Η αναζήτηση βρήκε 1213 εγγραφές

από dement
Δευ Αύγ 21, 2017 8:49 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Κάθετη στη διαγώνιο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 144

Re: Κάθετη στη διαγώνιο

Διαφορετικά: Ισχύει BE \cdot BC = BM^2 = BA \cdot BN , οπότε τα \triangle{BNE}, \triangle{BAC} είναι όμοια. Έτσι, \angle{BEN} = \angle{CAB} = \angle{ABD} \implies BN = SN Άρα, στο τρίγωνο \triangle{MSB} η διάμεσος SN ισούται με το μισό της πλευράς MB οπότε η γωνία \angle{MSB} είναι ορθή.
από dement
Τρί Αύγ 15, 2017 1:48 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Χρόνια πολλά
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 230

Re: Χρόνια πολλά

Χρόνια πολλά και καλά σε όλους τους εορτάζοντες, καλό Δεκαπενταύγουστο και καλή Πυθαγόρεια τριάδα 15 - 8 - 17.
από dement
Πέμ Αύγ 10, 2017 3:46 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Κλάσμα ανάμεσα σε διαδοχικές τετραγωνικές ρίζες
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 251

Re: Κλάσμα ανάμεσα σε διαδοχικές τετραγωνικές ρίζες

Γεια σου Χάρη. Έλυσα πρώτα το β, υποθέτοντας διαισθητικά (και στη συνέχεια αποδεικνύοντας) ότι αν ο n είναι κοντά σε τέλειο τετράγωνο θα θέλει και μεγάλο παρονομαστή. Έχοντας κάνει αυτό, είδα ότι το απαιτούμενο κλάσμα είναι το \displaystyle m + \frac{1}{m+1} . Στη συνέχεια, κοιτώντας τα αναπτύγματα ...
από dement
Πέμ Αύγ 10, 2017 6:43 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Κλάσμα ανάμεσα σε διαδοχικές τετραγωνικές ρίζες
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 251

Re: Κλάσμα ανάμεσα σε διαδοχικές τετραγωνικές ρίζες

α. Έστω \displaystyle m \equiv \lfloor \sqrt{n} \rfloor . Για 0 \leqslant k \leqslant m ισχύουν \displaystyle \sqrt{m^2 + 2k} \leqslant m + \frac{k}{m} \leqslant \sqrt{m^2 + 2k + 1} \displaystyle \sqrt{m^2 + 2k - 1} \leqslant m + \frac{k}{m+1} \leqslant \sqrt{m^2 + 2k} που μας δίνουν τα επιθυμητά κλ...
από dement
Δευ Αύγ 07, 2017 11:39 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2017/1/3
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 261

Re: IMC 2017/1/3

Η απάντηση είναι θετική. Ορίζουμε την ακολουθία (l_{m,n})_{m,n \in \mathbb{N}^*} ως \displaystyle l_{1,n} \equiv n, \ l_{m+1,n} \equiv \frac{l_{m,n} (l_{m,n} + 1)}{2} . Παρατηρούμε ότι ισχύει \displaystyle a_k (2^m) = 2^{l_{k,m}} . Θα αποδείξουμε με επαγωγή στο n το λήμμα: Γι...
από dement
Κυρ Αύγ 06, 2017 6:20 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Του Σωτήρος
Απαντήσεις: 27
Προβολές: 479

Re: Του Σωτήρος

Χρόνια πολλά και καλά στους εορτάζοντες.
από dement
Παρ Αύγ 04, 2017 5:42 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2017/1/2
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 283

Re: IMC 2017/1/2

Αφού η f' είναι Lipschitz, είναι και συνεχής. Έστω τυχαίο σημείο x_0 \in \mathbb{R} . Για t \geqslant x_0 ισχύει \displaystyle f'(t) \leqslant f'(x_0) + L (t - x_0) . Ολοκληρώνοντας από x_0 ως x \geqslant x_0 παίρνουμε \displaystyle 0 < f(x) \leqslant \fra...
από dement
Πέμ Αύγ 03, 2017 3:33 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2017/1/1
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 238

Re: IMC 2017/1/1

Αφού A^2 = A^T \implies A^4 = (A^T)^2 = A , ισχύει (για τις ιδιοτιμές \lambda του A ) \lambda^4 = \lambda \implies \lambda \in \{ 0, 1, \mathrm{e}^{\pm 2 \pi \mathrm{i} / 3} \} . Λόγω του πίνακα \displaystyle \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 &...
από dement
Σάβ Ιούλ 29, 2017 7:48 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: Ανισότητα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 260

Re: Ανισότητα

Εναλλακτικά δεν χρειάζεται η δεύτερη ύψωση στο τετράγωνο. Στην πρώτη ανισότητα του Χάρη εφαρμόζουμε Cauchy-Schwarz.
από dement
Πέμ Ιούλ 27, 2017 12:39 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: Εγγύτητα ΑΜ-ΓΜ
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 255

Εγγύτητα ΑΜ-ΓΜ

Ξέρουμε ότι αν ο αριθμητικός και ο γεωμετρικός μέσος n αριθμών είναι "κοντά" ο ένας στον άλλο, τότε και οι n αριθμοί είναι "κοντινοί". Αυτό το πρόβλημα ποσοτικοποιεί αυτή την εγγύτητα. 1. Αποδείξτε ότι, για 0 < r < 1 , η εξίσωση \displaystyle \frac{x}{e^{x-1}} = r έχει ακριβώς δύ...
από dement
Πέμ Ιούλ 27, 2017 2:22 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Σειρά με μ
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 224

Re: Σειρά με μ

Από την \displaystyle \zeta (s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} πρέπει να αφαιρεθούν δύο φορές οι όροι που αντιστοιχούν σε square-free αριθμούς. Το σχετικό άθροισμα είναι \displaystyle \prod_{k=1}^\infty \left( 1 + \frac{1}{p_k^s} \right) = \frac{\zeta (s)}{\zeta (2s...
από dement
Τετ Ιούλ 26, 2017 10:31 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2007/1/6
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 264

Re: IMC 2007/1/6

Μπορούμε να έχουμε 2 μη μηδενικούς συντελεστές (παράδειγμα P(z) = z + 1 ). Θα αποδείξουμε ότι δεν μπορούμε να έχουμε περισσότερους. Θέτουμε M(\theta) \equiv |P(e^{\mathrm{i} \theta})|^2 . Έστω a_1, a_2, ..., a_n \in \mathbb{Z} οι μη μηδενικοί συντελεστές. Τότε, ισχύει \displa...
από dement
Τρί Ιούλ 25, 2017 1:21 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: MIPT 2017/1
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 132

Re: MIPT 2017/1

Έστω το παραλληλεπίπεδο με κορυφή στην τομή των αξόνων και ακμές \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} . Από το μικτό γινόμενο γνωρίζουμε ότι έχει όγκο τουλάχιστον 1 . Τα μέτρα των εξωτερικών γινομένων των ακμών είναι τα εμβαδά των αντίστοιχων εδρών. Κάθε ακμή και κάθε ύψος έδρας του παραλληλεπιπέδου είναι τουλ...
από dement
Κυρ Ιούλ 23, 2017 10:33 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2007/1/4
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 168

Re: IMC 2007/1/4

Έστω K, L, M \subseteq G . Ορίζουμε K \times L_M \equiv \{(k,l) \in K \times L: kl \in M^{-1} \} . Τότε, το ζητούμενο γράφεται ως |A \times B_C| = |B \times A_C| . Λόγω διαμέρισης έχουμε \displaystyle \bigcup_{i \in \{A, B, C \}} A \times B_i = A \times B και i \cap j = \O \implies (A \t...
από dement
Πέμ Ιούλ 20, 2017 12:23 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ομοιόμορφη σύγκλιση δυναμοσειράς
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 223

Re: Ομοιόμορφη σύγκλιση δυναμοσειράς

Αν η δυναμοσειρά συγκλίνει στο κλειστό διάστημα τότε συγκλίνει ομοιόμορφα (αφού συγκλίνει ομοιόμορφα στο ανοικτό) και έτσι θα διατηρηθεί η συνέχεια, οπότε έχουμε το αποτέλεσμα. Νομίζω όμως πως δεν χρειάζεται να υποθέσουμε τη σύγκλιση στο κλειστό διάστημα. Με δεδομένη την ομοιόμορφη σύγκλιση στο ανοι...
από dement
Παρ Ιούλ 14, 2017 12:04 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Αυθαίρετο Σημείο Περιφέρειας : Επιλογή - Κατασκευή
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 743

Re: Αυθαίρετο Σημείο Περιφέρειας : Επιλογή - Κατασκευή

Καλημέρα. Δεν ξέρω την ηλικία σου αλλά επίτρεψέ μου να παρατηρήσω ότι η ανάγνωση των κειμένων σου είναι βάσανο. Συμφιλιώσου με τις τελείες, η χρήση μικροπερίοδου αντί για μακροπερίοδο λόγο είναι πλεονέκτημα. Ειδικά όταν μιλάς με μαθηματικούς. Επίσης, όχι πολλές παραπομπές - από τον τρίτο σύνδεσμο κα...
από dement
Κυρ Ιούλ 09, 2017 5:19 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ανισότητα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 311

Re: Ανισότητα

Εναλλακτικά, με απαλοιφή παρονομαστών και λίγες πράξεις (η συμμετρία βοηθάει πολύ) η ανισότητα μετατρέπεται απευθείας στην ισοδύναμη (a-b)^4 \geqslant 0.
από dement
Σάβ Ιούλ 08, 2017 11:16 am
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Ομοιόμορφη παραγωγισιμότητα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 238

Re: Ομοιόμορφη παραγωγισιμότητα

Το λάθος είναι και δικό μου, Λάμπρο, από απροσεξία ξέχασα να γράψω ότι το D είναι διάστημα. Διορθώνω.
από dement
Σάβ Ιούλ 08, 2017 9:26 am
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Ομοιόμορφη παραγωγισιμότητα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 238

Ομοιόμορφη παραγωγισιμότητα

Μία συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο διάστημα D \subseteq \mathbb{R} λέγεται ομοιόμορφα παραγωγίσιμη στο D αν, για κάθε \epsilon > 0 , υπάρχει \delta > 0 τέτοιο ώστε για κάθε x, y \in D ισχύει \displaystyle 0 < |x-y| < \delta \implies \left| \frac{f(x) - f(y)}{x-y} - f'(x) \r...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση