Η αναζήτηση βρήκε 124 εγγραφές

από Γιάννης Μπόρμπας
Σάβ Απρ 29, 2017 2:27 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Γ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2017
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 298

Re: Γ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2017

Πρόβλημα 1 Να βρείτε τον μεγαλύτερο θετικό ακέραιο \displaystyle{\nu} , ο οποίος διαιρεί τον \displaystyle{p^6-1} για όλους τους πρώτους \displaystyle{p>7} . Παίρνοντας p=11 και p=13 έχουμε: 11^6-1=2^3\times 3^2\times 5\times 7\times 19\times 37 13^6-1=2^3\times 3^2\times 7\times 61\times 157 Ο μέγ...
από Γιάννης Μπόρμπας
Πέμ Απρ 27, 2017 10:59 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Δύο εξισώσεις
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 138

Re: Δύο εξισώσεις

Καλησπέρα, μια λύση. Μάλλον απλή για seniors, θα χρησιμοποιήσουμε ανισότητες, αρχικά είναι από AM-ΓΜ: \displaystyle{x^{y}+y^{z}+z^{x}\geq 3(xyz)^{\frac{x+y+z}{3}}\Rightarrow 2xyz\geq 3(xyz)^{\frac{x+y+z}{3}}} προφανώς αδύνατη αφού: \displaystyle{x,y,z\geq 1\Rightarrow \frac{x+y+z}{3...
από Γιάννης Μπόρμπας
Τετ Απρ 26, 2017 8:30 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 1118

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς

Άλυτες παραμένουν οι ασκήσεις:
Διαγώνισμα 1: (2)
Διαγώνισμα 2: (2)(4)
Διαγώνισμα 6: (2)(3)(4)
Διαγώνισμα 7: (2)
από Γιάννης Μπόρμπας
Τετ Απρ 26, 2017 12:29 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Μια Απλή!
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 254

Re: Μια Απλή!

Για x=P(y) έχουμε: \displaystyle{(P(2P(y))^2-c^2=4P(P(y))P(y)} όπου P(0)=c . Θεωρούμε ay^n τον μεγιστοβάθμιο όρο του P(y) και υποθέτουμε ότι n\ge 1 και a\not=0 . Οπότε: (a(2ay^n)^n)^2=4a(ay^n)^nay^n a^2(2...
από Γιάννης Μπόρμπας
Τρί Απρ 25, 2017 11:33 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 6
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 436

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 6

Διαγώνισμα 6 Επίπεδο: Αρχιμήδης/Προκριματικός Seniors Πρόβλημα 1 Δίνονται δύο κύκλοι c_1,c_2 οι οποίοι τέμνονται στα A,T και BC (με B σημείο του c_1 και C σημείο του c_2 ) η κοινή τους εφαπτομένη έτσι ώστε το T να βρίσκεται στο εσωτερικό του τριγώνου ABC . Η AB τέμνει τον c_2 στο B' και η AC τέ...
από Γιάννης Μπόρμπας
Δευ Απρ 24, 2017 11:53 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 6
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 436

Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 6

Διαγώνισμα 6 Επίπεδο: Αρχιμήδης/Προκριματικός Seniors Πρόβλημα 1 Δίνονται δύο κύκλοι c_1,c_2 οι οποίοι τέμνονται στα A,T και BC (με B σημείο του c_1 και C σημείο του c_2 ) η κοινή τους εφαπτομένη έτσι ώστε το T να βρίσκεται στο εσωτερικό του τριγώνου ABC . Η AB τέμνει τον c_2 στο B' και η AC τέ...
από Γιάννης Μπόρμπας
Δευ Απρ 24, 2017 7:50 am
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς-Διαγώνισμα 5
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 279

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς-Διαγώνισμα 5

Πρόβλημα 4: Αν \displaystyle{a,b,c\in R} , \displaystyle{a\neq b+c} και \displaystyle{a^3 =b^3 +c^3} , να αποδείξετε ότι ο αριθμός \displaystyle{A=\frac{bc(b+c)}{b+c-a}} είναι ακέραιος Αν πάρουμε b=c=1 και a=\sqrt[3]{2} τότε δεν ισχύει η πρόταση. Καλημέρα. Προφανώς είναι τυπογραφικό λάθος ....
από Γιάννης Μπόρμπας
Δευ Απρ 24, 2017 7:41 am
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς-Διαγώνισμα 5
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 279

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς-Διαγώνισμα 5

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:Πρόβλημα 2: Να αποδείξετε ότι: \displaystyle{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+ . . . +\frac{1}{100^2} < \frac{199}{100}}


Μία άλλη λύση:
\displaystyle{\sum_{k=1}^{100}\frac{1}{k^2}<\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}<1,9<1,99=\frac{199}{100}}
από Γιάννης Μπόρμπας
Δευ Απρ 24, 2017 12:09 am
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς-Διαγώνισμα 5
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 279

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς-Διαγώνισμα 5

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:Πρόβλημα 4: Αν \displaystyle{a,b,c\in R} , \displaystyle{a\neq b+c} και \displaystyle{a^3 =b^3 +c^3}, να αποδείξετε ότι ο αριθμός \displaystyle{A=\frac{bc(b+c)}{b+c-a}} είναι ακέραιος

Αν πάρουμε b=c=1 και a=\sqrt[3]{2} τότε δεν ισχύει η πρόταση.
από Γιάννης Μπόρμπας
Σάβ Απρ 22, 2017 3:02 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 1118

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς

Διαγώνισμα 4 Επίπεδο: Ευκλείδης Β' λυκείου
Διαγώνισμα 5 Επίπεδο: Ευκλείδης Α' λυκείου
Διαγώνισμα 6 Επίπεδο: Αρχιμήδης/Προκριματικός Seniors
Διαγώνισμα 7 Επίπεδο: Αρχιμήδης/Προκριματικός Seniors
από Γιάννης Μπόρμπας
Σάβ Απρ 22, 2017 2:48 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 4
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 261

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 4

Διαγώνισμα 4 Επίπεδο: Ευκλείδης Β' λυκείου Πρόβλημα 3 Αν ο n είναι θετικός ακέραιος και d_1,d_2, ... ,d_k, ... ,d_m οι θετικοί ακέραιοι διαιρέτες του με d_1<d_2<...<d_k<...<d_m . Να βρεθούν όλα τα ζεύγη (n,k) που ικανοποιούν την εξίσωση: n=d_1^2+d_2^2+d_k^2+d_1+d_2+d_k+12 Προφανώς d_1=1 . Ε...
από Γιάννης Μπόρμπας
Σάβ Απρ 22, 2017 2:32 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 4
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 261

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 4

Διαγώνισμα 4 Επίπεδο: Ευκλείδης Β' λυκείου Πρόβλημα 4 α) Να λυθεί στους πραγματικούς η εξίσωση: x^2-6x+1=0 β) Να βρείτε 2 πραγματικούς αριθμούς a,b με a<b για τους οποίους ο αριθμός: A=\displaystyle{\frac{(x^3-7x^2+7x)(x^3-5x^2-5x)}{x^4-6x^3+6x}} παίρνει την ίδια τιμή για x=a και x=...
από Γιάννης Μπόρμπας
Σάβ Απρ 22, 2017 1:03 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 4
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 261

Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 4

Διαγώνισμα 4 Επίπεδο: Ευκλείδης Β' λυκείου Πρόβλημα 1 Να λυθεί στους πραγματικούς η εξίσωση: \displaystyle{\frac{x^3-x^2+7x+3}{x^2+x+1}=\sqrt{4x-x^2}+\sqrt{4x-x^2-3}} Πρόβλημα 2 Δίνεται ημικύκλιο ακτίνας R με κέντρο O και με άκρα A,B , και C σημείο τέτοιο ώστε το ABC να είναι ισόπλευρο και το ημικύ...
από Γιάννης Μπόρμπας
Σάβ Απρ 22, 2017 3:06 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2017 (ΦΙΙ τάξη 6)
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 228

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2017 (ΦΙΙ τάξη 6)

4. Σε πολύ μεγάλο πίνακα είναι γραμμένος ο φυσικός αριθμός 100…000 (2017 μηδενικά). Ο Νίκος και ο Πέτρος με την σειρά (ξεκινάει ο Πέτρος, παίζουν) κάνουν κινήσεις. Ο κάθε παίχτης μπορεί να σβήσει τον αριθμό που είναι γραμμένος στον πίνακα και να τον αντικαταστήσει με ένα μικρότερο που δεν είναι δια...
από Γιάννης Μπόρμπας
Σάβ Απρ 22, 2017 2:40 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2017 (ΦΙΙ τάξη 6)
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 228

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2017 (ΦΙΙ τάξη 6)

1. Στον πίνακα είναι γραμμένοι 10 μη μηδενικοί φυσικοί αριθμοί. Προέκυψε ότι το γινόμενο οποιονδήποτε τεσσάρων εξ αυτών διαιρείται με το 30. Να αποδείξετε, ότι τουλάχιστον ένας από τους γραμμένους αριθμούς διαιρείται κι αυτός με το 30. Καταρχάς 30=2\times 3\times 5 . Επιλέγουμε τυχαία έναν πρώτο δι...
από Γιάννης Μπόρμπας
Παρ Απρ 21, 2017 1:57 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 1
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 166

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 1

Ο πιο πάνω χρωματισμός γενικεύεται σε χρωματισμό όλων των ευθυγράμμων τμημάτων μεταξύ 2n σημείων με 2n-1 χρώματα ώστε να μην υπάρχει σημείο στο οποίο να εμφανίζονται δύο χρώματα: Παίρνουμε ένα κανονικό (2n-1) -γωνο μαζί με το κέντρο του. Χρωματίζουμε τα τμήματα από το κέντρο προς τις κορυφέ...
από Γιάννης Μπόρμπας
Πέμ Απρ 20, 2017 9:56 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2017 (ΦΙΙ τάξη 9)
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 301

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2017 (ΦΙΙ τάξη 9)

1. Ο υπολογιστής του Αλέξανδρου μπορεί να κάνει δυο διαδικασίες. Αν τον φορτώσουμε με μια κάρτα με τον αριθμό a , τότε αυτός την επιστρέφει πίσω καθώς και άλλη μια με τον αριθμό a+1 . Αν τον φορτώσουμε διαδοχικά με κάρτες που έχουν τους αριθμούς a και b , τότε αυτός τις επιστρέφει πίσω και επίσης ε...
από Γιάννης Μπόρμπας
Πέμ Απρ 20, 2017 3:41 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 1118

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς

Καλησπέρα και πάλι! Ο κ.Σωκράτης πρότεινε να φτιάχνουμε ξεχωριστό θέμα για κάθε διαγώνισμα και να φτιάξω ένα θέμα το οποίο θα περιλαμβάνει μόνο τους συνδέσμους που καταλήγουν σε αυτά. Σε λίγη ώρα, θα χωρίσω τα υπάρχων διαγωνίσματα σε διαφορετικά θέματα, οπότε θα μπορείτε να μεταφέρετε και εσείς τις ...
από Γιάννης Μπόρμπας
Πέμ Απρ 20, 2017 3:10 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 3
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 165

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς

Χάρη ευχαριστώ για την διευκρίνηση. Είχα γράψει το γράμμα στα ελληνικά οπότε δεν το έβγαζε. Ωραία Ορέστη! Μία άλλη προσέγγιση είναι η εξής. Θεωρούμε το πολυώνυμο: P(x)=x^4-2x^3-2x^2+3x+1 Στην συνέχεια παρατηρούμε ότι: P(-1)=P(2)=-1 οπότε μπορούμε να γράψουμε το P(x) σ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση