Η αναζήτηση βρήκε 86 εγγραφές

από Γιάννης Μπόρμπας
Δευ Μαρ 20, 2017 11:28 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Με p,q,r...
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 131

Re: Με p,q,r...

Μου κάνει εντύπωση που έχει λύση την (7,5,10).
από Γιάννης Μπόρμπας
Κυρ Μαρ 19, 2017 6:45 pm
Δ. Συζήτηση: Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Ταυτότητα
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 586

Re: Ταυτότητα

Συνεχίζω με άλλη μία άσκηση που βασίζεται σε ταυτότητες . Να βρεθεί η τιμή του αθροίσματος \displaystyle{ 1 +\frac {1}{2} +\frac {1}{3}+\frac {1}{4}+ ... + \frac {1}{100}+ \frac {1}{2\cdot 3}+ ... +\frac {1}{99\cdot 100} +\frac {1}{2\cdot 3 \cdot 4} +...+\frac {1}{98\cdot 99 \cdot 100}+ ... +\frac ...
από Γιάννης Μπόρμπας
Σάβ Μαρ 04, 2017 9:45 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2017
Απαντήσεις: 72
Προβολές: 6569

Re: Αρχιμήδης 2017

:winner_third_h4h: !! Μπράβο σε όλους!
από Γιάννης Μπόρμπας
Σάβ Μαρ 04, 2017 6:34 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2017
Απαντήσεις: 72
Προβολές: 6569

Re: Αρχιμήδης 2017

Κρίμα, μου έφαγε πολύ ώρα το 4ο θέμα και δεν πρόλαβα να ολοκληρώσω την γεωμετρία που ήταν το πιο εύκολο...
Εύχομαι καλά αποτελέσματα σε όλα τα παιδιά και πολλά συγχαρητήρια σε όσους κατάφεραν να λύσουν το 4ο Seniors.
Από εκεί κιόλας θα ξεχωρίσουν οι μαθητές που αξίζουν να προκριθούν!
από Γιάννης Μπόρμπας
Σάβ Μαρ 04, 2017 6:17 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2017
Απαντήσεις: 72
Προβολές: 6569

Re: Αρχιμήδης 2017

Πρόβλημα 2 Seniors Αρχικά παρατηρούμε ότι υπάρχουν 2 αρνητικοί ακέραιοι και μόνο 1 θετικός. Οπότε βολεύει να κάνουμε την αντικατάσταση a=-b-c Έστω N=m^2 για κάποιο ακέραιο m . Η σχέση γίνεται: m^2=2017-a^3b-b^3c-c^3a=...=2017+b^4+2b^3c+3b^2c^2+2bc^3+c^4 . Σε αυτό το σημείο ο μαθητής πρέπει να μυρισ...
από Γιάννης Μπόρμπας
Σάβ Μαρ 04, 2017 3:55 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2017
Απαντήσεις: 72
Προβολές: 6569

Re: Αρχιμήδης 2017

Θεωρώ τα θέματα των μεγάλων ήταν πολύ πιο δύσκολα από ότι προηγούμενων χρόνων. Το 4ο ειδικά από ότι άκουσα από άλλα παιδιά που δίναμε μαζί, δεν το κατάφεραν οι περισσότεροι. Ο Μελάς μου είπε στο περίπου την λύση αλλά ήταν τόσο περίπλοκη που δεν την κατάλαβα καν.
από Γιάννης Μπόρμπας
Σάβ Μαρ 04, 2017 3:42 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2017
Απαντήσεις: 72
Προβολές: 6569

Re: Αρχιμήδης 2017

Πρόβλημα 2 Seniors Για ευκολία ονομάζουμε τους τομείς T_1,T_2,...,T_6 . Παρατηρούμε ότι αν πάρουμε οποιαδήποτε σημεία από τους τομείς: (1,3,5),(2,4,6) ένα από τον καθένα μπορούμε να φτιάξουμε τρίγωνα που φράζουν το A . Οι τρόποι επιλογής είναι \displaystyle{2\binom{5}{1}^3=250} . Στ...
από Γιάννης Μπόρμπας
Σάβ Μαρ 04, 2017 3:40 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2017
Απαντήσεις: 72
Προβολές: 6569

Re: Αρχιμήδης 2017

Στο πρόβλημα 3 έπρεπε κάποιος να παρατηρησει μετά την αντικατάσταση a=-b-c ότι
b^4+2b^3c+3c^2b^2+2bc^3+c^4+2017=(b^2+cb+c^2)^2+2017. Μετά εκτελώντας διαφορά τετραγώνων φτάνουμε εύκολα στην λύση. Περιμένω πως και πως να δω την λύση στο 4ο...
από Γιάννης Μπόρμπας
Σάβ Μαρ 04, 2017 3:33 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2017
Απαντήσεις: 72
Προβολές: 6569

Re: Αρχιμήδης 2017

Πρόβλημα 2 Seniors Για ευκολία ονομάζουμε τους τομείς T_1,T_2,...,T_6 . Παρατηρούμε ότι αν πάρουμε οποιαδήποτε σημεία από τους τομείς: (1,3,5),(2,4,6) ένα από τον καθένα μπορούμε να φτιάξουμε τρίγωνα που φράζουν το A . Οι τρόποι επιλογής είναι \displaystyle{2\binom{5}{1}^3=250} . Στ...
από Γιάννης Μπόρμπας
Σάβ Μαρ 04, 2017 2:16 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2017
Απαντήσεις: 72
Προβολές: 6569

Re: Αρχιμήδης 2017

Εγώ έλυσα τα 2,3. Μου έφαγε όλη την ώρα το 4ο και δεν πρόλαβα γεωμετρία.
από Γιάννης Μπόρμπας
Σάβ Μαρ 04, 2017 1:23 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2017
Απαντήσεις: 72
Προβολές: 6569

Re: Αρχιμήδης 2017

Το 4ο από εμάς (Seniors) ήταν υπερβολικά δύσκολο. Καλά αποτελέσματα σε όλους.
από Γιάννης Μπόρμπας
Πέμ Φεβ 23, 2017 2:16 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2016-2017
Απαντήσεις: 126
Προβολές: 5649

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Λόγω Αρχιμήδη δεν έχω αρκετό χρόνο να ετοιμάσω παραπάνω ασκήσεις. Καλή επιτυχία σε όσους θα συμμετάσχουν!
από Γιάννης Μπόρμπας
Δευ Φεβ 20, 2017 10:48 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2016-2017
Απαντήσεις: 126
Προβολές: 5649

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Άσκηση 30 Seniors Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f:\mathbb{R}^2-->\mathbb{R} που ικανοποιούν την σχέση: P(x,y): f(x+f(y))+f(yf(x))=y(x+1)+f(x), \forall x,y\in\mathbb{R} . Καλησπέρα!Μια λύση για αυτήν. P(0,0)\Rightarrow f(f(0...
από Γιάννης Μπόρμπας
Δευ Φεβ 20, 2017 10:39 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2016-2017
Απαντήσεις: 126
Προβολές: 5649

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Άσκηση 2 Seniors Αν για τα πολυώνυμα P(x)=ax^3+bx^2+cx+d και Q(x)=(a-b)x^3+(b-c)x^2+(c-d)x+d-a όπου a,b,c,d μη μηδενικοί πραγματικοί ισχύει ότι: 1)Τα πολυώνυμα μεταξύ τους έχουν ακριβώς 2 κοινές ρίζες. 2)Η γραφική παράσταση του κάθε πολυωνύμου τέμνει τον άξον...
από Γιάννης Μπόρμπας
Δευ Φεβ 20, 2017 6:04 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2016-2017
Απαντήσεις: 126
Προβολές: 5649

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Άλυτες παραμένουν οι ασκήσεις:
\boxed{2,5,6,10,11,13,20,30}
από Γιάννης Μπόρμπας
Δευ Φεβ 20, 2017 5:57 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2016-2017
Απαντήσεις: 126
Προβολές: 5649

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Άσκηση 30 Seniors
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f:\mathbb{R}^2-->\mathbb{R} που ικανοποιούν την σχέση:
P(x,y): f(x+f(y))+f(yf(x))=y(x+1)+f(x), \forall x,y\in\mathbb{R}.
από Γιάννης Μπόρμπας
Δευ Φεβ 20, 2017 1:36 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2016-2017
Απαντήσεις: 126
Προβολές: 5649

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Ευχαριστώ! Μια άλλη λύση είναι η εξής:
333301\equiv 4(\mod 9)
Όμως u^3\equiv -1,0,1(\mod 9)
Άρα x^3+y^3\equiv -2,-1,0,1,2(\mod 9)
Οπότε η εξίσωση δεν έχει λύση.
από Γιάννης Μπόρμπας
Κυρ Φεβ 19, 2017 10:08 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2016-2017
Απαντήσεις: 126
Προβολές: 5649

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Άσκηση 20 Seniors Να βρεθούν τα ζεύγη θετικών ακεραίων (a,b) που είναι τέτοια ώστε ο αριθμός: \displaystyle{\frac{a^5+ab^4}{a^2+b^2}} να είναι τέλειος κύβος πρώτου αριθμού. Έστω a=da_1 και b=db_1 και gcd(a_1,b_1)=1 τότε έχουμε: d^3a_1\frac{a_1^4+b_1^4}{a_1^2+b_1^2}=p^3 ,όπου p πρώτο...
από Γιάννης Μπόρμπας
Κυρ Φεβ 19, 2017 9:42 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2016-2017
Απαντήσεις: 126
Προβολές: 5649

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

mikemoke έγραψε:a,b θετικοί ακέραιοι Αν ab+1 διαιρει το a^2+b^2 να δειξετε οτι \frac{a^2+b^2}{ab+1} ειναι το τετραγωνο ακεραιου

Είναι πλέον αρκετά γνωστό αυτό το πρόβλημα το οποίο λύνεται με Vietta Jumping.
από Γιάννης Μπόρμπας
Κυρ Φεβ 19, 2017 9:40 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2016-2017
Απαντήσεις: 126
Προβολές: 5649

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Άσκηση 20 Seniors Να βρεθούν τα ζεύγη θετικών ακεραίων (a,b) που είναι τέτοια ώστε ο αριθμός: \displaystyle{\frac{a^5+ab^4}{a^2+b^2}} να είναι τέλειος κύβος πρώτου αριθμού. Έστω a=da_1 και b=db_1 και gcd(a_1,b_1)=1 τότε έχουμε: d^3a_1\frac{a_1^4+b_1^4}{a_1^2+b_1^2}=p^3 ,όπου p πρώτο...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση