Η αναζήτηση βρήκε 20 εγγραφές

από thrassos
Σάβ Απρ 22, 2017 10:09 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Πλήθος λύσεων
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 170

Re: Πλήθος λύσεων

Καλησπέρα κύριε Σταύρο, Θα δώσω μία λύση για το πρώτο πρόβλημα που θέτετε. Αρχικά, αναπαριστούμε κάθε άθροισμα x_{1} + ..... +x_{m} μη αρνητικών ακεραίων με μια ακολουθία από x_{1} τελείες (•) ακολουθούμενες από μία κάθετη γραμμή (|), μετά από x_{2} τελείες ακόμη μία κάθετη γραμμή και συνεχίζοντας έ...
από thrassos
Σάβ Απρ 22, 2017 9:42 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ανισότητα από MR
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 140

Re: Ανισότητα από MR

Καλησπέρα παιδιά,
Μία προσπάθεια με Jensen.
Αφού f(x)=\sqrt{x} κοίλη έπεται ότι RHS\leq 3(a+b+c) και άρα αρκεί πλέον να αποδείξουμε ότι LHS\geq 3(a+b+c).
Δεν ξέρω Χάρη αν εννοούσες διαφορετική εφαρμογή της Jensen.
από thrassos
Σάβ Απρ 22, 2017 9:04 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: 2 σε 1!
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 197

Re: 2 σε 1!

Μία λύση για το Α. Παρατηρούμε ότι η ανισότητα είναι ομογενής, γεγονός που μας επιτρέπει να θέσουμε a+b+c=1 . 'Ετσι, χρησιμοποιώντας την παραπάνω συνθήκη παίρνουμε ότι η αρχική είναι ισοδύναμη με \sum \frac{a}{(1-(b-c)^2)^2} \geq 1 ή ισοδύναμα \sum \frac{a^2}{(1-(b-c)^2&#...
από thrassos
Τετ Απρ 19, 2017 9:34 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Με πρώτο p...
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 291

Re: Με πρώτο p...

Καλησπέρα κύριε Σταύρο,
Το e_{p}(n) είναι η μέγιστη δύναμη του p που διαιρεί το n! και το S_{p}(n) είναι το άθροισμα των ψηφίων του n αν το γράψουμε με βάση το p.
από thrassos
Δευ Φεβ 27, 2017 12:46 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Απλη Διοφαντική 2!
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 228

Re: Απλη Διοφαντική 2!

Λάθος απάντηση
από thrassos
Κυρ Φεβ 12, 2017 4:50 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Διαιρετότητα
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 233

Re: Διαιρετότητα

Καλησπέρα Ορέστη και Χάρη, Για λόγους ποικιλίας ας παραθέσω μία ακόμη προσέγγιση. Έστω n^2+3n+5=121k τότε βλέποντας το σαν τριώνυμο ως προς n έχουμε \Delta=484k-11 και επειδή n είναι ακέραιος έπεται ότι \Delta είναι τέλειο τετράγωνο. Επομένως, το πρόβλημα ανάγεται στο δείξουμε ότι \Delta δεν είναι τ...
από thrassos
Δευ Φεβ 06, 2017 3:06 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Εύκολο Μέγιστο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 197

Re: Εύκολο Μέγιστο

Γεια σου Δημήτρη,
A\leq x^4+y^4+z^4 άρα επειδή x^4+y^4+z^4=(x^2+y^2+z^2)^2-2A έπεται ότι 3A\leq9 και άρα A\leq3

Φιλικά.
Θράσος
από thrassos
Κυρ Ιαν 29, 2017 3:02 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2016-2017
Απαντήσεις: 126
Προβολές: 6013

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Καλησπέρα Γιάννη, Αναφορικά με το πρόβλημα 3, από την ανισότητα Andreescu έχουμε ότι LHS \geq \frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2+ab+bc+ca} Επομένως, αρκεί να αποδείξουμε ότι \frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2+ab+bc+ca}\geq \frac{3}{4} το οποίο καταλήγει στην γνωστή ανισότητα (a+b...
από thrassos
Κυρ Ιαν 29, 2017 12:08 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ρητές λύσεις
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 233

Re: Ρητές λύσεις

Καλημέρα Δημήτρη και Διονύση, Ας μου επιτραπεί να δώσω μια λύση πιο γενική σχετικά με τις ρητές ρίζες πολυωνύμων χρησιμοποιώντας ένα αρκετά απλό και όμορφο θεώρημα. Είναι γνωστό πως αν ένα πολυώνυμο P(x) έχει ρητή ρίζα \frac{\kappa }{\lambda } με (\kappa,\lambda)=1 τότε \lambda |a_n ...
από thrassos
Παρ Ιαν 20, 2017 5:54 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Ανοιχτό πρόβλημα
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 511

Re: Ανοιχτό πρόβλημα

Χάρη αυτό είναι προφανέστατο, απλά εγώ βιάστηκα και έκανα λάθος. Θα επανέλθω όμως μόλις σκεφτώ κάτι πιο καλά τεκμηριωμένο.
από thrassos
Παρ Ιαν 20, 2017 5:11 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Ανοιχτό πρόβλημα
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 511

Re: Ανοιχτό πρόβλημα

Καλησπέρα Γιάννη, Μια προσπάθεια για την άσκηση. Αρχικά, παραγοντοποιούμε τα δύο μέλη και τα φέρνουμε στην εξής μορφή p(p^2+1)=q(q^6+1) από όπου έπεται πως p|q^6+1 και q|p^2+1 . Άρα διακρίνουμε τις περιπτώσεις : \bullet q=2 και άρα παίρνουμε ότι p=5 ή p=13 και επειδή για p=13 δεν ικα...
από thrassos
Πέμ Ιαν 12, 2017 2:31 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Μία δύσκολη Διαιρετότητα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 382

Re: Μία δύσκολη Διαιρετότητα

Καλημέρα Χάρη, Μία προσπάθεια με L.T.E. Αρχικά, υποθέτουμε ότι \exists p , όπου p ο μικρότερος πρώτος, τέτοιος ώστε ώστε p|b και έστω t \in \mathbb{N} , ο μικρότερος φυσικός για τον οποίο ισχύει p|a^t-1 . Άρα έχουμε t|b και από μικρό θεώρημα του Fermat t|p-1 άρα αν t\neq 1 τότε θα υπάρχει ένας πρώτο...
από thrassos
Τρί Ιαν 10, 2017 9:10 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Χειμωνιάτικη !
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 470

Re: Χειμωνιάτικη !

Και αφού ο χιονιάς καλά κρατεί και τα σχολεία θα παραμείνουν και αύριο κλειστά με παίρνει να παραθέσω την σκέψη μου για το πρόβλημα αυτό. Αρχικά, παρατηρούμε ότι a^2+b^2|a(a^2+b^2)+b(a^2+b^2) άρα έπεται ότι αν a^2+b^2|a^3+b^3 τότε θα πρέπει a^2+b^2|ab(a+b) . Όμως, (ab,a^2...
από thrassos
Τρί Ιαν 10, 2017 1:08 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Απλή και Ωραία!
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 324

Re: Απλή και Ωραία!

Καλημέρα σε όλους, Για να μην μείνει άλυτη ας παραθέσω την σκέψη μου. Αρχικά, παρατηρούμε ότι με στοιχειώδη παραγοντοποίηση μπορούμε να φέρουμε την εξίσωση στην μορφή (x+y)(xy-p)=5p Έτσι, αφού το δεύτερο μέλος είναι γινόμενο πρώτων διακρίνουμε τις περιπτώσεις: \bullet x+y=5 και xy-p=...
από thrassos
Δευ Ιαν 09, 2017 3:43 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Διοφαντική!!
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 528

Re: Διοφαντική!!

Λαθος απαντηση...
από thrassos
Δευ Ιαν 09, 2017 1:09 pm
Δ. Συζήτηση: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'
Θέμα: Διανυσματική
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 135

Re: Διανυσματική

Καλημέρα σε όλους, i) Έστω ότι \vec{a}//\vec{b} \Leftrightarrow \vec{a}=k\vec{b} . Αν τώρα βάλουμε αυτή την σχέση στην δοθείσα θα έχουμε k=1 ή k=2 . Πράγμα άτοπο λόγω των περιορισμών. Άρα τα διανύσματα είναι μη συγγραμμικά. ii) Έστω \vec{\gamma }-\vec{b}=\lambda \vec{a} και \vec{\gamma }=\mu...
από thrassos
Κυρ Ιαν 08, 2017 8:32 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Πολύγωνο και Κύκλος
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 276

Re: Πολύγωνο και Κύκλος

Καλησπέρα Χάρη, Μια ιδέα είναι να υποθέσουμε ότι X_{1} , X\jmath είναι οι δύο κορυφές του πολυγώνου με την μεγαλύτερη απόσταση Έστω D η απόσταση αυτή και a_{1},.....,a_{n} οι πλευρές του πολυγώνου και d_{i} η απόσταση μεταξύ των X_{1},X_{1+z} όπου z=2,3....n-1 . Τότε εφαρμόζοντας την τριγωνική ανισό...
από thrassos
Τετ Ιαν 04, 2017 12:16 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Διαφορά γωνιών
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 122

Re: Διαφορά γωνιών

Καλημέρα σε όλους, Αρχικά παρατηρούμε το εγγράψιμο A P S B και άρα \angle PAS = \angle SBP = \angle POS /2 και άρα η προς απόδειξη σχέση γράφεται (ας υποθέσουμε ότι \angle PAS = z ) \angle \omega - \angle \theta = 2\angle z επειδή όμως \angle \omega = 90 + \angle z ως εξωτερική του τριγώνου M P A κα...
από thrassos
Δευ Δεκ 19, 2016 5:44 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Πρώτοι και Δύναμη
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 360

Re: Πρώτοι και Δύναμη

Μια προσπάθεια για την αδιαμφισβήτητα πολύ όμορφη άσκηση του Χάρη. Αρχικά, παρατηρούμε το προφανές ζεύγος (p,n)=(2,1) . Έπειτα, μετά από παραγοντοποίηση η εξίσωση γίνεται p(p-1)^2 +1 = 3^n Επειδή, πλέον p περιττός δουλεύοντας με mod4 παίρνουμε ότι n=2k , άρα η εξίσωση γράφετα...
από thrassos
Κυρ Δεκ 18, 2016 11:01 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ισότητα και συνευθειακότητα
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 199

Re: Ισότητα και συνευθειακότητα

Καλημέρα σε όλους, Αρχικά παρατηρούμε πως επειδή η ASC = 90° καθώς το SABC είναι εγγεγραμμένο. Ομοίως και η APD=90°. Άρα λόγω των προηγούμενων δυο σχέσεων έπεται πως SC//PD. Άρα το SCPD είναι τραπέζιο.Επομένως αν τώρα φέρουμε το μέσο Ν της SP θα έχουμε πως MN// PD και άρα η MNP=90° και άρα MN και ύψ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση