Η αναζήτηση βρήκε 421 εγγραφές

από JimNt.
Δευ Απρ 24, 2017 9:04 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Απλή Από Ισπανία!
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 128

Απλή Από Ισπανία!

Δίνεται ο A = \dfrac{n^2-2}{n^2-n+2} με n \in \{1,2,..., 2017\}. Να βρείτε το πλήθος διαφορετικών τιμών που μπορεί να λάβει ο A. Για μαθητές.
από JimNt.
Κυρ Απρ 23, 2017 10:06 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς-Διαγώνισμα 5
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 232

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς-Διαγώνισμα 5

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:
Πρόβλημα 2: Να αποδείξετε ότι: \displaystyle{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+ . . . +\frac{1}{100^2} < \frac{199}{100}}


Με επαγωγή στο n μπορεί να δειχθεί ότι \dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+....+\dfrac{1}{n^2} < \dfrac{2n-1}{n}, για n>1.
από JimNt.
Σάβ Απρ 22, 2017 9:07 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ανισότητα από MR
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 140

Re: Ανισότητα από MR

Αν a,b,c μη αρνητικοί πραγματικοί νδο: \displaystyle {\sum \sqrt{2a^2+3b^2+4c^2} \geq (\sum \sqrt {a})^2} ΥΓ. Εχω μια ωραία, πιστεύω, λύση. Αν δεν δοθεί θα την γράψω. Από την ανισότητα των δυνάμεων για κάθε ρίζα ξεχωριστά έχουμε LHS \ge \dfrac{9(a+b+c)}{3}=3(a+b+c) . Αρκεί ν...
από JimNt.
Σάβ Απρ 22, 2017 4:47 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: 2 σε 1!
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 196

2 σε 1!

Αν a,b,c \in \mathbb{R^{+}} να δείξετε ότι: A. \dfrac{a(a+b+c)^2}{(a+2b)^2(a+2c)^2}+\dfrac{b(a+b+c)^2}{(b+2a)^2(b+2c)^2}+\dfrac{c(a+b+c)^2}{(c+2b)^2(c+2a)^2} \ge \dfrac{1}{a+b+c} . Πότε ισχύει η ισότητα; B. \dfrac{a}{(a+2b&#...
από JimNt.
Σάβ Απρ 22, 2017 3:42 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Re: Turkey 2016
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 181

Re: Turkey 2016

Δεν είναι δύσκολη
από JimNt.
Σάβ Απρ 22, 2017 11:28 am
Δ. Συζήτηση: ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
Θέμα: Ασκήσεις στην Ανισότητα Cauchy - B' Ομάδα
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 148

Re: Ασκήσεις στην Ανισότητα Cauchy - B' Ομάδα

2) Αν x_1, x_2, ..., x_{\nu} >0 και \kappa_1, \kappa_2, ..., \kappa_{\nu} \in N , να δειχθεί ότι: (\frac{\kappa_1x_1+\kappa_2x_2+...+\kappa_{\nu}x_{\nu}}{\kappa_1+\kappa_2+...+\kappa_{\nu}})^{\kappa_1+\kappa_2+\kappa_{\nu}} \geq x_1^{\kappa_1}x_2^{\kappa_2}...x_{\nu}^{\kappa_{\nu}} Άμεση απ...
από JimNt.
Πέμ Απρ 20, 2017 3:37 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Μια Απλή!
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 162

Μια Απλή!

Να βρείτε όλα τα πολυώνυμα P(x) με πραγματικούς συντελεστές που είναι τέτοια ώστε P(x+P(y))^2-P(x-P(y))^2=4P(x)P(y) για oποιουσδήποτε πραγματικούς x,y. Για μαθητές.
από JimNt.
Τετ Απρ 19, 2017 3:55 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Πολλαπλάσιο του 2016
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 138

Re: Πολλαπλάσιο του 2016

Μπορούμε ισοδύναμα να δείξουμε ότι θα υπάρχουν a,b,c,d τέτοιοι ώστε a+b=c+d
από JimNt.
Τρί Απρ 18, 2017 4:03 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Από Αναδρομική σε Αναδρομική!
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 473

Re: Από Αναδρομική σε Αναδρομική!

Δεν είχα το παραπάνω υπόψη μου... Λύνεται με πολύ πιο στοιχειώδη μέσα...
από JimNt.
Τρί Απρ 18, 2017 2:21 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Από Αναδρομική σε Αναδρομική!
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 473

Από Αναδρομική σε Αναδρομική!

Παίρνουμε n σημεία πάνω σε έναν κύκλο, τα οποία ενώνουμε ανα 2 με ένα ευθύγραμμο τμήμα. (Έχουμε συνολικά \binom{n}{2} τέτοια τμήματα). Αν δίνεται ότι τα τμήματα αυτά ανα τρία δεν συντρέχουν στο εσωτερικό του κύκλου, να βρείτε το πλήθος των περιοχών στις οποίες χωρίζεται ο κύκλος από τα τμήματα αυτά....
από JimNt.
Κυρ Απρ 16, 2017 10:00 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 2
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 36

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς

Διαγώνισμα 2 Πρόβλημα 1 Να λυθεί στους πρώτους αριθμούς η εξίσωση: 2^{p+4}+q^2=r^3 Διακρίνουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις: p=3 Συνεπώς, πρέπει 2^7+q^2=r^3 . Αν q \neq 3 , 3|r \Leftrightarrow r=3 . Επομένως, 2^7+q^2=27 ,άτοπο. Συνεπώς, q=3 . Παίρνοντας \mod 9 , έχουμε r^3 \equiv(2^{3})^2\cdot...
από JimNt.
Πέμ Απρ 13, 2017 8:40 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ωραία!
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 211

Re: Ωραία!

:coolspeak: Πολύ ωραίες λύσεις.
από JimNt.
Τετ Απρ 12, 2017 10:43 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ωραία!
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 211

Ωραία!

Αν a,b,c \in \mathbb{R^{+}} να αποδείξετε ότι \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{3\sqrt[3]{abc}}{a+b+c}\ge  4
από JimNt.
Τρί Απρ 11, 2017 6:23 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ 2017
Απαντήσεις: 39
Προβολές: 3730

Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ 2017

Βγήκαν τα αποτελέσματα. Συγχαρητήρια σε όλους!
από JimNt.
Τρί Απρ 11, 2017 1:40 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Απλή και Ωραία!
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 613

Re: Απλή και Ωραία!

:coolspeak: Η άσκηση είναι από APMO
από JimNt.
Τρί Απρ 11, 2017 11:33 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Απλή και Ωραία!
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 613

Re: Απλή και Ωραία!

Επαναφορά , είναι απλή.
από JimNt.
Δευ Απρ 10, 2017 12:56 am
Δ. Συζήτηση: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου
Απαντήσεις: 164
Προβολές: 16798

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Απλά αν n>1, 2|RHS, άτοπο...
από JimNt.
Κυρ Απρ 09, 2017 11:47 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Απλή και Ωραία!
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 613

Απλή και Ωραία!

Να βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων (a,b) ώστε οι A=\dfrac{a^2+b}{b^2-a} και B=\dfrac{b^2+a}{a^2-b} να είναι συγχρόνως ακέραιοι. Για μαθητές.

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση