Η αναζήτηση βρήκε 74 εγγραφές

από Γιάννης Μπόρμπας
Δευ Φεβ 20, 2017 10:48 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2016-2017
Απαντήσεις: 122
Προβολές: 4391

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Άσκηση 30 Seniors Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f:\mathbb{R}^2-->\mathbb{R} που ικανοποιούν την σχέση: P(x,y): f(x+f(y))+f(yf(x))=y(x+1)+f(x), \forall x,y\in\mathbb{R} . Καλησπέρα!Μια λύση για αυτήν. P(0,0)\Rightarrow f(f(0...
από Γιάννης Μπόρμπας
Δευ Φεβ 20, 2017 10:39 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2016-2017
Απαντήσεις: 122
Προβολές: 4391

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Άσκηση 2 Seniors Αν για τα πολυώνυμα P(x)=ax^3+bx^2+cx+d και Q(x)=(a-b)x^3+(b-c)x^2+(c-d)x+d-a όπου a,b,c,d μη μηδενικοί πραγματικοί ισχύει ότι: 1)Τα πολυώνυμα μεταξύ τους έχουν ακριβώς 2 κοινές ρίζες. 2)Η γραφική παράσταση του κάθε πολυωνύμου τέμνει τον άξον...
από Γιάννης Μπόρμπας
Δευ Φεβ 20, 2017 6:04 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2016-2017
Απαντήσεις: 122
Προβολές: 4391

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Άλυτες παραμένουν οι ασκήσεις:
\boxed{2,5,6,10,11,13,20,30}
από Γιάννης Μπόρμπας
Δευ Φεβ 20, 2017 5:57 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2016-2017
Απαντήσεις: 122
Προβολές: 4391

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Άσκηση 30 Seniors
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f:\mathbb{R}^2-->\mathbb{R} που ικανοποιούν την σχέση:
P(x,y): f(x+f(y))+f(yf(x))=y(x+1)+f(x), \forall x,y\in\mathbb{R}.
από Γιάννης Μπόρμπας
Δευ Φεβ 20, 2017 1:36 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2016-2017
Απαντήσεις: 122
Προβολές: 4391

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Ευχαριστώ! Μια άλλη λύση είναι η εξής:
333301\equiv 4(\mod 9)
Όμως u^3\equiv -1,0,1(\mod 9)
Άρα x^3+y^3\equiv -2,-1,0,1,2(\mod 9)
Οπότε η εξίσωση δεν έχει λύση.
από Γιάννης Μπόρμπας
Κυρ Φεβ 19, 2017 10:08 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2016-2017
Απαντήσεις: 122
Προβολές: 4391

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Άσκηση 20 Seniors Να βρεθούν τα ζεύγη θετικών ακεραίων (a,b) που είναι τέτοια ώστε ο αριθμός: \displaystyle{\frac{a^5+ab^4}{a^2+b^2}} να είναι τέλειος κύβος πρώτου αριθμού. Έστω a=da_1 και b=db_1 και gcd(a_1,b_1)=1 τότε έχουμε: d^3a_1\frac{a_1^4+b_1^4}{a_1^2+b_1^2}=p^3 ,όπου p πρώτο...
από Γιάννης Μπόρμπας
Κυρ Φεβ 19, 2017 9:42 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2016-2017
Απαντήσεις: 122
Προβολές: 4391

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

mikemoke έγραψε:a,b θετικοί ακέραιοι Αν ab+1 διαιρει το a^2+b^2 να δειξετε οτι \frac{a^2+b^2}{ab+1} ειναι το τετραγωνο ακεραιου

Είναι πλέον αρκετά γνωστό αυτό το πρόβλημα το οποίο λύνεται με Vietta Jumping.
από Γιάννης Μπόρμπας
Κυρ Φεβ 19, 2017 9:40 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2016-2017
Απαντήσεις: 122
Προβολές: 4391

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Άσκηση 20 Seniors Να βρεθούν τα ζεύγη θετικών ακεραίων (a,b) που είναι τέτοια ώστε ο αριθμός: \displaystyle{\frac{a^5+ab^4}{a^2+b^2}} να είναι τέλειος κύβος πρώτου αριθμού. Έστω a=da_1 και b=db_1 και gcd(a_1,b_1)=1 τότε έχουμε: d^3a_1\frac{a_1^4+b_1^4}{a_1^2+b_1^2}=p^3 ,όπου p πρώτο...
από Γιάννης Μπόρμπας
Σάβ Φεβ 18, 2017 6:19 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2016-2017
Απαντήσεις: 122
Προβολές: 4391

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Άσκηση 28 Juniors Έστω n θετικός ακέραιος. Στο ορθοκανονικό σύστημα αξόνων, θα ονομάζουμε "Τέλεια" τα σημεία A(x,y) για τα οποία ισχύει ότι: 1) Έχουν μη αρνητικές ακέραιες συντεταγμένες. 2) 2n\ge x,y\ge 0 . 3) xy(2n-x)(2n-y)=0 . Στην συνέχεια, ένα ευθύγ...
από Γιάννης Μπόρμπας
Σάβ Φεβ 18, 2017 11:45 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2016-2017
Απαντήσεις: 122
Προβολές: 4391

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Άσκηση 28 Juniors Έστω n θετικός ακέραιος. Στο ορθοκανονικό σύστημα αξόνων, θα ονομάζουμε "Τέλεια" τα σημεία A(x,y) για τα οποία ισχύει ότι: 1) Έχουν μη αρνητικές ακέραιες συντεταγμένες. 2) 2n\ge x,y\ge 0 . 3) xy(2n-x)(2n-y)=0 . Στην συνέχεια, ένα ευθύγ...
από Γιάννης Μπόρμπας
Παρ Φεβ 17, 2017 1:56 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2016-2017
Απαντήσεις: 122
Προβολές: 4391

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Άσκηση 25 Seniors Αν a,b,c θετικοί πραγματικοί να δειχθεί ότι \displaystyle\sum_{cyc}\frac{a^2}{a^2+ab+b^2}\geq1 Αρχικά παρατηρούμε ότι η δοθείσα σχέση δεν βολεύει αρκετά. Θα προσπαθήσουμε να βρούμε μία ισοδύναμη σχέση που πρέπει να αποδειχθεί, η οποία θα αποδεικνύεται με C-S . Όμως: \displaystyle{...
από Γιάννης Μπόρμπας
Πέμ Φεβ 16, 2017 10:05 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2016-2017
Απαντήσεις: 122
Προβολές: 4391

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

JimNt. έγραψε:
knm2608 έγραψε:Πάντως με C-S υπάρχει πολύ ωραία λύση και κυρίως αποφεύγεις τις πολλές και βαρετές πράξεις.

Μπορείς να την βάλεις αν θες.

Εγώ θα έλεγα να μείνει για άλλες 2 μέρες.
από Γιάννης Μπόρμπας
Πέμ Φεβ 16, 2017 9:30 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2016-2017
Απαντήσεις: 122
Προβολές: 4391

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Ξαναέκανα τις πράξεις και είχα κάνει λάθος.
από Γιάννης Μπόρμπας
Πέμ Φεβ 16, 2017 4:20 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2016-2017
Απαντήσεις: 122
Προβολές: 4391

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Εκτέλεσα πράξεις και δεν έφτασα στην ίδια ανισότητα...
Σε αυτήν που έφτασα βγαίνει πάλι με 2 AM-GM.
από Γιάννης Μπόρμπας
Τετ Φεβ 15, 2017 3:26 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2016-2017
Απαντήσεις: 122
Προβολές: 4391

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Με (\mod8) βγαίνει πιο γρήγορα γιατί θα πρέπει c<4
από Γιάννης Μπόρμπας
Τρί Φεβ 14, 2017 7:02 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2016-2017
Απαντήσεις: 122
Προβολές: 4391

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Άσκηση 23 Seniors Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι a,b,c με gcd(a,b)=1 που ικανοποιούν την εξίσωση: 2a^2+b^2=c!+679 Έστω πως c\geq 7 . Τότε έχουμε πως 7|2a^2+b^2 Ακόμη έχουμε ότι όλα τα δυνατά υπόλοιπα που μπορεί να έχει ένα τετράγωνο με το 7 είναι 0, 1, 2 και 4 (1). Αν a^2 \equiv 0 \mod...
από Γιάννης Μπόρμπας
Τρί Φεβ 14, 2017 6:47 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2016-2017
Απαντήσεις: 122
Προβολές: 4391

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

:10sta10: Θεωρώ τις διαγώνιους της σκακιέρας (Η Α2-Β1 ειναι μια διαγώνιος). Τουλάχιστον 5 πύργοι βρίσκονται σε μια διαγώνιο (είτε στην αριστερή πλευρά της κεντρικής διαγώνιους είτε στην δεξιά). Αν υπαρχουν συνολικά πεντε πύργοι σε αυτές τις δυο διαγώνιους τελειώσαμε. Δεν ξερω αν έγινα κατανοητος :oo...
από Γιάννης Μπόρμπας
Τρί Φεβ 14, 2017 5:51 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2016-2017
Απαντήσεις: 122
Προβολές: 4391

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Άσκηση 23 Seniors
Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι a,b,c με
gcd(a,b)=1 που ικανοποιούν την εξίσωση:
2a^2+b^2=c!+679
από Γιάννης Μπόρμπας
Τρί Φεβ 14, 2017 2:51 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2016-2017
Απαντήσεις: 122
Προβολές: 4391

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Άσκηση 22 Seniors
Αν a,b,c θετικοί πραγματικοί αριθμοί με άθροισμα 3 να δειχθεί ότι:
\displaystyle{\frac{{2{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{4 - bc}} + \frac{{{a^2} + 2{b^2} + {c^2}}}{{4 - ca}} + \frac{{{a^2} + {b^2} + 2{c^2}}}{{4 - ab}} \ge 4}
Πότε ισχύει η ισότητα;
από Γιάννης Μπόρμπας
Κυρ Φεβ 12, 2017 4:43 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: 2 σε 1!
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 239

Re: 2 σε 1!

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
JimNt. έγραψε:Αν n το πλήθος των αναγραμματισμών της (λέξης) PLUSBUS έτσι ώστε σε κάθε αναγραμματισμό να μην υπάρχουν δύο διαδοχικά ιδια γράμματα ίδια να λύσετε στους ακεραίους την εξίσωση 2x^{n}+y^9=1.


Να φανταστώ αυτο εννοείς;

Συγγνώμη αν κανω λαθος.

Λογικά μάλλον αυτό εννοεί.

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση