Η αναζήτηση βρήκε 298 εγγραφές

από JimNt.
Δευ Φεβ 20, 2017 7:28 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2016-2017
Απαντήσεις: 122
Προβολές: 4391

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Άσκηση 11 Juniors Θεωρούμε τις εξισώσεις: (1) : ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 (2) : ex^4+ax^3+bx^2+cx+d=0 Με μεταβλητή το x και a,b,c,d,e μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί. Αν οι εξισώσεις (1),(2) έχουν τουλάχιστον μία κοινή πραγματική λύση να αποδείξετε ότι a+b+c+d+e=0 Θέτου...
από JimNt.
Κυρ Φεβ 19, 2017 7:14 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: Εύρεση παράστασης
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 324

Re: Εύρεση παράστασης

Να υπολογισθεί η παράσταση \displaystyle{\dfrac{p^{10}-q^{10}}{p^{8}-q^{8}}} \frac{p^{10}-q^{10}}{p^8-q^8}=\frac{(p^2-q^2)(p^8+p^6q^2+p^4q^4+p^2q^6+q^8)}{(p^4+q^4)(p^2+q^2)(p^2-q^2)}=\frac{(p^8+p^6q^2+p^4q^4+p^2q^6+q^8)}{(p^4+q^4)(p^2+q^2&...
από JimNt.
Κυρ Φεβ 19, 2017 7:07 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: Εύρεση παράστασης
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 324

Re: Εύρεση παράστασης

Να υπολογισθεί η παράσταση \displaystyle{\dfrac{p^{10}-q^{10}}{p^{8}-q^{8}}} \frac{p^{10}-q^{10}}{p^8-q^8}=\frac{(p^2-q^2)(p^8+p^6q^2+p^4q^4+p^2q^6+q^8)}{(p^4+q^4)(p^2+q^2)(p^2-q^2)}=\frac{(p^8+p^6q^2+p^4q^4+p^2q^6+q^8)}{(p^4+q^4)(p^2+q^2&...
από JimNt.
Κυρ Φεβ 19, 2017 6:45 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: Εύρεση παράστασης
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 324

Re: Εύρεση παράστασης

.... Ολα μπορούμε να τα εκφράσουμε συναρτησει του γινομενου και του αθροισματος εκτος απο το p-q που όμως απλοποιείται. Αν δεν εχω κανει κάποιο λαθος ειναι 19/4 Okay, αλλά, πως θα μπορούσε να εφαρμοσθεί η παραπάνω μέθοδος στην πράξη, δηλαδή κάνοντας όλους τους υπολογισμούς, ας πούμε για την εύρεση ...
από JimNt.
Κυρ Φεβ 19, 2017 12:10 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2016-2017
Απαντήσεις: 122
Προβολές: 4391

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Άσκηση 29 Juniors Να βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους n ώστε 3^{n-1}+5^{n-1} | 3^n+5^n 3^{n-1}+5^{n-1} | 3^n+5^n \Rightarrow 3^{n-1}+5^{n-1} | 3^n+5^n -3(3^{n-1}+5^{n-1})=2*5^{n-1} Όμως 3^{n-1}+5^{n-1}\le2*5^{n-1}<2(3^{n-1}+5^{n-1}) . Άρα θα πρέπει 3^{n-1}+5^{n-1}=2*5^{n-1}\Righ...
από JimNt.
Σάβ Φεβ 18, 2017 10:40 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2016-2017
Απαντήσεις: 122
Προβολές: 4391

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Άσκηση 29 Juniors
Να βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους n ώστε 3^{n-1}+5^{n-1} | 3^n+5^n
από JimNt.
Πέμ Φεβ 16, 2017 10:02 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2016-2017
Απαντήσεις: 122
Προβολές: 4391

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

knm2608 έγραψε:Πάντως με C-S υπάρχει πολύ ωραία λύση και κυρίως αποφεύγεις τις πολλές και βαρετές πράξεις.

Μπορείς να την βάλεις αν θες.
από JimNt.
Τετ Φεβ 15, 2017 7:55 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2016-2017
Απαντήσεις: 122
Προβολές: 4391

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Άσκηση 24 Seniors Αν a,b,c θετικοί πραγματικοί τέτοιοι ώστε ο παρονομαστής κάθε κλάσματος να είναι θετικός, να δειχθεί ότι: \displaystyle{\sum_{cyc.}{\frac{a^2}{{(a+b)}^2-a^3+ab\left(a+b+8\right)-b^3}\ge \frac{1}{4}}} LHS\ge \sum{\frac{a^2}{(a+b)^2+8ab}\ge \frac{(a+b+c&#...
από JimNt.
Δευ Φεβ 13, 2017 9:27 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2016-2017
Απαντήσεις: 122
Προβολές: 4391

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Πολύ ωραία. Μπορεί να λυθεί με χρήση της (a+b)^2\ge4ab (που έδειξες) και ταυτόχρονη εφαρμογή B-C-S
από JimNt.
Δευ Φεβ 13, 2017 9:09 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2016-2017
Απαντήσεις: 122
Προβολές: 4391

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Άσκηση 21 Juniors
Αν για τους θετικούς πραγματικούς a,b,c ισχύει a+b+c=1. Να βρείτε την μέγιστη τιμή της A=\sqrt{\frac{ab}{a+b}}+\sqrt{\frac{bc}{b+c}}+\sqrt{\frac{ac}{a+c}}
από JimNt.
Κυρ Φεβ 12, 2017 6:18 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: 2 σε 1!
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 239

Re: 2 σε 1!

Η συγκεκριμένη άσκηση (το β ερώτημα είναι σχετικά δύσκολο για Juniors). Ας το αφήσουμε .... Με συγχωρείτε για την ανάρμοστη τοποθέτηση... Για την ιστορία λύνεται με χρήση του θεωρήματος Skolem που όμως συναντάται πολύ σπάνια σε ασκήσεις και δεν αξίζει αναφορά σε αυτό.
από JimNt.
Κυρ Φεβ 12, 2017 5:56 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: 2 σε 1!
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 239

Re: 2 σε 1!

Αν n το πλήθος των αναγραμματισμών της (λέξης) PLUSBUS έτσι ώστε σε κάθε αναγραμματισμό να μην υπάρχουν δύο διαδοχικά ιδια γράμματα ίδια να λύσετε στους ακεραίους την εξίσωση 2x^{n}+y^9=1 . Να φανταστώ αυτο εννοείς; Συγγνώμη αν κανω λαθος. Λογικά μάλλον αυτό εννοεί. Ναι αυτό εννοώ. Συγνώμη που δεν ...
από JimNt.
Κυρ Φεβ 12, 2017 2:05 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: 2 σε 1!
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 239

2 σε 1!

Αν n το πλήθος των αναγραμματισμών της (λέξης) PLUSBUS έτσι ώστε σε κάθε αναγραμματισμό να μην υπάρχουν δύο διαδοχικά γράμματα να βρείτε το άθροισμα των τετραγώνων των ψηφίων του n. Edit: Αλλαγή Εκφώνησης
από JimNt.
Κυρ Φεβ 12, 2017 1:14 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Τέλειο Τετράγωνο
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 170

Re: Τέλειο Τετράγωνο

Είναι και η (1,1,2)
από JimNt.
Σάβ Φεβ 11, 2017 9:17 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2016-2017
Απαντήσεις: 122
Προβολές: 4391

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Άσκηση 8 Juniors Να λυθεί στους θετικούς ακεραίους η εξίσωση: 2a^2+ab+3a=b^2+12 Η εξίσωση γράφεται , b^2-ab-(2a^2+3a-12)=0 Αφου είναι θετικός ακέραιος, \Delta=a^2+4(2a^2+3a-12)=(3a+2)^2-52=k^2 . \Rightarrow (3a+k+2)(3a-k+2)=13\cdot 2^2 Εχούμε ότι (3a+k+2&...
από JimNt.
Σάβ Φεβ 11, 2017 6:05 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2016-2017
Απαντήσεις: 122
Προβολές: 4391

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Άσκηση 19 Juniors
A. Αν για τους θετικούς πραγματικούς x,y,z ισχύει xyz=x+y+z+2, να προσδιορίσετε τον n: x^2+y^2+z^2\ge n
B. Να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές του k : m^2+2k \cdot m+n=0, έτσι ώστε να ισχύει η σχέση: (\frac{m_1}{m_2})^2+(\frac{m_2}{m_1})^2 \ge 4.
από JimNt.
Παρ Φεβ 10, 2017 4:13 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Απλή;
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 173

Re: Απλή;

:coolspeak:
από JimNt.
Παρ Φεβ 10, 2017 3:37 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Τέλειο τετράγωνο
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 196

Re: Τέλειο τετράγωνο

dement έγραψε:Πολύ ωραία. Να προσθέσω μόνο ότι υπάρχει και η περίπτωση της σταθερής ακολουθίας με τιμή 1, που φυσικά είναι τέλειο τετράγωνο.

Ναι, απλά υπέθεσα ότι a_1>1
από JimNt.
Παρ Φεβ 10, 2017 3:04 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Τέλειο τετράγωνο
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 196

Re: Τέλειο τετράγωνο

Από μαθητικό διαγωνισμό υπό την αιγίδα (και) της SNS. Έστω (a_n), n = 1, 2, ... ακολουθία θετικών ακεραίων τέτοια ώστε ο a_{n+1} είναι το πλήθος των θετικών διαιρετών του a_n . Έστω επίσης a_2 \neq 2 . Να αποδειχθεί ότι, για κάποιο k , ο a_k είναι τέλειο τετράγωνο. Για έναν θετικό ακέραιο f...
από JimNt.
Πέμ Φεβ 09, 2017 8:58 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2016-2017
Απαντήσεις: 122
Προβολές: 4391

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Άσκηση 18 Juniors
Δίνεται μια σκακιέρα \displaystyle{10 \cdot 10} , στην οποία τοποθετούμε 41 πύργους. Να δείξετε ότι θα υπάρχουν 5 πύργοι που δεν θα απειλούνται μεταξύ τους (ανά δύο).

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση