Η αναζήτηση βρήκε 32 εγγραφές

από thrassos
Τετ Μάιος 31, 2017 9:12 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Μισή Ινδική - Μισή δική μου
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 440

Re: Μισή Ινδική - Μισή δική μου

Καλησπέρα Χάρη,
Πρόκειται για ένα πρόβλημα το οποίο τέθηκε στο IMO TRAINING CAMP της Ινδίας το 2016.
https://artofproblemsolving.com/communi ... 07p6696426
από thrassos
Κυρ Μάιος 28, 2017 9:01 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Συναρτησιακή από Ινδία
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 662

Re: Συναρτησιακή από Ινδία

Έχουμε υποθέσει ότι f(a)=0 . Για λόγους όμως διευκόλυνσης της συζήτησης παραθέτω την λύση μου, και με τα χαράς να ακούσω τις παρατηρήσεις που ίσως να προκύψουν. Αρχικά, x:=0,y:=0 : f(0)=0 . Στη συνέχεια, για y:=0 θα προκύψει f(x^2)=xf(x) (1). Για x:=-y παίρνουμε ότι f...
από thrassos
Κυρ Μάιος 28, 2017 6:53 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Συναρτησιακή από Ινδία
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 662

Re: Συναρτησιακή από Ινδία

Καλησπέρα κύριε Λάμπρου,
Καταρχάς να σημειώσω πως υπάρχει τυπογραφικό και αντί για y:=a έπρεπε να είναι x:=a.
Τώρα, αν δεν κάνω λάθος προκύπτει ότι af(y+a)=0 αφού f(a^2)=0
από thrassos
Κυρ Μάιος 28, 2017 4:17 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Συναρτησιακή από Ινδία
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 662

Re: Συναρτησιακή από Ινδία

Καλησπέρα Χάρη,
Μπορείς πιο απλά να παρατηρήσεις ότι για x:=a έχουμε af(y+a)=0 και άρα αν f(y)\not\equiv 0 θα έχουμε a=0. Και από εκεί και πέρα με την τελευταία αντικατάσταση που έκανες παίρνουμε και την δεύτερη λύση της συναρτησιακής.
από thrassos
Κυρ Μάιος 28, 2017 1:02 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Συναρτησιακή από Ινδία
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 662

Re: Συναρτησιακή από Ινδία

Αυτές βρήκα και εγώ
από thrassos
Κυρ Μάιος 28, 2017 10:23 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Συναρτησιακή από Ινδία
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 662

Συναρτησιακή από Ινδία

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε f(x^2+yf(x))=xf(x+y)
από thrassos
Σάβ Μάιος 27, 2017 11:20 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ωραία Διοφαντική
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 277

Re: Ωραία Διοφαντική

Καλησπέρα,
Θεωρώ λιγάκι υπερβολή την χρήση του Zsigmondy όταν μπορείς απλά να παρατηρήσεις ότι (3^k+y,3^k-y)=1 και άρα
3^k+y=5^x και 3^k-y=1.
από thrassos
Πέμ Μάιος 25, 2017 9:25 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 12
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 334

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 12

Το γνωρίζω απλά για λόγους οικονομίας στον χρόνο έβαλα μόνο το σκέλος της λύσης μου που αφορά τους μη αρνητικούς
από thrassos
Πέμ Μάιος 25, 2017 9:20 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 12
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 334

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 12

Να βρείτε όλα τα ζεύγη ακεραίων (a,b) τέτοια, ώστε 2017^a = b^6-32b + 1 Καλησπέρα σε όλους, Η λύση μου αφορά τους μη αρνητικούς. Αρχικά, παρατηρούμε ότι θα πρέπει b ζυγός και έστω b=2k .Στη συνέχεια θα δείξουμε ότι a πρέπει να είναι ζυγός. Αφού, όμως, b=2k η αρχική εξίσωση γράφεται 2016(...
από thrassos
Τετ Μάιος 10, 2017 1:14 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 10
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 523

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 10

Σωστά,τώρα το είδα.
Θα επανέλθω με διευκρινήσεις.
από thrassos
Τετ Μάιος 10, 2017 1:03 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 10
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 523

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 10

Καλησπέρα Γιάννη, Μια στοιχειώδη λύση και αργότερα θα επανέλθω και με το σχήμα. Παρατηρούμε ότι οι κύκλοι των CSO και BSO είναι ίση. Άρα πλέον γνωρίζουμε ότι τα M,N,S είναι τα μέσα των αντίστοιχων πλευρών στα οποία βρίσκονται. Και άρα το τετράπλευρο F,M,E,N είναι εγγράψιμο στον κύκλο Euler . Φιλικά,...
από thrassos
Πέμ Μάιος 04, 2017 3:44 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Από Ρουμανία με Μανία!
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 368

Re: Από Ρουμανία με Μανία!

Καλησπέρα Νικόλα, Αρχικά, θέτοντας για ευκολία x^3=a καταλήγουμε η δοθείσα να είναι ένα τριώνυμο ως προς a . Τώρα, δεδομένου ότι ο a είναι ακέραιος θέλουμε η διακρίνουσα του τριωνύμου να είναι τέλειο τετράγωνο. Εύκολα βλέπουμε ότι ο παραπάνω συλλογισμός δεν ισχύει για y \in (-\infty,-1)\bigc...
από thrassos
Σάβ Απρ 22, 2017 10:09 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Πλήθος λύσεων
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 415

Re: Πλήθος λύσεων

Καλησπέρα κύριε Σταύρο, Θα δώσω μία λύση για το πρώτο πρόβλημα που θέτετε. Αρχικά, αναπαριστούμε κάθε άθροισμα x_{1} + ..... +x_{m} μη αρνητικών ακεραίων με μια ακολουθία από x_{1} τελείες (•) ακολουθούμενες από μία κάθετη γραμμή (|), μετά από x_{2} τελείες ακόμη μία κάθετη γραμμή και συνεχίζοντας έ...
από thrassos
Σάβ Απρ 22, 2017 9:42 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ανισότητα από MR
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 302

Re: Ανισότητα από MR

Καλησπέρα παιδιά,
Μία προσπάθεια με Jensen.
Αφού f(x)=\sqrt{x} κοίλη έπεται ότι RHS\leq 3(a+b+c) και άρα αρκεί πλέον να αποδείξουμε ότι LHS\geq 3(a+b+c).
Δεν ξέρω Χάρη αν εννοούσες διαφορετική εφαρμογή της Jensen.
από thrassos
Σάβ Απρ 22, 2017 9:04 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: 2 σε 1!
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 326

Re: 2 σε 1!

Μία λύση για το Α. Παρατηρούμε ότι η ανισότητα είναι ομογενής, γεγονός που μας επιτρέπει να θέσουμε a+b+c=1 . 'Ετσι, χρησιμοποιώντας την παραπάνω συνθήκη παίρνουμε ότι η αρχική είναι ισοδύναμη με \sum \frac{a}{(1-(b-c)^2)^2} \geq 1 ή ισοδύναμα \sum \frac{a^2}{(1-(b-c)^2&#...
από thrassos
Τετ Απρ 19, 2017 9:34 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Με πρώτο p...
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 459

Re: Με πρώτο p...

Καλησπέρα κύριε Σταύρο,
Το e_{p}(n) είναι η μέγιστη δύναμη του p που διαιρεί το n! και το S_{p}(n) είναι το άθροισμα των ψηφίων του n αν το γράψουμε με βάση το p.
από thrassos
Δευ Φεβ 27, 2017 12:46 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Απλη Διοφαντική 2!
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 404

Re: Απλη Διοφαντική 2!

Λάθος απάντηση
από thrassos
Κυρ Φεβ 12, 2017 4:50 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Διαιρετότητα
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 282

Re: Διαιρετότητα

Καλησπέρα Ορέστη και Χάρη, Για λόγους ποικιλίας ας παραθέσω μία ακόμη προσέγγιση. Έστω n^2+3n+5=121k τότε βλέποντας το σαν τριώνυμο ως προς n έχουμε \Delta=484k-11 και επειδή n είναι ακέραιος έπεται ότι \Delta είναι τέλειο τετράγωνο. Επομένως, το πρόβλημα ανάγεται στο δείξουμε ότι \Delta δεν είναι τ...
από thrassos
Δευ Φεβ 06, 2017 3:06 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Εύκολο Μέγιστο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 296

Re: Εύκολο Μέγιστο

Γεια σου Δημήτρη,
A\leq x^4+y^4+z^4 άρα επειδή x^4+y^4+z^4=(x^2+y^2+z^2)^2-2A έπεται ότι 3A\leq9 και άρα A\leq3

Φιλικά.
Θράσος
από thrassos
Κυρ Ιαν 29, 2017 3:02 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2016-2017
Απαντήσεις: 126
Προβολές: 6766

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Καλησπέρα Γιάννη, Αναφορικά με το πρόβλημα 3, από την ανισότητα Andreescu έχουμε ότι LHS \geq \frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2+ab+bc+ca} Επομένως, αρκεί να αποδείξουμε ότι \frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2+ab+bc+ca}\geq \frac{3}{4} το οποίο καταλήγει στην γνωστή ανισότητα (a+b...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση