Η αναζήτηση βρήκε 806 εγγραφές
Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση
- Τετ Σεπ 30, 2020 11:44 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΙΜΟ 2020
- Απαντήσεις: 20
- Προβολές: 3911
Re: ΙΜΟ 2020
Όλη η ομάδα ευχαριστούμε για τα καλά σας λόγια! Ήταν πράγματι ένας δύσκολος διαγωνισμός, τόσο λόγω των συνθηκών της πανδημίας, όσο και των θεμάτων που έπεσαν τα οποία ήταν αρκετά έξω από τα νερά μας με πολλά combinatorics! Εγώ προσωπικά θέλω να ευχαριστήσω τα μέλη του mathematica και για την ενθάρρυ...
- Πέμ Αύγ 06, 2020 3:42 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: Κυκλικές Αναζητήσεις
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 769
Re: Κυκλικές Αναζητήσεις
Για τα α) και β) αρκεί να δείξουμε πως ο $(f_O(l))$ είναι ορθογώνιος στον $(ABC)$... Θα χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο "Deleting Evil Points". Έστω πως η ευθεία $l$ τέμνει τις $BC, CA, AB$ στα $D, E, F$ αντίστοιχα. Έστω πως οι συμμετρικές της $l$ ως προς τις $AB$ και $AC$ τέμνονται στο $K$, ενώ ομοίως ...
- Τετ Ιούλ 29, 2020 2:17 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: ΚιΝούΜενΑ ΣημΕίΑ
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 977
Re: ΚιΝούΜενΑ ΣημΕίΑ
Πρακτικά θα επιλέξουμε στην $f$ τρία σημεία $M_0, M_1, M_2$, όπου $M_0$ ας υποθέσουμε πως είναι η αρχική θέση του κινούμενου σημείου $M$ και τα άλλα δύο είναι δύο τυχαίες θέσεις. Ομοίως επιλέγουμε στην $g$ τρία σημεία $N_0, N_1, N _2$. Προφανώς από την ταχύτητα θα ισχύει πως $M_0M_1=N_0N_1$ και $M_0...
- Πέμ Ιούλ 02, 2020 2:58 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: Ανισότητα!
- Απαντήσεις: 6
- Προβολές: 2126
Re: Ανισότητα!
Κάτι δεν πάει καλά με αυτό το πρόβλημα... Καταρχάς ακόμη και η λύση στο site των Mathematical Reflections έχει λάθος! Σε μια προσπάθεια να γίνει διάσπαση, η προτεινόμενη λύση ισχυρίζεται ότι ισχύει η ανισότητα: $\dfrac{a(a^3+b^3)}{a^2+b^2+ab}\geq \dfrac{a^2}{2}+\dfrac{b^2}{6}$, η οποία καταλήγει στη...
- Παρ Απρ 24, 2020 10:47 pm
- Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
- Θέμα: Για Eσένα Που Θες Να Πάρεις Μετάλλιο
- Απαντήσεις: 56
- Προβολές: 13040
Re: Για Eσένα Που Θες Να Πάρεις Μετάλλιο
Έχει ξεκινήσει η διαβούλευση του νέου νομοσχεδίου του Υπουργείου Παιδείας και θα είναι ενεργή μέχρι τις 5 Μαΐου. Στο άρθρο 40 με τίτλο "Εγγραφή στην τριτοβάθμια εκπαίδευση μαθητών Λυκείων που διακρίθηκαν σε διεθνείς επιστημονικούς διαγωνισμούς" ουσιαστικά καταγράφονται αυτά που ισχύουν μέχρι σήμερα ...
- Κυρ Απρ 19, 2020 8:00 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: EGMO 2020
- Απαντήσεις: 15
- Προβολές: 2926
Re: EGMO 2020
Βασικά θα την κατεβάσω, νομίζω έχει ένα κενό σε κάποιο σημείο. Δεν είδατε τίποτα!
- Πέμ Απρ 16, 2020 10:47 pm
- Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
- Θέμα: Για Eσένα Που Θες Να Πάρεις Μετάλλιο
- Απαντήσεις: 56
- Προβολές: 13040
Re: Για Eσένα Που Θες Να Πάρεις Μετάλλιο
Πιστεύω ότι η συγκεκριμένη χρονική στιγμή είναι η κατάλληλη για να συμπληρώσω το προηγούμενο κείμενό μου, που είχα ανεβάσει σε αυτό το thread πέρυσι το καλοκαίρι, και που αναφερόταν σε έναν γνωστό μου, μαθητή της Γ’ Λυκείου φέτος, που ασχολείται με τα διαγωνιστικά μαθηματικά. Όπως είχα αναφέρει, είχ...
- Παρ Μαρ 27, 2020 4:12 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 16.
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 1409
Re: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 16.
Μια στα γρήγορα: Μεταφράζω το πρόβλημα στο εξής ισοδύναμο (νομίζω ότι "οπτικά" βολεύει): Έστω δύο τεμνόμενοι κύκλοι $C_1$ και $C_2$ (ας θεωρήσουμε ότι το κέντρο του ενός δεν βρίσκεται μέσα στον άλλο κύκλο). Το ευθύγραμμο τμήμα της διακέντρου τους τέμνει αντίστοιχα στα $C$ και $B$, ενώ τέμνει και την...
- Δευ Δεκ 30, 2019 2:58 am
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: Συναρτησιακή(!)
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 1152
Re: Συναρτησιακή(!)
Καταρχάς για $x_1, x_2>0$, αν $f(x_1)=f(x_2)$, είναι $x_1=x_2$, (θέτουμε όπου $x^2$ τα $x_1, x_2$ αντίστοιχα). Για $x_1>0$ και $x_2\leq 0$, αν $f(x_1)=f(x_2)$, τότε αφού είναι αύξουσα θα είναι και $f(x_1)=f(0)$, άτοπο (θέτουμε όπου $x=0$ και όπου $x^2$ το $x_1$) Οπότε αν $f(x_1)=f(x_2)$, με $x_1>0$,...
- Παρ Νοέμ 22, 2019 12:51 am
- Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
- Θέμα: Για Eσένα Που Θες Να Πάρεις Μετάλλιο
- Απαντήσεις: 56
- Προβολές: 13040
Re: Για Eσένα Που Θες Να Πάρεις Μετάλλιο
Καλησπέρα σας, είμαι γονιός ενός μαθητή που συμμετείχε φέτος στην JBMO (του Θάνου Παπαλέξη) . Mε αφορμή αυτή τη δημοσίευση στο mathematica και τους προβληματισμούς που τέθηκαν από κάποιους μαθητές, γονείς και καθηγητές αλλά και τις δικές μου ανησυχίες, θέλω να σας αναφέρω κάτι. Στις 3-9-2019 έγινε ...
- Σάβ Νοέμ 09, 2019 3:09 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2019-2020
- Απαντήσεις: 53
- Προβολές: 12922
Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020
Γ Λυκείου 4 Θεωρώντας τους $2^1,2^2,..,2^{10}$ παρατηρούμε ότι $k\ge 10$ αφού διαφορετικά από περιστεροφωλιά $2$ θα είναι στο ίδιο σύνολο και ο μικρότερος θα διαιρεί τον μεγαλύτερο. To $k=10$ δουλεύει: $C_i=(2^{i-1},2^i]$ για $i=\{1,...,10\}$ Να πάρει υπήρχε εύκολο construction. Εγώ αντιστοίχησα στ...
- Κυρ Οκτ 27, 2019 1:32 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Καθετότητες και ισότητες
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 706
Re: Καθετότητες και ισότητες
Μια άλλη λύση για το (α): Θα χρησιμοποιήσουμε στροφή διανύσματος $P$ γωνίας $90^o$: Αρκεί να δείξουμε ότι $P(\vec{ET})=\vec{EG}$ $\displaystyle{P(\vec{ET})=P(\vec{ED}+\vec{DF}+\vec{FT})=P(\vec{ED})+P(\vec{DF})+P(\vec{FT})=P(\vec{ED})+P(\vec{DF})-P(\vec{TF})$$=\vec{EA}+\vec{DH}-\vec{TC}=\vec{EA}+\vec...
- Δευ Οκτ 21, 2019 2:08 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: Αξεπέραστη διχοτόμηση τμήματος
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 740
Re: Αξεπέραστη διχοτόμηση τμήματος
Έστω $N'$ το σημείο τομής της $MT$ με την $BC$. Από το εγγράψιμο $AMST$ έχουμε ότι $\widehat{ASC}=\widehat{AMN'}$ ή $\widehat{ABC}=\widehat{AMN'}$. Οπότε το $ABMN'$ είναι εγγράψιμο και συνεπώς $\widehat{MAN'}=\widehat{MBN'}=\widehat{SBC}=\widehat{SAC}$. Προκύπτει λοιπόν πως $\widehat{MAS}=\widehat{N...
- Κυρ Σεπ 29, 2019 3:35 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Προετημασία για ΙΜΟ- Ι (2 προβλήματα)
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 1404
Re: Προετημασία για ΙΜΟ- Ι (2 προβλήματα)
Για τη δεύτερη: Έστω $M$ το μέσο του $ES$ και $N$ το μέσο του $ET$. Θα δείξουμε ότι $DM//AB$. Προφανώς το $D$ ανήκει στην πολική του $U$ στον κύκλο διαμέτρου $AD$, ενώ ακόμη ισχύει ότι $PD\perp OU$. Άρα τελικά η $PD$ είναι η πολική του $U$. Έστω $K$ το σημείο τομής της $PD$ με την $ES$. Από τα παραπ...
- Σάβ Σεπ 21, 2019 2:02 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΜΕΓΑΛΩΝ - 2019
- Απαντήσεις: 15
- Προβολές: 3325
Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΜΕΓΑΛΩΝ - 2019
Συνοπτικά μια λύση για το 4: Θεωρούμε τη συνάρτηση $g(x)=f(x)-f(1)x$, όπου η $g$ έχει πεδίο ορισμού τους τους θετικούς πραγματικούς. Παρατηρούμε πως αν θέσουμε όπου $f(x)$ το $g(x)+f(1)x$, τότε θα απλοποιηθούν τα $f(1)$ και θα φτάσουμε στην $(y^2+1)g(x)-yg(xy)=yg(\dfrac{x}{y})$ (*). Ξέρουμε όμως την...
- Τρί Αύγ 27, 2019 9:38 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: Συνευθειακά με Έγκεντρο
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 974
Re: Συνευθειακά με Έγκεντρο
Μετατρέπουμε το πρόβλημα στο εξής ισοδύναμο: Έστω κύκλος $c$ και έστω πως εσωτερικά του εφάπτεται ο κύκλος $c'$, στο σημείο $S$. Στον κύκλο $c'$, θεωρούμε σημεία $A, B$ και έστω πως οι εφαπτόμενες από τα $A, B$ στον $c'$ τέμνουν τον $c$ στα $E, F$ αντίστοιχα και μεταξύ τους στο $D$. Να αποδειχθεί πω...
- Κυρ Αύγ 25, 2019 1:51 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
- Θέμα: Ανισότητα υπό συνθήκη!
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 2429
Re: Ανισότητα υπό συνθήκη!
Έχουμε: $a^2-3a+3=a^2(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})^2-3a(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})+3=(1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{c})^2-\dfrac{3a}{b}-\dfrac{3a}{c}$ Ομοίως $b^2-3b+3=(1+\dfrac{b}{a}+\dfrac{b}{c})^2-\dfrac{3b}{a}-\dfrac{3b}{c}$ και $c^2-3c+3=(1+\dfrac{c}{a}+\dfrac{3c}{b})^2-\dfra...
- Τρί Αύγ 20, 2019 3:10 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: Παράωρη Συνευθειακότητα
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 1025
Re: Παράωρη Συνευθειακότητα
Φέρνουμε τον εγγεγραμμένο κύκλο του $ABC$ και έστω πως εφάπτεται στις $BC, AC, AB$ στα σημεία $D, E, F$. Έστω τώρα $D'$ το συμμετρικό του $D$ ως προς το $I$ και $D''$ το συμμετρικό του $I$ ως προς το $D'$. Θα δείξουμε ότι τα $A, D'', I_A'$ είναι συνευθειακά. Έστω $X$ το σημείο επαφής του $A$-παραγεγ...
- Σάβ Αύγ 03, 2019 10:09 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Συμμετρία με ευθεία Euler
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 653
Re: Συμμετρία με ευθεία Euler
Φέρνουμε τον περιγεγραμμένο κύκλο με κέντρο $Q$ και ακτίνα $QH=QO$ και έστω πως τέμνει την $AK$ στο $L$. Αυτός ο κύκλος είναι ίσος με τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου $OKH$ (ίσες ακτίνες), οπότε έχουμε $\widehat{OLH}=\widehat{OKH}$, δηλαδή το τρίγωνο $KOL$ είναι ισοσκελές, δηλαδή $OK=OL$. Έστω ...
- Σάβ Ιούλ 27, 2019 6:13 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: IMO 2019
- Απαντήσεις: 43
- Προβολές: 11403
Re: IMO 2019
Αρχικά θα ήθελα κι εγώ να δώσω τα θερμά μου συγχαρητήριά σε όλα τα παιδιά της ομάδας γιατί το αξίζουν, αλλά και στους συνοδούς.
Σχετικά με όλα τα άλλα θα ήθελα να πω κι εγώ τη γνώμη μου, μάλιστα το σκεφτόμουν να το κάνω από καιρό, αλλά καλύτερα νομίζω ότι ταιριάζει να γίνει σε άλλο σημείο.
Σχετικά με όλα τα άλλα θα ήθελα να πω κι εγώ τη γνώμη μου, μάλιστα το σκεφτόμουν να το κάνω από καιρό, αλλά καλύτερα νομίζω ότι ταιριάζει να γίνει σε άλλο σημείο.