Η αναζήτηση βρήκε 1135 εγγραφές

από dement
Τετ Απρ 26, 2017 3:20 am
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Κλασική σε σκακιέρα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 77

Re: Κλασική σε σκακιέρα

Αριθμούμε τα N ζεύγη τετραγώνων που ανήκουν στην ίδια γραμμή ή στήλη και το ένα έχει πιόνι ενώ το άλλο όχι. Έστω ότι η σκακιέρα έχει k πιόνια. Κάθε ένα από τα n^2 - k κενά τετράγωνα έχει τουλάχιστον n πιόνια στην ίδια γραμμή ή στήλη, οπότε N \geqslant n (n^2 - k) Επιπλέον, σε μία δεδομένη γρ...
από dement
Τρί Απρ 25, 2017 10:15 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Σύγκλιση σειράς
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 83

Re: Σύγκλιση σειράς

Για την (μη) απόλυτη σύγκλιση είναι μάλλον απλά τα πράγματα αφού για κάθε k \in \mathbb{N} υπάρχει ακέραιος στο \displaystyle \left[ k \pi + \frac{\pi}{6}, k \pi + \frac{5 \pi}{6} \right] και αυτό δίνει έναν όρο τουλάχιστον \displaystyle \frac{1}{2 (k+1) \pi} στην απόλυτη σειρά. Για το πρώτο...
από dement
Δευ Απρ 24, 2017 9:42 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Ορθογώνιο τρίγωνο 15.
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 129

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο 15.

Και μία τριγωνομετρική: Από το τρίγωνο \triangle{A \Delta \Gamma} έχουμε \displaystyle \tan \theta = \frac{a}{b} από νόμο ημιτόνων, ενώ από το \triangle{AB \Gamma} έχουμε \displaystyle \cos 2 \theta = \frac{a+b}{2b} . Έτσι, 2 \cos 2 \theta = \tan \theta + 1 \implies 2 \cos 2 \theta \cos \theta = \co...
από dement
Κυρ Απρ 23, 2017 5:33 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Ευχές
Απαντήσεις: 36
Προβολές: 371

Re: Ευχές

Θερμές ευχές σε όλους τους εορτάζοντες.
από dement
Παρ Απρ 21, 2017 10:51 am
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Διαγωνιστική
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 255

Re: Διαγωνιστική

Πράγματι όμορφη! Ορίζουμε τις ακολουθίες a_n \equiv f(n) και b_n \equiv n . Ισχύει ότι η (b_n) είναι γνησίως αύξουσα με \lim b_n = + \infty και \displaystyle \lim \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n} = L , οπότε από το θεώρημα Stolz-Cesàro έχουμε \displaystyle \lim \frac{a_n}{b_n} = \lim ...
από dement
Πέμ Απρ 20, 2017 11:29 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ισοσκελοποίηση
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 88

Re: Ισοσκελοποίηση

Αλλιώς:

\displaystyle \frac{AS}{a} = \frac{AS}{SC} \frac{SC}{a} = \frac{\sin 20^\circ}{\sin 120^\circ} \frac{\sin 70^\circ}{\sin 40^\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}} \frac{2 \sin 20^\circ \cos 20^\circ}{\sin 40^\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}
από dement
Δευ Απρ 17, 2017 9:50 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: όριο ολοκληρώματος
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 343

Re: όριο ολοκληρώματος

Ορίζουμε την συνεχή \displaystyle s(x) \equiv \int_{- \pi / 2}^{\pi / 2} f(x, \sin t) \mathrm{d}t . Παίρνουμε τυχαίο \epsilon > 0 και ορίζουμε \delta > 0 τέτοιο ώστε |x_1 - x_2| < \delta \implies \sup_y |f(x_1,y) - f(x_2,y)| \leqslant \epsilon \implies |s(x_1)...
από dement
Δευ Απρ 17, 2017 12:31 pm
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Ανισότητα με υπερβολική εφαπτομένη
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 148

Re: Ανισότητα με υπερβολική εφαπτομένη

Ισχύει \displaystyle \tanh x > \tanh (\sinh^{-1} x) = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} για x > 0 οπότε \displaystyle \int_0^1 \frac{\tanh x}{x} \mathrm{d}x > \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \mathrm{d}x = \sinh^{-1} 1 = \ln (1 + \sqrt{2}) . Εξάλλου, \tanh x < \tan^{-1} x για x > 0 (έχουν ίδια τ...
από dement
Κυρ Απρ 16, 2017 12:49 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Χρόνια πολλά
Απαντήσεις: 13
Προβολές: 273

Re: Χρόνια πολλά

Χρόνια πολλά και καλά στο Λάμπρο Μπαλό, στον Αναστάσιο Κοτρώνη και σε όλο το :logo: .
από dement
Παρ Απρ 14, 2017 7:26 pm
Δ. Συζήτηση: Μαθηματική Λογική & Θεμέλια Μαθηματικών
Θέμα: Απόδειξη Αξιώματος Επιλογής
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 174

Απόδειξη Αξιώματος Επιλογής

Μια και είναι κάμποσο καιρό ανενεργός ο φάκελος... Έχουμε την εξής απόπειρα απόδειξης του Αξιώματος της Επιλογής από το Θεώρημα της Καλής Διάταξης: Έστω σύνολο S = \{A_i:i \in I\} όπου τα A_i είναι μη κενά. Σε κάθε A_i ορίζουμε καλή διάταξη <_i και παίρνουμε \displaystyle f(A_i) \equiv \min_...
από dement
Πέμ Απρ 13, 2017 3:30 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Και οι δύο ακέραιοι
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 245

Re: Και οι δύο ακέραιοι

Πολύ ωραία. Το δεύτερο μισό της απόδειξης μπορεί να παραλειφθεί παίρνοντας ως δεδομένο το Lifting the Exponent (που είναι και ο λόγος για τον οποίο έβαλα την άσκηση στους seniors).
από dement
Πέμ Απρ 13, 2017 12:36 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ωραία!
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 214

Re: Ωραία!

Διαφορετικά: \displaystyle \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geqslant \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca} (Jensen). Με απαλοιφή παρονομαστών και ΑΜ-ΓΜ η προς απόδειξη γράφεται (a+b+c)^3 + 3 \sqrt[3]{abc} (ab+bc+ca) \geqslant (a+b+c)^3 + 9abc \geqslant 4(a+b+c)&#...
από dement
Τετ Απρ 12, 2017 4:37 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Και οι δύο ακέραιοι
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 245

Και οι δύο ακέραιοι

Έστω a, b \in \mathbb{R} με a \neq b τέτοιοι ώστε ο a^n - b^n είναι ακέραιος για κάθε θετικό ακέραιο n. Αποδείξτε ότι οι a, b είναι ακέραιοι.
από dement
Τετ Απρ 12, 2017 2:36 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Τέλειο τετράγωνο...
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 188

Re: Τέλειο τετράγωνο...

Ελέγχοντας τις ισοτιμίες \mod 4 και 5 (αρκούν), διαπιστώνουμε ότι αν ένα τέλειο τετράγωνο τελειώνει με δύο όμοια μη μηδενικά ψηφία, αυτά είναι 4 . Ισχύει 38^2 = 1444 , ενώ 4444 \equiv 12 \mod 2^4 , που δεν είναι τετραγωνικό υπόλοιπο. Άρα το μέγιστο μήκος είναι 3 . Τα τέλεια τετράγωνα μήκους 3 έχουν ...
από dement
Τετ Απρ 12, 2017 12:57 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ολοκλήρωμα!
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 428

Re: Ολοκλήρωμα!

Η f έχει υπόλοιπο στο άπειρο \displaystyle - \frac{1}{2}, οπότε το ολοκλήρωμα για αρκετά μεγάλη ακτίνα (ώστε να περικλείει όλο το branch cut [1/2, 3/2]) είναι όντως \displaystyle -2 \pi i \times \frac{-1}{2} = \pi i.
από dement
Τρί Απρ 11, 2017 11:15 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Όριο με ζήτα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 134

Re: Όριο με ζήτα

Γνωρίζουμε ότι η \displaystyle f(z) \equiv \zeta(z) + \frac{1}{1-z} είναι ακέραια συνάρτηση. Η σειρά Taylor γύρω από το 0 είναι \displaystyle \zeta(z) + \frac{1}{1-z} = \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{\zeta^{(n)}(0)}{n!} + 1 \right) z^n η οποία συγκλί...
από dement
Δευ Απρ 10, 2017 9:22 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: EGMO 2017 Μέρα 1η
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 458

Re: EGMO 2017 Μέρα 1η

Πρόβλημα 3: Υπάρχουν 2017 ευθείες στο επίπεδο έτσι ώστε να μην υπάρχουν τρεις ευθείες που να περνούν από το ίδιο σημείο. Το σαλιγκάρι Turbo κάθεται σε ένα σημείο σε ακριβώς μία ευθεία και αρχίζει να γλυστρά κατά μήκως των ευθειών με την εξής τρόπο: Κινείται στην ίδια ευθεία μέχρι να φτάσει σε σημεί...
από dement
Δευ Απρ 10, 2017 9:55 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: ΠΙΟ ΣΦΙΧΤΗ ΑΠΟ ΤΗ ΧΘΕΣΙΝΗ
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 230

Re: ΠΙΟ ΣΦΙΧΤΗ ΑΠΟ ΤΗ ΧΘΕΣΙΝΗ

Το δεξί μέλος γράφεται ως \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} (\sin A + \sin B + \sin C) = \sqrt{3} \left[ \sin \left( \frac{A+B}{2} \right) \cos \left( \frac{A-B}{2} \right) + \sin \left( \frac{A+B}{2} \right) \cos \left( \frac{A+B}{2} \right) \right] = \display...
από dement
Κυρ Απρ 09, 2017 11:46 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Άλυσος μηδενικών συνόλων
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 500

Re: Άλυσος μηδενικών συνόλων

Πολύ ωραία. Από ό,τι διάβασα, όταν στάλθηκε σε περιοδικό αυτό το πρόβλημα απορρίφθηκε από τον έναν referee ως πολύ εύκολο και από τον άλλον ως πολύ δύσκολο.

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση