Η αναζήτηση βρήκε 477 εγγραφές

από JimNt.
Παρ Ιούλ 14, 2017 10:45 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Ακέραιες λύσεις
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 86

Re: Ακέραιες λύσεις

M.S.Vovos έγραψε:Να βρείτε όλες τις ακέραιες τριάδες (x,y,z) που ικανοποιούν την παρακάτω εξίσωση:

\displaystyle{x^{4}+y^{4}+2x^{2}y^{2}+4z^{2}=4x^{2}z+4y^{2}z}
Δεν έχω λύση.

Φιλικά,
Μάριος

Γράφεται (x^2+y^2)^2+4z^2-4z(x^2+y^2)=0 \Leftrightarrow (x^2+y^2-2z)^2=0
από JimNt.
Τετ Ιουν 21, 2017 7:24 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: ΑΛΓΕΒΡΑ (ΑΣΚΗΣΗ)
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 283

Re: ΑΛΓΕΒΡΑ (ΑΣΚΗΣΗ)

Δεν νομίζω ότι θα βοηθήσει η εξήγηση. Αυτό το κομμάτι των ανισοτήτων είναι τελείως διαφορετικό από ότι πρεσβεύει η σχολική ύλη και από ό,τι έχω καταλάβει δεν είσαι πολύ εξοικειωμένος με αυτό. Προτείνω να ξεκινήσεις από τις πιο απλές.
από JimNt.
Τετ Ιουν 21, 2017 7:01 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: ΑΛΓΕΒΡΑ (ΑΣΚΗΣΗ)
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 283

Re: ΑΛΓΕΒΡΑ (ΑΣΚΗΣΗ)

Η λύση παραμένει η ίδια.
από JimNt.
Τετ Ιουν 21, 2017 6:39 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: ΑΛΓΕΒΡΑ (ΑΣΚΗΣΗ)
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 283

Re: ΑΛΓΕΒΡΑ (ΑΣΚΗΣΗ)

Η συγκεκριμένη δεν είναι ανίσωση. Επιπλέον, ο φάκελος δεν είναι ο κατάληλλος. LHS \ge \dfrac{(x+y+z)^3}{6(x+y+z)}=\dfrac{(x+y+z)^2}{6}  \ge \dfrac{3(xy+yz+xz)}{6} =\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}
από JimNt.
Τετ Ιουν 21, 2017 6:05 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Εύκολη απόδειξη
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 316

Re: Εύκολη απόδειξη

Νομίζω πρέπει να δοθεί ότι a \neq b \neq c \neq a ώστε η παράσταση να ορίζεται.
από JimNt.
Τετ Ιουν 21, 2017 5:15 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Εισαγωγή στα πρότυπα λύκεια 2017
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 2123

Re: Εισαγωγή στα πρότυπα λύκεια 2017

Πολύ ωραία θέματα. Ωστόσο μπορούν να λυθούν εύκολα από κάποιον με μια σχετική εξοικείωση.
από JimNt.
Κυρ Ιουν 18, 2017 5:44 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Σημεία στην περιφέρεια κύκλου
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 186

Re: Σημεία στην περιφέρεια κύκλου

Στην περιφέρεια ενός κύκλου υπάρχουν εξήντα σημεία, τριάντα από τα οποία είναι χρωματισμένα κόκκινα, είκοσι μπλε και δέκα πράσινα. Τα σημεία αυτά διαιρούν τον κύκλο σε εξήντα τόξα. Σε καθένα από αυτά τα τόξα γράφουμε έναν αριθμό, σύμφωνα με τους κανόνες: Αν το τόξο συνδέει ένα κόκκινο και ένα πράσι...
από JimNt.
Κυρ Ιουν 18, 2017 11:22 am
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Σχετικά Πρώτοι
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 302

Re: Σχετικά Πρώτοι

Χωρίζουμε τους αριθμούς στις εξής κατηγορίες: - Οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 - Οι αριθμοί που διαιρούνται με το 3 , αλλά όχι με το 2 - Οι αριθμοί που διαιρούνται με το 5 , αλλά όχι με το 3 και το 2 . . . - Οι αριθμοί που διαιρούνται με το 1987 , αλλά με κανέναν από τους προηγούμενους πρώτους....
από JimNt.
Σάβ Ιουν 17, 2017 10:04 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Σχετικά Πρώτοι
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 302

Σχετικά Πρώτοι

Δίνεται το σύνολο A=\{1,2,..,1987\}. Να δείξετε ότι σε οποιοδήποτε υποσύνολο του A έστω B με |B|=1325 μπορούμε να βρούμε a,b,c τέτοια ώστε (a,b)=(b,c)=(c,a)=1. Ισχύει το ίδιο και για 1324; Για μαθητές.
από JimNt.
Πέμ Ιουν 15, 2017 2:24 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ανισότητα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 170

Re: Ανισότητα

Αν x,y,z και a,b,c θετικοί πραγματικοί αριθμοί με a+b+c=1, να δείξετε ότι \displaystyle \left(x^2+y^2+z^2\right) \left( \frac{a^3}{x^2+2y^2} + \frac{b^3}{y^2+2z^2} + \frac{c^3}{z^2+2x^2} \right) \ge \frac19 Χρησιμοποιήστε όσο το δυνατόν απλούστερα εργαλεία. LHS \ge (\sum{x^2}...
από JimNt.
Τρί Ιουν 13, 2017 12:11 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Δύσκολο πρόβλημα!!
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 505

Re: Δύσκολο πρόβλημα!!

Oυσιαστικά όταν n^2+1=2p
από JimNt.
Τρί Ιουν 06, 2017 10:47 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Επαναστασιακή
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 467

Re: Επαναστασιακή

Ας βρούμε και τα τρία τελευταία ψηφία του αριθμού. 7^{1821} . Από Euler 7^{1821} \equiv 7^{221} \mod 1000 . Είναι 7^{13} \equiv 407 \mod 1000 . Συνεπώς, (7^{13})^{17} \equiv 407^{17} \mod 1000 . Παίρνουμε 407^2\cdot \cdot \cdot 407^2 (8 φορές) \cdot 407 . Όμως τα τρία τελευταία ψηφία των 40...
από JimNt.
Παρ Ιουν 02, 2017 6:32 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Προετοιμασία θεωρία αριθμών (για JBMO)
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 489

Re: Προετοιμασία θεωρία αριθμών (για JBMO)

Datis-Kalali έγραψε:Προβλήμα 2
Να βρείτε όλες τις ακέραιες λύσεις (x,y,z) της εξίσωσης
\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{2}+(x+y+z)^3=1-xyz

Παραγοντοποιείται (x+y+2z)(x+2y+z)(2x+y+z)=2...
από JimNt.
Παρ Ιουν 02, 2017 5:23 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Προετοιμασία θεωρία αριθμών (για JBMO)
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 489

Re: Προετοιμασία θεωρία αριθμών (για JBMO)

Προβλήμα 1 Να βρείτε όλες τις ακέραιες λύσεις (x,y,z) της εξίσωσης (x^2-15)^{2016}+y^{2016}=2017^z Το 15 δεν είναι τετραγωνικό υπόλοιπο \mod 2017 . Συνεπώς, αν z>0 2017^z \equiv 2 \mod 2017 , άτοπο. Επομένως, z=0 \Rightarrow (x^2-15)^{2016}+y^{2016} =1 \Righarrow (x,y...
από JimNt.
Τετ Μάιος 31, 2017 4:34 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ανισότητα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 207

Re: Ανισότητα

Αν a, b, c θετικοί πραγματικοί, να αποδειχτεί ότι: a^3+b^3+c^3-abc\geq \dfrac{2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}{a+b+c} LHS \ge \dfrac{2(a^3+b^3+c^3)}{3} Αρκεί \dfrac{2(a^3+b^3+c^3)}{3}\ge \dfrac{2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}{a+b+c} \Leftrightarrow (a^3+b^3+c^3)(a+b+c&#...
από JimNt.
Σάβ Μάιος 27, 2017 11:28 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ωραία Διοφαντική
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 324

Re: Ωραία Διοφαντική

thrassos έγραψε:Καλησπέρα,
Θεωρώ λιγάκι υπερβολή την χρήση του Zsigmondy όταν μπορείς απλά να παρατηρήσεις ότι (3^k+y,3^k-y)=1 και άρα
3^k+y=5^x και 3^k-y=1.

Αν παρατηρήσεις ο min## χρησιμοποίησε το Zsigmondy's στο επόμενο μέρος της λύσης του.
από JimNt.
Σάβ Μάιος 27, 2017 7:08 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ωραία Διοφαντική
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 324

Ωραία Διοφαντική

Να προσδιορίσετε όλες τις τριάδες φυσικών (x,y,z) που ικανοποιούν την 5^x+y^2=3^z. Ας αφεθεί για τους μικρότερους (σε εμπειρία) μαθητές.
από JimNt.
Πέμ Μάιος 25, 2017 9:23 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 12
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 359

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 12

Aκριβώς το αντίθετο μπορεί να γίνει και αν b<0 .
από JimNt.
Πέμ Μάιος 25, 2017 9:11 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Προετοιμασία για JBMO 2017- Άλγεβρα και θεωρία αρίθμων
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 798

Re: Προετοιμασία για JBMO 2017- Άλγεβρα και θεωρία αρίθμων

Φιλικά... Καμία άσκηση Θ.Αριθμών δεν λύνεται με πράξεις... (Τι ακριβώς προσπάθησες; )
από JimNt.
Πέμ Μάιος 25, 2017 9:06 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Προετοιμασία για JBMO 2017- Άλγεβρα και θεωρία αρίθμων
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 798

Re: Προετοιμασία για JBMO 2017- Άλγεβρα και θεωρία αρίθμων

Tην δεύτερη την έχω ξανασυναντήσει. Έπειτα από την εκτέλεση των πράξεων προκύπτει κάτι αληθές.

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση