Η αναζήτηση βρήκε 188 εγγραφές

από JimNt.
Σάβ Ιαν 14, 2017 8:45 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Αδύνατη το δεκαεφτά
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 80

Re: Αδύνατη το δεκαεφτά

Al.Koutsouridis έγραψε:Να δείξετε ότι η εξίσωση

a^5-b^5 = 2017

είναι αδύνατη, όπου a, b ακέραιοι.

Ισχύει πως κάθε x^5\equiv 0,1,-1 (mod 11), όμως 2017\equiv 4(mod11) \Leftrightarrow a^5-b^5 \equiv 4(mod 11), άτοπο.
από JimNt.
Σάβ Ιαν 14, 2017 12:11 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Υπέροχη Διοφαντική
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 166

Re: Υπέροχη Διοφαντική

Λίγο σύντομα. Την φέρνουμε στην εξής μορφή. (p^2-p-1)=q(2q+3) , αρα ή p|q δηλ. p=q που όμως εύκολα βλέπουμε οτι δεν δίνει λυσεις και ή p|2q+3 δηλαδή 2q+3=rp και q=\dfrac {rp-3}{2} . Αντικαθιστούμε και προσπαθούμε να δημιουργήσουμε μια εξισωση δεύτερου βαθμούς ως προς p ( 2p^2-(k...
από JimNt.
Σάβ Ιαν 14, 2017 10:38 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Υπέροχη Διοφαντική
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 166

Υπέροχη Διοφαντική

Να βρείτε όλα τα ζεύγη πρώτων (p,q) που ικανοποιούν την p^3-p^2-p=2q^2+3q .
ΕDIT: Παράληψη στοιχείου
από JimNt.
Παρ Ιαν 13, 2017 2:39 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Είναι 13
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 198

Re: Είναι 13

Χθες που επιτηρούσα σε διαγώνισμα σε δευτεροετείς και πάνω φοιτητές του Μαθηματικού είδα στα θέματα μία ωραία και απλή ασκησούλα που μου τράβηξε την προσοχή: Έστω m φυσικός αριθμός για τον οποίο υπάρχει φυσικός n τέτοιος ώστε m|n^2+3 και m|(n+1)^2+3 . Δείξτε ότι m=13 και βρείτε άπειρο πλήθο...
από JimNt.
Παρ Ιαν 13, 2017 2:25 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Είναι 13
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 198

Re: Είναι 13

Χθες που επιτηρούσα σε διαγώνισμα σε δευτεροετείς και πάνω φοιτητές του Μαθηματικού είδα στα θέματα μία ωραία και απλή ασκησούλα που μου τράβηξε την προσοχή: Έστω m φυσικός αριθμός για τον οποίο υπάρχει φυσικός n τέτοιος ώστε m|n^2+3 και m|(n+1)^2+3 . Δείξτε ότι m=13 και βρείτε άπειρο πλήθο...
από JimNt.
Πέμ Ιαν 12, 2017 5:45 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Από το 2016 στο 2017!
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 277

Re: Από το 2016 στο 2017!

Θα χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα LTE ( Lift the exponent ) Ισχύει ότι 7^1||142-2 . Έστω 7^k||n . Τότε ισχύει ότι 7^{k+1}||142^n-2^n . Αφού όμως 7^{2017}|142^n-2^n , ισχύει ότι 7^{k+1}\geq 7^{2017}\Leftrightarrow k\geq 2016 . Ακόμη ισχύει ότι 5^1||142-2 . Έστω 7^l||n . Τότε ισχύει ότι 5^{l+1}||142^n-2...
από JimNt.
Πέμ Ιαν 12, 2017 2:31 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Από το 2016 στο 2017!
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 277

Από το 2016 στο 2017!

Να βρείτε τον ελάχιστο θετικό ακέραιο n ώστε 70^{2017}|142^n-2^n. Για μαθητές μέχρι τις 17/1.
από JimNt.
Τετ Ιαν 11, 2017 1:47 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014-15 (ΦΙ τάξη 10)
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 278

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014-15 (ΦΙ τάξη 10)

Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014-2015 Θέματα της πρώτης φάσης για την 10η τάξη. 1. Δίνονται 100 διαφορετικοί θετικοί ακέραιοι. Οι οποίοι χωρίζονται σε 50 ζεύγη έτσι, ώστε το άθροισμα των αριθμών κάθε ζεύγους να είναι μεγαλύτερο του 1000. Να αποδείξετε ότι αν γράψουμε όλους τους 100 αριθμούς ...
από JimNt.
Τετ Ιαν 11, 2017 1:30 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Διοφαντική με παραγοντικό
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 235

Re: Διοφαντική με παραγοντικό

Να βρεθούν όλοι οι πρώτοι αριθμοί p και οι θετικοί ακέραιοι n που ικανοποιούν την εξίσωση: p^4+p^3+p^2+p=n! (Χωρίς επαγωγή). Βάζω λύση με επαγωγή. Πρέπει p|n! και επειδή p πρώτος προκύπτει n! \ge p! . Πρέπει λοιπόν p^4+p^3+p^2+p\ge p! (1) . Επαγωγικά δείχνουμε πως για p\ge7 η (1) δε...
από JimNt.
Τετ Ιαν 11, 2017 1:19 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014-15 (ΦΙ τάξη 10)
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 278

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014-15 (ΦΙ τάξη 10)

Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014-2015 Θέματα της πρώτης φάσης για την 10η τάξη. 3. Οι θετικοί ακέραιοι αριθμοί a,b είναι τέτοιοι, ώστε ο αριθμός p=8a+19b να είναι πρώτος. Να δείξετε ότι ο αριθμός n=ab-7a-18b+1 δεν διαιρείται με τον p . Υγ1. Στην ολυμπιάδα συμμετέχουν περίπου 10-15 χιλιάδες μ...
από JimNt.
Τρί Ιαν 10, 2017 9:39 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Διοφαντική!!
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 352

Re: Διοφαντική!!

silouan έγραψε:Ποια είναι από ΒΜΟ;

Η άσκηση με 2x^4+1=y^2 είναι η άσκηση 2.71 από το βιβλίο Μαθηματικοί Διαγωνισμοί ΙΙ. Πρόκειται για αρκετά απαιτητική άσκηση.

Είχα δει κάτι παρεμφερές στο aops (x^3=2y^2+1, BMO Shortlist) και νόμισα ότι προέρχετο από BMO ,με συγχωρείτε.
από JimNt.
Τρί Ιαν 10, 2017 9:12 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Χειμωνιάτικη !
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 329

Re: Χειμωνιάτικη !

Και αφού ο χιονιάς καλά κρατεί και τα σχολεία θα παραμείνουν και αύριο κλειστά με παίρνει να παραθέσω την σκέψη μου για το πρόβλημα αυτό. Αρχικά, παρατηρούμε ότι a^2+b^2|a(a^2+b^2)+b(a^2+b^2) άρα έπεται ότι αν a^2+b^2|a^3+b^3 τότε θα πρέπει a^2+b^2|ab(a+b) . Όμως, (ab,a^...
από JimNt.
Τρί Ιαν 10, 2017 8:41 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Διοφαντική!!
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 352

Re: Διοφαντική!!

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Να βρεθούν όλες οι μη αρνητικές ακέραιες λύσεις της εξίσωσης y^2=2x^4\pm 1


Διονύση νομίζω πως ειναι πολυ δύσκολη. Εσυ πώς την ελυσες;

Συμφωνώ. Νομίζω πάντως ότι υπάρχει ένας συσχετισμός με την Pell στον τρόπο λύσης της.
EDIT: Λανθασμένη πληροφορία
από JimNt.
Τρί Ιαν 10, 2017 8:11 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Διοφαντική!!
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 352

Re: Διοφαντική!!

Επαναφορά! Θα είχε ενδιαφέρον να δούμε πως λύνεται.
από JimNt.
Τρί Ιαν 10, 2017 6:37 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Υπόλοιπο !
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 160

Re: Υπόλοιπο !

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι 2017=32m +1, όπου m ακέραιος. Άρα 2017^2=64l+1 και 2017^4=128k+1, όπου k,l ακέραιοι. Υψώνοντας στην 48, παίρνουμε ότι 2017^{192} \equiv 1 \mod 128.

Ωραία! Εγώ φτιάχνοντας την άσκηση είχα υπόψη το θεώρημα Euler.
από JimNt.
Τρί Ιαν 10, 2017 1:32 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Πρωτοχρονιάτικο Μέγιστο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 281

Re: Πρωτοχρονιάτικο Μέγιστο

Επαναφορά!
από JimNt.
Τρί Ιαν 10, 2017 1:21 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Απλή και Ωραία!
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 211

Re: Απλή και Ωραία!

Καλημέρα σε όλους, Για να μην μείνει άλυτη ας παραθέσω την σκέψη μου. Αρχικά, παρατηρούμε ότι με στοιχειώδη παραγοντοποίηση μπορούμε να φέρουμε την εξίσωση στην μορφή (x+y)(xy-p)=5p Έτσι, αφού το δεύτερο μέλος είναι γινόμενο πρώτων διακρίνουμε τις περιπτώσεις: \bullet x+y=5 και xy-p...
από JimNt.
Τρί Ιαν 10, 2017 12:08 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Υπόλοιπο !
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 160

Υπόλοιπο !

Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του 2017^{192} με το 128.
από JimNt.
Δευ Ιαν 09, 2017 11:20 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Χειμωνιάτικη !
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 329

Χειμωνιάτικη !

Να βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων (a,b) , με (a,b)=1 , ώστε \frac{a^3+b^3}{a^2+b^2} \in \mathbff{Z^+}. (Άλλαξα την εκφώνηση για να είναι χαμηλότερης δυσκολίας).
Ας αφεθεί για μαθητές μέχρι τις 15/1
από JimNt.
Δευ Ιαν 09, 2017 4:26 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Απλή και Ωραία!
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 211

Απλή και Ωραία!

Να βρείτε όλες τις τριάδες (x,y,p), όπου x,y θετικοί ακέραιοι και p πρώτος που ικανοποιούν την x(y^2-p)+y(x^2-p)=5p

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση