Η αναζήτηση βρήκε 194 εγγραφές

από Γιάννης Μπόρμπας
Παρ Αύγ 18, 2017 5:21 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Πυθαγόρεια Τριάδα
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 255

Re: Πυθαγόρεια Τριάδα

Αν a^2+b^2=c^2 τότε \exists m,n: a=2mn, b=m^2-n^2, c=m^2+n^2. Έτσι είμαστε σίγουροι ότι δεν υπάρχουν άλλες τριάδες.
από Γιάννης Μπόρμπας
Κυρ Ιούλ 23, 2017 3:01 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεράστια Επιτυχία! 12η η Ελλάδα στην 58η ΙΜΟ
Απαντήσεις: 40
Προβολές: 11028

Re: Τεράστια Επιτυχία! 12η η Ελλάδα στην 58η ΙΜΟ

Είναι ένα τεράστιο κατόρθωμα η επίδοση των διαγωνιζόμενων καθώς και η κατάταξη μας παγκοσμίως. Τα συγχαρητήρια είναι πραγματικά
τίποτα μπροστά σε αυτό που αξίζουν, οπότε θα ευχηθώ να έχουν ένα λαμπρό μέλλον (που θα έχουν) μαζί με πολλές επιτυχίες στα παιδιά!
από Γιάννης Μπόρμπας
Πέμ Ιούλ 20, 2017 5:53 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2017
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 1692

Re: IMO 2017

Πρόβλημα 6 Ένα διατεταγμένο ζεύγος ακεραίων (x, y) είναι ένα πρωταρχικό σημείο, αν ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των x και y είναι 1 .Αν S είναι ένα πεπερασμένο σύνολο πρωταρχικών σημείων, να αποδείξετε ότι υπάρχουν ένας θετικός ακέραιος n και ακέραιοι a_0, a_1, \ldots , a_n τέτοιοι, ώστε για...
από Γιάννης Μπόρμπας
Τετ Ιούλ 19, 2017 10:07 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2017
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 1692

Re: IMO 2017

Τελικά το πρόβλημα 3 αποδείχθηκε (όπως περίμενα) το πιο δύσκολο πρόβλημα στην φετινή IMO.
από Γιάννης Μπόρμπας
Τετ Ιούλ 19, 2017 1:19 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2017
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 1692

Re: IMO 2017

Πρόβλημα 1 Το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με το εξής: Αρχικά έχουμε έναν ακέραιο k>1 . Μπορούμε να κάνουμε τις εξής κινήσεις: Κίνηση 1 : Αν ο k είναι το τετράγωνο ενός ακεραίου, τότε τον σβήνουμε και στην θέση του γράφουμε τον \sqrt{k} . Κίνηση 2 Αν ο k δεν είναι το τετράγωνο ενός ακεραίου, τότε τον σ...
από Γιάννης Μπόρμπας
Τετ Ιούλ 19, 2017 12:03 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2017
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 1692

Re: IMO 2017

Η απάντηση στο πρόβλημα 1 είναι:
a_0\equiv 0(\mod 3). Θα ανεβάσω την λύση μου σε λίγο.
από Γιάννης Μπόρμπας
Τρί Ιούλ 18, 2017 12:17 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Ευχές για την IMO 2017
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 234

Ευχές για την IMO 2017

Καλή επιτυχία στην ελληνική μας ομάδα, καθώς και στην ομάδα της Κύπρου!
από Γιάννης Μπόρμπας
Παρ Ιούλ 14, 2017 9:25 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για Διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 15
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 565

Re: Προετοιμασία για Διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 15

Διαγώνισμα 15 Επίπεδο: Προκριματικός Seniors Πρόβλημα 2 Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ABC και c ο εγγεγραμμένος κύκλος του. Έστω D το σημείο τομής της BC με τον c και L το σημείο τομής της AD με τον c . Έστω K το κέντρο του παρεγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ABC ως προς το A . Αν M,N είναι τα μέσα των...
από Γιάννης Μπόρμπας
Παρ Ιούλ 14, 2017 8:55 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για Διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 15
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 565

Re: Προετοιμασία για Διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 15

Πολύ ωραία! Καλό θα ήταν να μας πεις πώς σκέφτηκες τον αριθμό 17 διότι αυτή είναι η ουσία της άσκησης. Έστω p ο πρώτος που ψάχνουμε. Εγώ σκέφτηκα ότι θέλουμε τα 10^n και 3^n να παίρνουν όλες τις τιμές ώστε το p να μπορεί να διαιρεί και τα δύο για κάποιο n . Ψάχνουμε δηλαδή πρώτο p ώστε το 3 και το ...
από Γιάννης Μπόρμπας
Παρ Ιούλ 14, 2017 8:46 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για Διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 15
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 565

Re: Προετοιμασία για Διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 15

Διαγώνισμα 15 Πρόβλημα 4 Ο μικρός Θανάσης μαζί με άλλους 2n-1 φίλους του παίζουν το εξής παιχνίδι. Αρχικά κάθονται σε έναν κύκλο, με τον Θανάση να έχει πρώτος την μπάλα. Από τους 2n παίκτες στο σύνολο, οι n από αυτούς είναι δυνατοί και οι n αδύναμοι. Σε κάθε κίνηση, ο παίκτης που έχει την μπάλα, πρ...
από Γιάννης Μπόρμπας
Παρ Ιούλ 14, 2017 8:37 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για Διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 15
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 565

Re: Προετοιμασία για Διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 15

Διαγώνισμα 15 Επίπεδο: Προκριματικός Seniors Πρόβλημα 1 Να αποδείξετε ότι υπάρχουν άπειροι θετικοί ακέραιοι n τέτοιοι ώστε οι εξίσωση: (10^n+10^9+1)x+(3^n+3^8+3)y=3 να μην έχει λύση στους ακεραίους Παρατηρούμε πως 10^9+1\equiv 8 \pmod{17} και ότι 3^8+3\equiv 2 \pmod{17} Επομένως έχο...
από Γιάννης Μπόρμπας
Παρ Ιούλ 14, 2017 2:42 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για Διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 15
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 565

Re: Προετοιμασία για Διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 15

Διαγώνισμα 15 Επίπεδο: Προκριματικός Seniors Πρόβλημα 1 Να αποδείξετε ότι υπάρχουν άπειροι θετικοί ακέραιοι n τέτοιοι ώστε οι εξίσωση: (10^n+10^9+1)x+(3^n+3^8+3)y=3 να μην έχει λύση στους ακεραίους Παρατηρούμε πως 10^9+1\equiv 8 \pmod{17} και ότι 3^8+3\equiv 2 \pmod{17} Επομένως έχο...
από Γιάννης Μπόρμπας
Παρ Ιούλ 14, 2017 2:00 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για Διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 15
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 565

Re: Προετοιμασία για Διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 15

Προσοχή στην εξίσωση, ξαναδιάβασέ την.
από Γιάννης Μπόρμπας
Πέμ Ιούλ 13, 2017 10:15 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για Διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 15
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 565

Προετοιμασία για Διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 15

Διαγώνισμα 15 Επίπεδο: Προκριματικός Seniors Πρόβλημα 1 Να αποδείξετε ότι υπάρχουν άπειροι θετικοί ακέραιοι n τέτοιοι ώστε οι εξίσωση: (10^n+10^9+1)x+(3^n+3^8+3)y=3 να μην έχει λύση στους ακεραίους Πρόβλημα 2 Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ABC και c ο εγγεγραμμένος κύκλος του. Έστω D το σ...
από Γιάννης Μπόρμπας
Σάβ Ιούλ 01, 2017 1:50 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Όλοι σύνθετοι!
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 714

Re: Όλοι σύνθετοι!

Για την εύρεση του πρώτου αριθμού μπορούμε να βάλουμε n=0.
από Γιάννης Μπόρμπας
Πέμ Ιουν 29, 2017 3:21 am
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για Διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 14
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 722

Re: Προετοιμασία για Διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 14

Διαφορετικά για το πρόβλημα 3: \displaystyle{\frac{3(7n)!}{(3n)!(4n+1)!}=\frac{3(7n)!}{(3n)!(4n)!}(1-\frac{4n}{4n+1})}= =\displaystyle{\frac{3(7n)!}{(3n)!(4n)!}-\frac{3(7n)!}{(3n)!(4n)!}\cdot\frac...
από Γιάννης Μπόρμπας
Πέμ Ιουν 29, 2017 3:11 am
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 1971

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς

Επαναφορά καθώς έχουν μείνει μερικές άλυτες
από Γιάννης Μπόρμπας
Πέμ Ιουν 29, 2017 1:36 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Διοφαντική με δύναμη πρώτου
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 287

Re: Διοφαντική με δύναμη πρώτου

Πολύ ωραία! Διαφορετικά μπορούμε να πούμε ότι:
\displaystyle{v_2{(2n)!}=\sum_{k=1}^{\infty}\lfloor{\frac{2n}{2^k}}\rfloor=\sum_{k=1}^{\infty}\lfloor{\frac{n}{2^k}}\rfloor+n=v_2(n!)+n}
από Γιάννης Μπόρμπας
Τετ Ιουν 28, 2017 9:01 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO Shortlist 2016 (1/2)
Απαντήσεις: 23
Προβολές: 1230

Re: JBMO Shortlist 2016

Πολύ κρίμα ο κόπος που έκανα χθες το βράδυ για να βρώ μία σύντομη λύση για αυτή την άσκηση... Αυτός που την πρότεινε, δεν μπορούσε να σκεφτεί πόσο θα ταλαιπωρούσε τους συμμετέχοντες;
από Γιάννης Μπόρμπας
Τετ Ιουν 28, 2017 1:51 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Διοφαντική με δύναμη πρώτου
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 287

Re: Διοφαντική με δύναμη πρώτου

Επαναφέρω (αν και νωρίς).

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση