Η αναζήτηση βρήκε 1189 εγγραφές

από dement
Παρ Ιουν 23, 2017 3:11 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ELMO 2017 Ημέρα Πρώτη
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 378

Re: ELMO 2017 Ημέρα Πρώτη

Πρόβλημα 2 . Θεωρούμε τρίγωνο ABC με ορθόκεντρο H και M μέσο \overline{BC} .Υποθέτουμε ότι P,Q σημεία του κύκλου με διάμετρο \overline{AH} ,διαφορετικά από το A ,τέτοια ώστε το M να βρίσκεται πάνω στην PQ .Να αποδείξετε ότι το ορθόκεντρο του \triangle APQ βρίσκεται πάνω στο στον περιγγεγραμένο κύκλ...
από dement
Παρ Ιουν 23, 2017 10:59 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ELMO 2017 Ημέρα Πρώτη
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 378

Re: ELMO 2017 Ημέρα Πρώτη

Πρόβλημα 1 . Αν a_{1},a_{2},...,a_{n} είναι θετικοί ακέραιοι με γινόμενο P ,όπου n είναι ένας περιττός θετικός ακέραιος,να αποδείξετε ότι: gcd(a_{1}^{n}+P,a_{2}^{n}+P,...,a_{n}^{n}+P)\leq 2gcd(a_{1},...,a_{n})^{n} Δουλεύουμε ισοδύναμα με τους \displaystyle b_1 \equiv \frac{a_1}{g}, ...
από dement
Τετ Ιουν 21, 2017 4:34 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
Θέμα: Ανισότητα με όρια
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 320

Re: Ανισότητα με όρια

Η δις παραγωγίσιμη, μη αρνητική συνάρτηση f(x) = 1 + \cos(nx) - \cos(ax) - \cos(bx) έχει ελάχιστο στο 0 \ (f(0) = 0), οπότε f''(0) = -n^2 + a^2 + b^2 \geqslant 0 \implies a^2 + b^2 \geqslant n^2.
από dement
Τρί Ιουν 20, 2017 3:35 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Θέμα: Μπιλιάρδο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 137

Re: Μπιλιάρδο

Πολύ ωραία. Προσθέτω ότι το αποτέλεσμα είναι καθαρά κινηματικό, δηλαδή το είδος των δυνάμεων ανάμεσα στις μπάλες δεν παίζει ρόλο. Θα μπορούσαν να είναι ελκτικές ή οτιδήποτε άλλο (αρκεί να έσβηναν πέρα από μια ορισμένη απόσταση).
από dement
Τρί Ιουν 20, 2017 2:58 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Άθροισμα πρώτων
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 234

Re: Άθροισμα πρώτων

Έστω \pi(n) ο αριθμός των πρώτων αριθμών το πολύ ίσων με n . Τότε ισχύει \displaystyle S(n) = n \pi (n) - \sum_{k=1}^{n-1} \pi (k) (π.χ. με άθροιση κατά μέρη). Ισχύει \displaystyle \pi(n) \sim \frac{n}{\ln n} και (από ΘΠΑ και λόγω του ότι όλες οι συναρτήσεις κ...
από dement
Τρί Ιουν 20, 2017 10:09 am
Δ. Συζήτηση: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Θέμα: Μπιλιάρδο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 137

Μπιλιάρδο

Μια και πρόσφατα εθίγη το θέμα της κρούσης, ιδού ένα φαινόμενο που υποθέτω ότι οι... μπιλιαρδάδες του :logo: θα έχουν προσέξει. Μία μπάλα του μπιλιάρδου χτυπάει μία άλλη, αρχικά ακίνητη. Οι δύο μπάλες έχουν ίσες μάζες και η κρούση θεωρείται τέλεια ελαστική, αλλά όχι απαραίτητα κεντρική . (Θυμίζω ότι...
από dement
Τρί Ιουν 20, 2017 9:56 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: Είναι ακέραιος
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 135

Re: Είναι ακέραιος

Και βεβαίως να προσθέσουμε ότι η συγκεκριμένη συνάρτηση \mu (n) είναι η γνωστή Moebius.

Βλέπε https://en.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6bius_function
από dement
Δευ Ιουν 19, 2017 1:46 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Όχι τρία συνευθειακά
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 186

Re: Όχι τρία συνευθειακά

Έστω n σημεία που δεν περιέχουν τρία συνευθειακά. Από τα εναπομείναντα 2017 - n σημεία το πολύ \displaystyle \binom{n}{2} μπορεί να είναι συνευθειακά με ένα ζεύγος σημείων από τα n . Έτσι, αν \displaystyle n + \binom{n}{2} < 2017 τότε υπάρχουν n+1 σημεία χωρίς τρία συνευθειακά. Αφού \displaystyle 63...
από dement
Δευ Ιουν 19, 2017 12:03 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Άσκηση στις ακολουθίες
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 229

Re: Άσκηση στις ακολουθίες

Μια και έδωσε λύση ο Γρηγόρης δίνω και τη δική μου. Γράφουμε το γενικό όρο ως

\displaystyle a_1 - (a_2 - a_3) - ... - (a_{2n-2} - a_{2n-1}) - a_{2n}

από όπου φαίνεται αμέσως ότι το a_1 είναι άνω φράγμα.
από dement
Κυρ Ιουν 18, 2017 9:12 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Άσκηση στις ακολουθίες
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 229

Re: Άσκηση στις ακολουθίες

Όχι, αυτό δεν είναι φράγμα (περιέχει το n).
από dement
Κυρ Ιουν 18, 2017 9:02 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Άσκηση στις ακολουθίες
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 229

Re: Άσκηση στις ακολουθίες

Είναι υπόθεση μιας γραμμής να δείξεις ότι είναι φραγμένη άνω. Όσο και η μονοτονία.
από dement
Κυρ Ιουν 18, 2017 1:52 pm
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: βρείτε την τετράγωνη εξίσωση
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 183

Re: βρείτε την τετράγωνη εξίσωση

Τόλη, η άσκηση είναι πολύ ωραία. Ζητάει τον τύπο του τριωνύμου αν γνωρίζουμε ότι το εγγύτερο σημείο του γραφήματός του στην τομή των αξόνων είναι το (1/2, -1/4).
από dement
Τετ Ιουν 14, 2017 7:12 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Γενικευμένο 2ης-τάξης λογαριθμικό ολοκλήρωμα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 188

Re: Γενικευμένο 2ης-τάξης λογαριθμικό ολοκλήρωμα

Θεωρούμε την \displaystyle f(z) \equiv \frac{\log^3 z}{(z-a)(z-b)} και ολοκληρώνουμε γύρω από την καμπύλη του σχήματος. Ο κύκλος C_1 έχει ακτίνα M και ο κύκλος C_3 ακτίνα \epsilon . Η f έχει απλούς πόλους στα a, b με αντίστοιχα υπόλοιπα \displaystyle \frac{\ln^3 a}{a-b}, \fra...
από dement
Τετ Ιουν 14, 2017 9:40 am
Δ. Συζήτηση: ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
Θέμα: 2ο-3ο Θέμα Πανελλαδικές
Απαντήσεις: 23
Προβολές: 1148

Re: 2ο-3ο Θέμα Πανελλαδικές

Για το δεύτερο αρκεί να πάρουμε μόνο την εφαπτομένη στο \displaystyle A \left( - \frac{1}{2}, \frac{11}{16} \right) (με κλίση 1/4 ) η οποία διέρχεται από το \displaystyle B \left( -1, \frac{9}{16} \right) . Έτσι, λόγω κυρτότητας και διαστήματος το σύνολο τιμών είναι υποσύνολο του \di...
από dement
Τρί Ιουν 13, 2017 5:11 pm
Δ. Συζήτηση: Πανελλήνιες Εξετάσεις
Θέμα: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017 (Θέματα & Λύσεις)
Απαντήσεις: 65
Προβολές: 9367

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017 (Θέματα & Λύσεις)

Μιχάλη Λάμπρου και Δημήτρη Σκουτέρη, Αφήστε τους "γεωμετρικούς" παρελκισμούς! Για τελευταία φορά σας παρακαλώ! Δώστε το έσχατο μέρος της απόδειξης, δηλαδή: sinα+α<π, ώστε να ολοκληρώσετε την φυσική και κομψή σας απόδειξη!!! Παντελής Μιντεκίδης Η γεωμετρία δεν ήταν δική μου, αλλά εν πάση π...
από dement
Τρί Ιουν 13, 2017 2:40 pm
Δ. Συζήτηση: Πανελλήνιες Εξετάσεις
Θέμα: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017 (Θέματα & Λύσεις)
Απαντήσεις: 65
Προβολές: 9367

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017 (Θέματα & Λύσεις)

Οι ανάλογες συνθήκες για το δεύτερο τεταρτημόριο είναι - \cos a < 1 και \displaystyle \frac{- \pi / 2 + \sin a}{\pi / 2 - a} = \frac{- \pi / 2 + \sin (\pi - a)}{\pi / 2 - a} > \frac{\pi / 2 - a}{\pi / 2 - a} = 1 Μην αρπάζεσαι και μην παίρνεις προσωπικά μία κριτική. Αν είναι αβάσιμη, όλα εντά...
από dement
Κυρ Ιουν 11, 2017 11:24 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Συναρτησιακή με μέγιστο κοινό διαιρέτη
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 127

Re: Συναρτησιακή με μέγιστο κοινό διαιρέτη

Θέτοντας m=n στο πρώτο δεδομένο βλέπουμε ότι f(m) \mid m . Έτσι, f(1)=1 . Το σύνολο των σταθερών σημείων της f είναι κλειστό ως προς τον πολλαπλασιασμό. Πράγματι, αν f(m)=m, f(n)=n , τότε από το (1) ισχύει mn \mid f(mn) \implies f(mn)=mn . Τέλος, θέτον...
από dement
Παρ Ιουν 09, 2017 11:26 am
Δ. Συζήτηση: Πανελλήνιες Εξετάσεις
Θέμα: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017 (Θέματα & Λύσεις)
Απαντήσεις: 65
Προβολές: 9367

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017

Στο Γ4 βγαίνει καλύτερο φράγμα απλώς με f(x) \geqslant -1.
από dement
Παρ Ιουν 09, 2017 1:00 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: function vs συνάρτηση
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 356

Re: function vs συνάρτηση

Στα ιταλικά, εκτός από τον συνήθη όρο funzione για τις συναρτήσεις είναι σε ευρεία χρήση και ο όρος applicazione (εφαρμογή). Οπωσδήποτε είναι ένα ενδιαφέρον θέμα.
από dement
Πέμ Ιουν 08, 2017 1:40 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Παραλληλόγραμμο από πιόνια
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 216

Re: Παραλληλόγραμμο από πιόνια

Ο σαδισμός της άσκησης είναι ότι μιλάει απλώς για "παραλληλόγραμμα". Έφτιαξα κάτι απίστευτα πράγματα προσπαθώντας να εφαρμόσω pigeonhole αποφεύγοντας τα εκφυλισμένα συνευθειακά "παραλληλόγραμμα" πριν περιοριστώ στα οριζόντια (ορμώμενος από τις απλές περιπτώσεις n = 2, 3, 4).

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση