Η αναζήτηση βρήκε 1154 εγγραφές

από dement
Τρί Μάιος 23, 2017 6:52 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ελάχιστο για ύπαρξη
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 248

Re: Ελάχιστο για ύπαρξη

Θέτοντας a \equiv \cos (\pi / 8), b \equiv \sin (\pi / 8) κάνουμε τον μετασχηματισμό Y \equiv ay - bz, Z \equiv by + az και η εξίσωση γίνεται \displaystyle x^2 + \frac{3+\sqrt{2}}{2} Y^2 + \frac{3-\sqrt{2}}{2} Z^2 + x (aY + bZ - aZ + bY) = 1 (γιατί \displaystyle a^2 = \frac{\...
από dement
Κυρ Μάιος 21, 2017 11:22 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Κωνσταντίνου και Ελένης
Απαντήσεις: 37
Προβολές: 426

Re: Κωνσταντίνου και Ελένης

Χρόνια πολλά, καλά και δημιουργικά σε όλους τους εορτάζοντες του :logo: .
από dement
Πέμ Μάιος 18, 2017 10:53 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΠΙΑ ΠΡΩΤΟΤΥΠΗ...
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 212

Re: ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΠΙΑ ΠΡΩΤΟΤΥΠΗ...

Διαφορετικά: Το γινόμενο sr ισούται με το εμβαδόν E = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} . Θέτοντας A \equiv s-a, B \equiv s-b, C \equiv s-c έχουμε s = A + B + C, a = B+C, b = A+C, c = A+B και η ανισότητα γίνεται AB + BC + AC \geqslant \sqrt{3 ABC(A+B+C)} που είναι η ανισότητα N...
από dement
Τετ Μάιος 17, 2017 9:51 pm
Δ. Συζήτηση: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Θέμα: Ομοιομορφισμοί
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 236

Re: Ομοιομορφισμοί

Όχι και στα δύο. Πιο γενικά, δεν υπάρχει συνεχής και 1-1 απεικόνιση από μια σφαίρα σε ένα γνήσιο υποσύνολό της. Έστω x_0 \in \mathbb{S}_n και f: \mathbb{S}_n \to \mathbb{S}_n - \{x_0\} συνεχής και 1-1 απεικόνιση. Θεωρούμε τη στερεογραφική προβολή g: \mathbb{S}_n - \{x_0\} \to \mathbb{R}^n που είναι ...
από dement
Τρί Μάιος 16, 2017 11:43 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Ακολουθία ακεραίων
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 231

Re: Ακολουθία ακεραίων

Διαφορετικά: Θα αποδείξουμε επαγωγικά ότι, για κάθε θετικό ακέραιο n , υπάρχουν n θετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε, για κάθε δύο από αυτούς, η διαφορά τους είναι και διαιρέτης του καθενός. Για n=1 ισχύει τετριμμένα. Έστω ότι ισχύει για n=k . Για n=k+1 παίρνουμε k αριθμούς b_1, b_2, ..., b_k με την επιθ...
από dement
Τρί Μάιος 16, 2017 7:41 pm
Δ. Συζήτηση: Χρήσιμες Ιστοσελίδες (μη μαθηματικού περιεχομένου)
Θέμα: Είναι ...μουφα ;
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 378

Re: Είναι ...μουφα ;

"Για λόγους συμφόρηση";;; Ούτε καν γραμμένο σωστά; Μούφα, ούτε συζήτηση.
από dement
Τρί Μάιος 16, 2017 1:38 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Έντομο σε σκακιέρα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 131

Re: Έντομο σε σκακιέρα

:coolspeak:

Το πρόβλημα είναι από το "Problem-Solving Methods in Combinatorics: An Approach to Olympiad Problems" του Pablo Soberon.
από dement
Δευ Μάιος 15, 2017 10:59 am
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Έντομο σε σκακιέρα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 131

Έντομο σε σκακιέρα

Έστω σκακιέρα 100 \times 100 χωρισμένη σε μοναδιαία τετράγωνα. Κάθε ένα από τα τετράγωνα έχει σχεδιασμένο ένα βέλος που δείχνει πάνω, κάτω, αριστερά ή δεξιά. Γύρω από τη σκακιέρα υπάρχει αδιαπέραστος τοίχος, με μοναδικό άνοιγμα στη δεξιά πλευρά του άνω δεξιά τετραγώνου. Ένα έντομο βρίσκεται αρχικά σ...
από dement
Σάβ Μάιος 13, 2017 9:24 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Άλγεβρα Banach χωρίς μονάδα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 139

Re: Άλγεβρα Banach χωρίς μονάδα

Έστω μεγιστικό ιδεώδες I με c_{00}(\mathbb{N}) \subset I και x \in c_0(\mathbb{N})-I . Έστω x = y^2 . Τότε, για κάθε s \in c_0(\mathbb{N}) υπάρχουν a \in I, r \in c_0(\mathbb{N}) με s = a + ry^2 . Συγκεκριμένα, έστω y = A + Ry^2 . Επιλέγουμε τα A, R έτσι ώστε να μην ι...
από dement
Παρ Μάιος 12, 2017 2:20 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Μικρότερα στοιχεία της ένωσης ανήκουν στο ένα σύνολο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 173

Re: Μικρότερα στοιχεία της ένωσης ανήκουν στο ένα σύνολο

Ας μην χαθεί... Χρησιμοποιούμε τη σχέση \leqslant \in \mathcal{A} \times \mathcal{A} για να υποδηλώσουμε με το A \leqslant B ότι το A περιέχει τα k μικρότερα στοιχεία του A \cup B (παρεμπιπτόντως, η \leqslant είναι γραμμική διάταξη). Θα αποδείξουμε ότι, για κάθε A, B \in \mathcal{A} , ισχύει A \neq ...
από dement
Παρ Μάιος 12, 2017 12:49 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ανισότητα!
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 270

Re: Ανισότητα!

Διαφορετικά: Έχουμε \displaystyle ab+bc+ca = - \frac{1}{2} οπότε τα a, b, c είναι οι ρίζες του \displaystyle x^3 - \frac{1}{2}x - abc . Το πολυώνυμο έχει ακρότατα στα \displaystyle \pm \frac{1}{\sqrt{6}} και το abc παίρνει τις ακρότατες τιμές του όταν έχουμε διπλή ρίζα. Έτσι, οι περιπτώσεις μας είνα...
από dement
Πέμ Μάιος 11, 2017 3:15 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Άθροισμα υποσυνόλων αριθμών σε πίνακα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 120

Re: Άθροισμα υποσυνόλων αριθμών σε πίνακα

Θα χρησιμοποιήσουμε επαγωγή στο n . Για n=1 αρκεί η ερώτηση "Υπάρχει ο n ;" και έτσι ισχύει αφού 1 < 3 . Έστω ότι ισχύει για n=k . Για n=k+1 θεωρούμε το άθροισμα s και κάνουμε την ερώτηση "Υπάρχει ο s - 2t ;". Αν δεν υπάρχει τότε λέμε "Γράψε τον s-2t " και ρωτάμε "...
από dement
Τετ Μάιος 10, 2017 2:24 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Vojtech Jarnik 2017/2 Category I
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 132

Re: Vojtech Jarnik 2017/2 Category I

Θα αποδείξουμε επαγωγικά ότι, μετά από k επεκτάσεις, έχουμε \displaystyle \binom{9-n+k}{9-n} αντίγραφα του ψηφίου n . Για k=0 είναι \displaystyle \binom{9-n}{9-n} = 1 προφανές. Μετά από κάθε επέκταση το ψηφίο μας θα υπάρχει μία φορά για κάθε φορά που εμφανιζόταν ένα ψηφίο τουλάχιστον ίσο με αυτό στη...
από dement
Τετ Μάιος 10, 2017 11:17 am
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Πλήθος ακεραίων
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 220

Re: Πλήθος ακεραίων

:coolspeak:

Η αλήθεια είναι ότι κι εγώ δεν την θυμόμουν, την απέδειξα επί τόπου και μετά σκέφτηκα ότι αποκλείεται να μην υπάρχει κάπου ως ταυτότητα!
από dement
Τρί Μάιος 09, 2017 10:26 am
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Πλήθος ακεραίων
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 220

Re: Πλήθος ακεραίων

Αφού ο 10^k δεν είναι πολλαπλάσιο του 3 , θεωρούμε απλώς τους k -ψήφιους αριθμούς (όπου το 0 θεωρείται πιθανό εξ αριστερών ψηφίο). Η αναγκαία και ικανή συνθήκη είναι ο αριθμός μας να περιέχει ισάριθμα (modulo 3 ) ψηφία ισότιμα με 1 \mod 3 ( 1 ή 7 ) και ισότιμα με 2 \mod 3 ( 2 ). Αν ο αριθμός των ψηφ...
από dement
Δευ Μάιος 08, 2017 10:36 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Σύνολο 1-1 συναρτήσεων
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 177

Re: Σύνολο 1-1 συναρτήσεων

Αν με 1-1 εννοούμε ενεικόνιση τότε γίνεται. Έστω, π.χ., \displaystyle a_n \equiv \frac{1}{n^3}. Τότε οποιαδήποτε συνάρτηση f(n) \equiv kn μας κάνει.

(Βασιζόμενοι στην ίδια αρχή μπορούμε να βρούμε και άπειρες 1-1 και επί συναρτήσεις).
από dement
Τρί Μάιος 02, 2017 8:51 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Φραγμένη
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 500

Re: Φραγμένη

Καθαρογράφω τη λύση: Λόγω ομοιόμορφης συνέχειας υπάρχει \delta > 0 με \| x - y \|_{\infty} \leqslant \delta \implies |f(x)-f(y)|\leqslant 1 για κάθε x, y \in S_{c_0} . Έστω τυχαία (a_n), (b_n) \in S_{c_0} και έστω k τέτοιο ώστε |a_k| \neq 1, |b_k| \neq 1 . Ορίζουμε τι...
από dement
Σάβ Απρ 29, 2017 10:31 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: Ανισότης
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 509

Re: Ανισότης

Μια και δεν είναι σε σχολικό φάκελο ορίστε μία άλλη απόδειξη με περιπτώσεις. Για a > 0 προφανώς ισχύει (αληθές συμπέρασμα). Για a = 0 προφανώς ισχύει (ψευδής υπόθεση). Για a < 0 πολλαπλασιάζουμε με a αντιστρέφοντας τη φορά και έχουμε 1 < 0 . Επειδή προφανώς 1 < 0 \implies a > 0 (ψευδής υπόθεση) έχου...
από dement
Παρ Απρ 28, 2017 7:26 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Αποκλίνουσα σειρά
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 218

Re: Αποκλίνουσα σειρά

Εστιάζουμε στα 0 < \alpha < 1 (κάθε όρος της σειράς είναι 1 -περιοδικός). Έστω ακέραιος k > 0 και έστω n ο μέγιστος ακέραιος για τον οποίο k - 1 < n \alpha < k . Ισχύει \{ n \alpha \} \geqslant 1 - \alpha ενώ \displaystyle n \leqslant \frac{k}{\alpha} . Έτσι, η σειρά έχει έναν όρο τουλάχιστον \displ...
από dement
Τετ Απρ 26, 2017 3:20 am
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Κλασική σε σκακιέρα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 203

Re: Κλασική σε σκακιέρα

Αριθμούμε τα N ζεύγη τετραγώνων που ανήκουν στην ίδια γραμμή ή στήλη και το ένα έχει πιόνι ενώ το άλλο όχι. Έστω ότι η σκακιέρα έχει k πιόνια. Κάθε ένα από τα n^2 - k κενά τετράγωνα έχει τουλάχιστον n πιόνια στην ίδια γραμμή ή στήλη, οπότε N \geqslant n (n^2 - k) Επιπλέον, σε μία δεδομένη γρ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση