Πρόβλημα . Δίδεται ἡ ἀναδρομικὴ ἀκολουθία $\displaystyle{ a_1=a>0, \quad a_{n+1}=\frac{a_n}{1+na_n^2}, \quad n\in\mathbb N. }$ Δείξατε ὅτι $\,\lim_{n\to\infty} n\,a_n=1$. Θέτουμε $b_n=1/a_n$, οπότε έχουμε ότι $b_1=b=1/a>0$ και $b_{n+1}=\dfrac{b_n^2+n}{b_n}$. Παρατηρούμε ότι $b_2=\dfrac{b_1^2+1}{b_1...

Το παρακάτω θέμα αποτέλεσε (αλλαγμένο) το τελευταίο εξέτασης Απ. Λογισμού Ι στο Τμήμα Μαθηματικών του ΕΚΠΑ. Το βρήκα ενδιαφέρον. Έστω $I \subseteq \mathbb{R}$ μη τετριμμένο διάστημα, $f,g : I \rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμες συναρτήσεις με $g'(x) \neq 0$ για κάθε $x \in I$ και το σύνολο $A=\{\d...

Βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\,\,$, όπου $f\left( xf(y) \right)+f\left( \left( {{y}^{2023}} \right)f(x) \right)=xy+x{{y}^{2023}}$, για $\forall \,x,y\in \mathbb{R}$ Καλησπέρα συνονόματε :) Με $x=y=1$ στην αρχική είναι $f(f(1))=1$ και με $x=f(1),y=1$ είναι $f(f(1)^2)=f(1)$....

Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ οι οποίες είναι τέτοιες, ώστε $f(x)f(yf(x)-1)=x^2f(y)-f(x)$ Καλησπέρα σε όλους. Ευχαριστώ τον κ. Δημήτρη για την λύση. Η πηγή της άσκησης είναι από το Topics in Functional Equations των Andreescu, Boreico, Mushkarov και Nikolov (...

Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις οι οποίες είναι τέτοιες, ώστε

Να προσδιορίσετε τον αριθμό των λύσεων της εξίσωσης στο διάστημα .

Σημείωση: Η άσκηση είναι εμπνευσμένη από ένα ερώτημα του Θέματος 14 Δ στη σελίδα 55 του εξαιρετικού βιβλίου "Μαθηματικά Γ' Λυκείου - Η επανάληψη στην ύλη 2021" της Ντίνας Ψαθά.

Τεμνόμενοι κύκλοι και κάθετα τμήματα.png Δύο κύκλοι $(W),\,\,(J)\,\,$ τέμνονται στα $A,\,\,B$. Μια αυθαίρετη ευθεία διερχόμενη από το $A\,\,$ τέμνει τον $(W)\,\,$ στο $C\,\,$ και τον $(J)\,\,$ στο $D$. Αν $M\,\,$ είναι το μέσο του τόξου $BC\,\,$ που δεν περιέχει το $A$ και $N\,\,$ το μέσο του τόξου...

Έστω $f(x)={{e}^{x}}\ln (1+x)$. Αποδείξτε ότι, για τυχόντες θετικούς πραγματικούς αριθμούς $s,\,\,t\,\,$ , ισχύει η ανισότητα $f(s+t)>f(s)+f(t)$. Για $x>0$, είναι $f''(x)=\dfrac{e^x(2x+1+\ln(1+x)(1+x)^2)}{(1+x)^2},$ συνεπώς η συνάρτηση $f$ είναι κυρτή στο $(0,+\infty)$. Σταθεροποιούμε το $t$, και έ...

Θεωρούμε θετικό ακέραιο $n$. Να βρεθούν όλα τα υποσύνολα των θετικών ακεραίων $\mathbb{S}$ με την εξής ιδιότητα: Κάθε θετικός ακέραιος $m$ μπορεί να γραφεί κατά μοναδικό τρόπο ως άθροισμα της μορφής $\displaystyle m=\sum_{x\in \mathbb{S}} x\cdot c_x$ με τα $0\leq c_x<n$ να είναι ακέραιοι. Απάντηση:...

Έστω η συνάρτηση , με . Να υπολογίσετε το όριο



αν αυτό υπάρχει.

Να υπολογίσετε το όριο



αν αυτό υπάρχει.

Σε συνέχεια αυτής της άσκησης ... θέτω τη παρακάτω. Δίδεται συνάρτηση $f$ συνεχής στο $[\alpha, \beta]$ και παραγωγίσιμη στο $(\alpha, \beta)$ με $f(\alpha) \neq f(\beta)$. Να δειχθεί ότι υπάρχουν $\xi_1, \xi_2$ διαφορετικά μεταξύ τους τέτοια ώστε $\displaystyle{f'(\xi_1) f'(\xi_2) = \left ( \frac{...

Μία συνάρτηση $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R $ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και υπάρχει $\xi$ τέτοιο ώστε για κάθε $a, \, b \in \mathbb R $ με $a\ne b$ ισχύει $\dfrac {f(b)-f(a)}{b-a} \ne f'(\xi) $ α) Βρείτε παράδειγμα τέτοιας συνάρτησης. β) Δείξτε ότι $f''(\xi ) =0$. α) Η $f(x)=x^3$. Για $\xi=...

Έστω $a_0 \in \mathbb{R}$ και η γνησίως αύξουσα ακολουθία $(a_n)$ τέτοια, ώστε $a_{n+1}=\sqrt{\dfrac{a_n+1}{2}}$ για κάθε $n \geq 0$. Για τις διάφορες τιμές του $k \in \mathbb{R}_{\geq 0}$ να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} k^n(1-a_n)$. (Η άσκηση είναι παραλλαγή της ά...

Έστω μια συνεχής συνάρτηση και ένας θετικός αριθμός. Να δείξετε ότι υπάρχει τέτοιο, ώστε



για κάθε .

Να λύσετε στο $\mathbb{R}$ το σύστημα: $\displaystyle \left\{ \begin{gathered} {x^2} = {y^3} - 3{y^2} + 2y \hfill \\ {y^2} = {x^3} - 3{x^2} + 2x \hfill \\ \end{gathered} \right.$ Έχουμε τον ακόλουθο Ισχυρισμό. Ισχυρισμός: $x=y$. Απόδειξη: Έστω ότι $x \neq y$. Τότε, είναι $(y^3-3y^2+2y)-(x^3-3x^2+2x...

Πρόβλημα 1. Να βρείτε όλα τα ζεύγη $(a,b)$ θετικών ακέραιων αριθμών τέτοια ώστε οι αριθμοί $a!+b$ και $b!+a$ να είναι και οι δύο δυνάμεις του $5$. Χωρίς βλάβη της γενικότητας έστω $a \geq b$. Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις. Περίπτωση 1: $a=b$. Τότε, $a!+a=5^k$ με $k \geq 1$. Αν $k=1$ τότε προφανώς η $...

Πρόβλημα 4. Έστω $ABC$ ένα οξυγώνιο τρίγωνο με περίκεντρο $O$. Έστω $D$ το ίχνος του ύψους από το $A$ στη $BC$ και έστω $Μ$ το μέσο του $OD$. Tα σημεία $O_b$ και $O_c$ είναι τα περίκεντρα των τριγώνων $AOC$ και $AOB$, αντίστοιχα. Αν $AO=AD$, να αποδείξετε ότι τα σημεία $A$, $O_b$, $M$ και $O_c$ είν...

Δηλαδή εμείς που προβληματιστήκαμε γεωμετρικά, είμαστε βλάκες. Καλησπέρα. Δεν θέλω να κάνω τον συνήγορο του Διαβόλου ούτε με έχει βάλει κανείς να υποστηρίζω άλλους αλλά, με αφορμή το πιο πάνω μήνυμα του κ. Φάνη, θα ήθελα να πω ότι ο τρόπος με τον οποίο φέρονται αρκετά από τα υπόλοιπα μέλη του forum...

Αρχικά να πούμε ότι η ομάδα μας αποτελείται από τους εξής μαθητές: Καραγεωργίου Λάζαρος Τσουρέκας Μιχαήλ Ζάχου Ιωάννα Μπερκουτάκης Νεκτάριος Ραφαήλ Κρατσά Λυδία Μπερούκας Κωνσταντίνος. Αρχηγός της αποστολής είναι ο Αχιλλέας Συνεφακόπουλος και υπαρχηγός ο φέρελπις νέος ( :mrgreen: ) Ιάσονας Προδρομίδ...