Η αναζήτηση βρήκε 459 εγγραφές

από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Τρί Αύγ 22, 2017 9:29 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Putnam 2014/B1
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 213

Re: Putnam 2014/B1

Ένα υπερ-ανάπτυγμα στην βάση 10 ενός θετικού ακεραίου N είναι μια παράσταση του N στην μορφή \displaystyle{ N = d_k 10^k + d_{k-1}10^{k-1} + \cdots + d_0 10^0} με d_i \in \{0,1,2,\ldots,10\} για κάθε i , και d_k \neq 0 . Π.χ. ο N=10 έχει δύο υπερ-αναπτύγματα στην βάση 10. Το 10=10 \cdot 10^0 καθώς ...
από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Παρ Αύγ 18, 2017 6:15 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Putnam 2013/A2
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 161

Re: Putnam 2013/A2

Καλησπέρα! Θεωρούμε δύο γινόμενα (της μορφής που περιγράφει η εκφώνηση) με ισο τον τελευταίο όρο (που είναι ο ελάχιστος ώστε να ειναι το γινόμενο τέλειο τετράγωνο). Έστω A,B τα δυο γινόμενα με m>n τους πρώτους όρους τους. Τότε το AB είναι τέλειο τετράγωνο. Στα δύο αυτά γινόμενα εκτός από τους τελευτ...
από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Τετ Αύγ 16, 2017 9:52 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αλλές 3 ασκήσεις για διαγωνισμούς.
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 316

Re: Αλλές 3 ασκήσεις για διαγωνισμούς.

Όλες οι ασκήσεις είναι δική μου κατασκευής 2)Να δείξετε ότι δεν υπάρχουν τριψηφοί θετικοί ακέραιοι \overline{abc} έτσι ώστε \overline{abc}=ab+bc+ca με abc \neq 0 Καλησπέρα! Ελπίζω να είμαι σωστός... Αν a>2 τότε θα πρέπει \overline {3bc}\geq 311 να είναι μικρότερο ή ίσο με το ab+bc+ca\leq 3\cdot 81 ...
από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Σάβ Αύγ 12, 2017 1:23 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: 4 ασκήσεις για διαγωνισμούς!
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 390

Re: 4 ασκήσεις για διαγωνισμούς!

Όλες τις ασκήσεις είναι δική μου κατασκευής. 1. Να βρείτε όλες τις τριάδες των θετικών ακέραιων (a,b,c) που ικανοποιούν την εξίσωση a^3+b^3-3ab=2017^c+1 Θα αποδείξουμε ότι η εξίσωση είναι αδύνατη. Είναι a^3+b^3-3ab=2017^c+1 \equiv 2 \pmod 3 \Rightarrow a^3+b^3 \equiv 2 \pmod 3 \Rightarrow Κ...
από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Πέμ Αύγ 10, 2017 1:16 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Κλάσμα ανάμεσα σε διαδοχικές τετραγωνικές ρίζες
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 262

Re: Κλάσμα ανάμεσα σε διαδοχικές τετραγωνικές ρίζες

α. Έστω \displaystyle m \equiv \lfloor \sqrt{n} \rfloor . Για 0 \leqslant k \leqslant m ισχύουν \displaystyle \sqrt{m^2 + 2k} \leqslant m + \frac{k}{m} \leqslant \sqrt{m^2 + 2k + 1} \displaystyle \sqrt{m^2 + 2k - 1} \leqslant m + \frac{k}{m+1} \leqslant \sqrt{m^2 + 2k} που μας δίνουν τα επιθυμητά κ...
από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Τρί Αύγ 08, 2017 1:11 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Κλάσμα ανάμεσα σε διαδοχικές τετραγωνικές ρίζες
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 262

Κλάσμα ανάμεσα σε διαδοχικές τετραγωνικές ρίζες

(a) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n υπάρχει κλάσμα \dfrac {a}{b} όπου a,b ακέραιοι ώστε: 0\leq b\leq \sqrt n +1 και \sqrt n \leq \dfrac {a}{b} \leq \sqrt {n+1} (b) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν άπειροι θετικοί ακέραιοι n ώστε να μην υπάρχει κλάσμα \dfrac {a}{b} όπου a,b ακέραιοι ώστε: 0\leq...
από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Κυρ Αύγ 06, 2017 12:40 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Διπλάσια γωνία
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 201

Re: Διπλάσια γωνία

Λίγο διαφορετικά για το αρχικό ζητούμενο: διπλάσια γωνία.png Φέρνουμε την I_aC και έστω πως η AD την τέμνει στο σημείο F . Λόγω του ότι οι AF, CK τέμνονται πάνω στη διάμεσο, έχουμε πως KF//AC . Όπως ανέφερε παραπάνω στην λύση του ο min## έχουμε πως KF//AC//ID . Ακόμη, λόγω του ότι το τρίγωνο ABD εί...
από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Κυρ Αύγ 06, 2017 12:12 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Διπλάσια γωνία
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 201

Re: Διπλάσια γωνία

Δίνεται τρίγωνο ABC και το παράκεντρο I_a . Έστω M το μέσο του AC και έστω ότι η I_aM τέμνει την BC στο D . Αν BA=BD να αποδείξετε ότι \angle BAC=2\angle ACB . Ισχύει το αντίστροφο; Έστω K η τομή της διχοτόμου της A με την BC και A' με τον κύκλο. Αρχικά αποδεικνύω ότι ID//AC : Από θεώρημα Μενελ...
από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Σάβ Αύγ 05, 2017 5:51 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Διπλάσια γωνία
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 201

Διπλάσια γωνία

Δίνεται τρίγωνο ABC και το παράκεντρο I_a. Έστω M το μέσο του AC και έστω ότι η I_aM τέμνει την BC στο D. Αν BA=BD να αποδείξετε ότι \angle BAC=2\angle ACB.

Ισχύει το αντίστροφο;
από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Τρί Αύγ 01, 2017 4:08 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Ανακατωσούρα
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 189

Re: Ανακατωσούρα

Γράφουμε τον κύκλο (M,MA) που προφανώς περιέχει τα D,C . Όπως απέδειξε και ο κ. Νίκος ισχύει 3BD=BC . Επομένως: AB^2=BD\cdot BC από όπου εύκολα παίρνουμε ότι \sin \angle {BAD}=\dfrac {\sqrt{3}}{3} . Ομως από χορδής-εφαπτομένης (η AB εφάπτεται στον κύκλο στο A )είναι \angle BAD=\angle BAC και...
από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Σάβ Ιούλ 29, 2017 5:56 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: Ανισότητα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 265

Re: Ανισότητα

Αν a,b,c,d\in (0,+\infty) με a\geq b και c\geq d να αποδείξετε ότι \sqrt{(a+c)^2-(b+d)^2}\geq \sqrt{a^2-b^2}+\sqrt{c^2-d^2} Μια προσπάθεια :) Και τα δυο μελη ειναι θετικά οπότε με ύψωση στο τετράγωνο λαμβάνουμε: ac-bd\geq \sqrt {(a^2-b^2)(c^2-d^2)} . Από την ...
από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Πέμ Ιούλ 27, 2017 12:01 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Άθροισμα αντιστρόφων πρώτων
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 486

Re: Άθροισμα αντιστρόφων πρώτων

Επαναφορά! Το μόνο που έχω βρει (και δεν ξέρω αν είναι σωστό και οδηγεί στην λύση) είναι ότι: \displaystyle\sum_{p\in\mathcal{P}}\frac{1}{p}=\displaystyle \sum_{k=1}^{2^{100}} \dfrac {\pi(k)-\pi(k-1)}{k} . Θα προσπαθήσω να ακολουθήσω τα βήματα της λύσης του κ. Δημήτρη (http://mathema...
από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Τρί Ιούλ 25, 2017 12:54 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Σχεδόν όλες μιγαδικές
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 574

Re: Σχεδόν όλες μιγαδικές

gbaloglou έγραψε:Να δειχθεί ότι, για περιττό n, το πολυώνυμο (x-1)^n(x^n+1)+(x+1)^n δεν έχει πραγματικές ρίζες πέραν των x=0 και x=-1.


Επαναφορά!
από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Κυρ Ιούλ 23, 2017 12:31 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Τρίγωνο από 3 σημεία
Απαντήσεις: 99
Προβολές: 2204

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

Άσκηση 24 Να κατασκευαστεί τρίγωνο από τα σημεία στα οποία τα ύψη του τέμνουν τον περιγεγραμμένο του κύκλο. Φέρνουμε τον κύκλο που περνά απο τα σημεία αυτά που προφανώς θα είναι και ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου. Τα μέσα των τόξων που ορίζουν τα δοθέντα σημεία είναι οι κορυφές του τριγώνου....
από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Τετ Ιούλ 19, 2017 10:34 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2017
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 1692

Re: IMO 2017

Πρόβλημα 4 Έστω R και S διαφορετικά σημεία ενός κύκλου \Omega τέτοια, ώστε το ευθύγραμμο τμήμα RS να μην είναι διάμετρός του. Έστω \ell η εφαπτομένη του κύκλου \Omega στο σημείο R . Σημείο T είναι τέτοιο, ώστε το S να είναι το μέσον του ευθυγράμμου τμήματος RT . Στο μικρότερο τόξο RS του \Omega επι...
από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Τετ Ιούλ 19, 2017 12:21 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2017
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 1692

Re: IMO 2017

Η απάντηση στο πρόβλημα 1 είναι: a_0\equiv 0(\mod 3) . Θα ανεβάσω την λύση μου σε λίγο. Να σε βγάλω από τον κόπο ( :mrgreen: ) να γράψεις την εύκολη περίπτωση του a_0\equiv 2 \mod 3 αφού δεν έχω ολοκληρωμένη λύση παρά μόνο μερικά πορίσματα. Η άσκηση ουσιαστικά ξετυλίγεται μέσα από τις απλές...
από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Δευ Ιούλ 17, 2017 4:25 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Τρίγωνο από 3 σημεία
Απαντήσεις: 99
Προβολές: 2204

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

Για λόγους πληρότητας βάζω 4 πολύ απλές ασκήσεις. Ας τις αφήσουμε 24 ώρες για τους μικρούς μας μαθητές. Άσκηση 3. Να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη τρίγωνο ABC σε κάθε μία από τις περιπτώσεις όπου δίνονται τα σημεία α) B,C και H , β) B,C και G , γ) B,C και I . Τέλος, τι συμβαίνει στην περίπτωσ...
από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Παρ Ιούλ 14, 2017 4:51 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για Διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 15
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 565

Re: Προετοιμασία για Διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 15

Διαγώνισμα 15 Πρόβλημα 4 Ο μικρός Θανάσης μαζί με άλλους 2n-1 φίλους του παίζουν το εξής παιχνίδι. Αρχικά κάθονται σε έναν κύκλο, με τον Θανάση να έχει πρώτος την μπάλα. Από τους 2n παίκτες στο σύνολο, οι n από αυτούς είναι δυνατοί και οι n αδύναμοι. Σε κάθε κίνηση, ο παίκτης που έχει την μπάλα, πρ...
από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Τετ Ιούλ 12, 2017 4:47 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO Shortlist 2016 (2/2)
Απαντήσεις: 21
Προβολές: 1030

Re: JBMO Shortlist 2016 (2/2)

G1 Δίνεται ένα οξυγώνιο τρίγωνο ABC με περίκεντρο O και έστω D,E,F σημεία των πλευρών BC,CA,AB . Ο κύκλος (c_1) με ακτίνα FA και κέντρο F , τέμνει την OA στο A' και τον περιγεγραμμένο κύκλο (c) του ABC στο K . Όμοια ορίζονται κύκλοι (c_2) , (c_3) και τα σημεία B&...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση