάμεις του 2 Έστω x=2^a , y=2^b , z=2^c Η εξίσωση γίνεται: 2^{7a}+2^{8b}=2^{9c} Επιλέγουμε a=8t και b=7t Οπότε: 2^{56t+1}=2^{9c} Άρα 56t+1=9c . Αφού gcd(56,9)=1 σίγουρα έχουμε άπειρες λύσεις στους θετικούς ακεραίους. Π.χ. επιλέγουμε t=4 και c=25 .
από Γιάννης Μπόρμπας
Πέμ Ιουν 01, 2017 9:27 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Ανοιχτό πρόβλημα
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 859

Re: Ανοιχτό πρόβλημα

Είχα ξεχάσει να αναφέρω πως λύθηκε. Καλά που αναφέρθηκε...
από Γιάννης Μπόρμπας
Δευ Μάιος 29, 2017 8:19 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Βελτίωση ανισότητας: Διαγώνισμα 14 Π1
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 253

Re: Βελτίωση ανισότητας: Διαγώνισμα 14 Π1

Ωραία! Η ανισότητα είναι του luofangxiang (Aops).
από Γιάννης Μπόρμπας
Δευ Μάιος 29, 2017 5:29 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Βελτίωση ανισότητας: Διαγώνισμα 14 Π1
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 253

Βελτίωση ανισότητας: Διαγώνισμα 14 Π1

Αν x,y,z θετικοί πραγματικοί με άθροισμα 3 να αποδείξετε ότι:
\displaystyle{\frac{y^3z^3+2}{yz}+\frac{z^3x^3+2}{zx}+\frac{x^3y^3+2}{xy}\ge \frac{x^2+2}{x}+\frac{y^2+2}{y}+\frac{z^2+2}{z}}
Πότε ισχύει η ισότητα;
από Γιάννης Μπόρμπας
Δευ Μάιος 29, 2017 5:25 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για Διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 14
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 475

Re: Προετοιμασία για Διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 14

Διαγώνισμα 14 Επίπεδο: Αρχιμήδης Seniors Πρόβλημα 1 Αν οι x,y,z είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί με άθροισμα 3 να αποδείξετε την ανισότητα: \displaystyle{\frac{2y^3z^3+x^4+5}{2yz}+\frac{2z^3x^3+y^4+5}{2zx}+\frac{2x^3y^3+z^4+5}{2xy}\ge \frac{x^2+3}{x}+\frac{y^2+3}{y}+\frac{z^2+3}{z}} Πότε ισχύει η ...
από Γιάννης Μπόρμπας
Δευ Μάιος 29, 2017 5:08 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για Διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 14
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 475

Re: Προετοιμασία για Διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 14

Διαγώνισμα 14 Επίπεδο: Αρχιμήδης Seniors Πρόβλημα 1 Αν οι x,y,z είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί με άθροισμα 3 να αποδείξετε την ανισότητα: \displaystyle{\frac{2y^3z^3+x^4+5}{2yz}+\frac{2z^3x^3+y^4+5}{2zx}+\frac{2x^3y^3+z^4+5}{2xy}\ge \frac{x^2+3}{x}+\frac{y^2+3}{y}+\frac{z^2+3}{z}} Πότε ισχύει η ...
από Γιάννης Μπόρμπας
Δευ Μάιος 29, 2017 12:06 am
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για Διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 14
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 475

Re: Προετοιμασία για Διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 14

Διαγώνισμα 14 Επίπεδο: Αρχιμήδης Seniors Πρόβλημα 2 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ABC στο C , το έκκεντρο του I και το ύψος CD . Ο κύκλος c_1(I,IC) τέμνει τις AC,CB στα σημεία K,L αντιστοίχως. Αν M,N είναι τα έκκεντρα των τριγώνων ACD και BCD αντιστοίχως να αποδείξετε ότι η MN είναι παράλληλη τ...
από Γιάννης Μπόρμπας
Κυρ Μάιος 28, 2017 11:05 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για Διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 14
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 475

Προετοιμασία για Διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 14

Διαγώνισμα 14 Επίπεδο: Αρχιμήδης/Προκριματικός Seniors Πρόβλημα 1 Αν οι x,y,z είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί με άθροισμα 3 να αποδείξετε την ανισότητα: \displaystyle{\frac{2y^3z^3+x^4+5}{2yz}+\frac{2z^3x^3+y^4+5}{2zx}+\frac{2x^3y^3+z^4+5}{2xy}\ge \frac{x^2+3}{x}+\frac{y^2+3}{y}+\frac{z^2+3}{z}} ...
από Γιάννης Μπόρμπας
Κυρ Μάιος 28, 2017 3:46 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για Διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 14
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 246

Re: Προετοιμασία για Διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 14

Παρατηρήσεις: 1) Οι 3 από τις 4 ασκήσεις είναι ασκήσεις θεωρίας αριθμών. 2) Το επίπεδο των προβλημάτων δεν είναι σε καμία περίπτωση ίσο με του Αρχιμήδη. 3) Στην γεωμετρία τα ζητούμενα είναι προτάσεις που πρέπει να γνωρίζει ήδη ένας μαθητής. Για αυτούς τους λόγους κυρίως δεν θα το προσθέσω στην σειρά...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση