Η αναζήτηση βρήκε 1096 εγγραφές

από dement
Παρ Μαρ 24, 2017 8:49 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Και λίγη τριγωνομετρία-1
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 128

Re: Και λίγη τριγωνομετρία-1

Αλλιώς:

BE = 2 a \cos \theta, BP = a \sec \theta

Έτσι, \displaystyle \sqrt{\frac{BP-PE}{BP+PE}} = \sqrt{\frac{2 \sec \theta - 2 \cos \theta}{2 \cos \theta}} = \sqrt{\sec^2 \theta - 1} = \tan \theta
από dement
Τετ Μαρ 22, 2017 11:44 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Άλυσος μηδενικών συνόλων
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 137

Re: Άλυσος μηδενικών συνόλων

Καλό, αλλά υποθέτει την αποκρισιμότητα του προβλήματος στην ZFC, που είναι δεδομένο του :logo: αλλά όχι του προβλήματος. Χωρίς αυτήν...;
από dement
Τετ Μαρ 22, 2017 10:51 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Άλυσος μηδενικών συνόλων
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 137

Άλυσος μηδενικών συνόλων

Ελπίζω να μην έχει ξαναπεράσει.

Έστω άλυσος (ως προς τη διάταξη \subseteq) υποσυνόλων (A_i)_{i \in I} του [0,1] με μέτρο 0. Το \displaystyle \bigcup_{i \in I} A_i έχει υποχρεωτικά μέτρο 0;
από dement
Δευ Μαρ 20, 2017 6:18 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: συνέχεια συνάρτησης
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 107

Re: συνέχεια συνάρτησης

Όχι.
από dement
Σάβ Μαρ 18, 2017 8:35 am
Δ. Συζήτηση: Διάφορα άλλα θέματα εξετάσεων
Θέμα: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2014-15 (6)
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 69

Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2014-15 (6)

Και φτάνουμε αισίως στο τελευταίο θέμα... Κατά τη διάρκεια του κατεβάσματος ενός αρχείου από το διαδίκτυο, ο χρήστης λαμβάνει ανά δευτερόλεπτο το μήνυμα "Υπολείπονται t_n δευτερόλεπτα", όπου n \in \mathbb{N}^* ο αριθμός των δευτερολέπτων που έχουν περάσει από την αρχή της διαδικασίας. Ο υπ...
από dement
Παρ Μαρ 17, 2017 10:23 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Η συμμετροδιάμεσος!
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 181

Re: Η συμμετροδιάμεσος!

Για το πρώτο: Στα τρίγωνα \triangle{AFK}, \triangle{AKQ} οι ίσες KF, KQ βρίσκονται αντίστοιχα απέναντι από τις παραπληρωματικές \angle{FAK}, \angle{QAK} . Άρα οι ακτίνες των περιγεγραμμένων κύκλων των \triangle{AFK}, \triangle{AKQ} θα είναι ίσες και αφού οι \angle{AFK}, \angle{AQK} είναι οξείες και ...
από dement
Πέμ Μαρ 16, 2017 7:16 pm
Δ. Συζήτηση: Διάφορα άλλα θέματα εξετάσεων
Θέμα: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2014-15 (5)
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 162

Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2014-15 (5)

Το πολυώνυμο P(x) \in \mathbb{R}[x] είναι βαθμού το πολύ 1007 και ισχύει P(k) = 2^k για κάθε k \in \{0, 1, 2, ..., 1007 \}.

Να υπολογιστεί το P(2015).
από dement
Πέμ Μαρ 16, 2017 5:54 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Εκθετική εξίσωση...
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 179

Re: Εκθετική εξίσωση...

Ξέχασες μία λύση... ;)
από dement
Πέμ Μαρ 16, 2017 1:14 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Επιλογή Αριθμών.
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 224

Re: Επιλογή Αριθμών.

Έστω ότι θέλω (για απλούστευση) να επιλέξω 2 από 6 αριθμούς (με τον περιορισμό). Αντί αυτού επιλέγω χωρίς περιορισμό 2 από 5 αριθμούς. Στη συνέχεια επιτυγχάνω 1-1 αντιστοίχιση εισάγοντας ακόμα έναν αριθμό ανάμεσα στούς επιλεγέντες. Έστω c επιλεγμένος και n μη επιλεγμένος αριθμός. Τότε: ccnnn αντιστο...
από dement
Πέμ Μαρ 16, 2017 10:13 am
Δ. Συζήτηση: Διάφορα άλλα θέματα εξετάσεων
Θέμα: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2014-15 (4)
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 293

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2014-15 (4)

Δίνω εδώ τη γενική περίπτωση: - Αν η διαφορά των εκθετών είναι 1, 3 , άρτιος μεγαλύτερος του 2 ή 0 με τους εκθέτες στη μορφή 2^{2m+1} (2n+1) , η Κλάρα έχει στρατηγική νίκης. - Αν η διαφορά των εκθετών είναι 2 , περιττός μεγαλύτερος του 4 ή 0 με τους εκθέτες στη μορφή 2^{2m} (2n+1) , ...
από dement
Πέμ Μαρ 16, 2017 10:11 am
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Επιλογή Αριθμών.
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 224

Re: Επιλογή Αριθμών.

Η επιλογή αντιστοιχεί 1-1 σε τυχαία επιλογή 5 αριθμών από ένα σύνολο 14 αριθμών και στη συνέχεια "εισαγωγή" 4 ακόμα αριθμών (ενός αμέσως μετά από κάθε έναν από τους πρώτους 4 επιλεγέντες) έτσι ώστε να εξασφαλίζεται η απόσταση. Έτσι, ο αριθμός είναι \displaystyle \binom{14}{5} = 2002 .
από dement
Τρί Μαρ 14, 2017 3:22 pm
Δ. Συζήτηση: Διάφορα άλλα θέματα εξετάσεων
Θέμα: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2014-15 (4)
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 293

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2014-15 (4)

Πολύ ωραία, αυτή είναι νικηφόρα στρατηγική! :clap:

Αν και δεν το ζητάει το θέμα, είναι ενδιαφέρον ερώτημα (και στην ουσία έχεις προχωρήσει αρκετά):

Αν ο αρχικός αριθμός είναι 3^m 5^n, για ποια m, n έχει νικηφόρα στρατηγική η Κλάρα και για ποια ο Γκουέλφο;
από dement
Δευ Μαρ 13, 2017 11:15 pm
Δ. Συζήτηση: Διάφορα άλλα θέματα εξετάσεων
Θέμα: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2014-15 (4)
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 293

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2014-15 (4)

Αν κατάλαβα καλά, η στρατηγική σου βασίζεται στο να αφήνει ο Γκουέλφο δύο περιττούς εκθέτες.

Έτσι όμως υπάρχει πρόβλημα. Αν η Κλάρα π.χ. μείνει με 3^3 5^7 το κάνει 3^2 5^7, ο Γκουέλφο 3^1 5^7, η Κλάρα 5^7 και ο Γκουέλφο την πάτησε από το προηγούμενο σκέλος.
από dement
Δευ Μαρ 13, 2017 9:22 pm
Δ. Συζήτηση: Διάφορα άλλα θέματα εξετάσεων
Θέμα: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2014-15 (4)
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 293

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2014-15 (4)

Σωστά. Φυσικά αντί για 3 θα μπορούσε να είναι οποιοσδήποτε άλλος πρώτος.

Καλή τύχη με το δεύτερο σκέλος... ;)
από dement
Δευ Μαρ 13, 2017 5:21 pm
Δ. Συζήτηση: Διάφορα άλλα θέματα εξετάσεων
Θέμα: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2014-15 (4)
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 293

Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2014-15 (4)

Η Κλάρα και ο Γκουέλφο παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι. Ξεκινούν από έναν ακέραιο μεγαλύτερο του 1 και εναλλάξ εκτελούν μία από τις ακόλουθες πράξεις: Είτε διαιρούν τον αριθμό με έναν πρώτο διαιρέτη του είτε, εναλλακτικά, αν ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο, υπολογίζουν την τετραγωνική του ρίζα. Έτσι, ...
από dement
Κυρ Μαρ 12, 2017 5:25 pm
Δ. Συζήτηση: Διάφορα άλλα θέματα εξετάσεων
Θέμα: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2014-15 (3)
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 430

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2014-15 (3)

Μπορεί να δειχθεί το εξής: Η πιθανότητα να διασχίσουμε το ποτάμι αν κάνουμε άπειρα βήματα με τον ίδιο τρόπο, ισούται με 1 αν q \geqslant p και ισούται με q/p αν q < p . Έτσι το έκανα εγώ. Η πιθανότητα να διασχίσουμε για πρώτη φορά το ποτάμι από το σημείο (m,m) είναι q \cdot C_m \cdot (p...
από dement
Κυρ Μαρ 12, 2017 2:16 pm
Δ. Συζήτηση: Διάφορα άλλα θέματα εξετάσεων
Θέμα: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2014-15 (3)
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 430

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2014-15 (3)

Αλέξανδρε (;), έχω την εντύπωση ότι το λήμμα της αντανάκλασης τώρα δεν προσφέρεται τόσο για την περίπτωσή μας. Δύο μονοπάτια που αντιστοιχίζονται από το λήμμα ταυτίζονται μέχρι το ποτάμι και στη συνέχεια ο βορράς γίνεται ανατολή και τούμπαλιν, μέχρι το επόμενο πέρασμα και πάει λέγοντας. Η ασυμμετρία...
από dement
Σάβ Μαρ 11, 2017 12:33 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Πρώτοι!!
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 318

Re: Πρώτοι!!

:clap: Το ίδιο λήμμα χρησιμοποίησα στην ουσία κι εγώ.
από dement
Σάβ Μαρ 11, 2017 9:54 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Ανισότητα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 305

Re: Ανισότητα

Ομογενοποιώντας, γράφουμε το μεσαίο μέλος ως \displaystyle \left( a+b+c+d \right) \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} \right) (πολλαπλασιάζοντας τα άλλα δύο με 4 ) και διαπιστώνουμε ότι η αριστερή ανισότητα είναι απλή εφαρμογή της Cauchy-Schwarz. Για τη δεξιά...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση